Парадоксът на рождения ден: какво е това и как да го обясним

Нека си представим, че сме с група хора, например на семейно събиране, събиране на първи клас или просто пием по едно питие в бар. Да кажем, че има около 25 души.

Между шума и повърхностните разговори ние се откъснахме малко и започнахме да мислим за нашите неща и изведнъж се питаме: каква трябва да е вероятността сред тези хора двама души да имат рожден ден същият ден?

Парадоксът на рождения ден е математическа истина, противно на нашия инстинкт, който твърди, че са необходими много малко хора, за да има почти случайна вероятност двама от тях да имат един и същи рожден ден. Нека се опитаме да разберем по-задълбочено този любопитен парадокс.

• Свързана статия: "Логико-математически интелект: какво е това и как можем да го подобрим?"

Парадоксът на рождения ден

Парадоксът на рождения ден е математическа истина, която установява, че в група от само 23 души има вероятност, близка до случайността, по-специално 50,7%, че поне двама от тези хора имат един и същи рожден ден. Популярността на това математическо твърдение се дължи на изненадващия факт, че толкова малко са необходими. хората да имат доста сигурен шанс да имат мачове на нещо толкова разнообразно като рожден ден.

Въпреки че този математически факт се нарича парадокс, в тесен смисъл той не е такъв. По-скоро е парадокс, доколкото се оказва любопитно, тъй като е в противоречие със здравия разум. Когато някой бъде попитан колко души според него са необходими, за да имат двамата рождени дни в един и същи ден, хората са склонни интуитивно да дават 183, тоест половината от 365.

Идеята зад тази стойност е, че като се намали наполовина броят на дните в една обикновена година, се получава минимумът, необходим, за да има вероятност, близка до 50%.

Въпреки това, не е изненадващо, че се дават толкова високи стойности, когато се опитвате да отговорите на този въпрос, тъй като хората често не разбират проблема. Парадоксът на рождения ден не се отнася до вероятностите, че конкретен човек има рожден ден по отношение на друг в групата, но, както коментирахме, шансовете всеки двама души в групата да имат един и същи рожден ден ден.

Математическо обяснение на явлението

За да разберете тази изненадваща математическа истина, първото нещо, което трябва да направите, е да имате предвид, че има много възможности да намерите двойки, които имат еднакъв рожден ден.

На пръв поглед човек би си помислил, че 23 дни, тоест 23-ият рожден ден на членовете на групата, е твърде малка част от възможния брой отделни дни, 365 дни от невисокосната година или 366 през високосните години, сякаш очакваме повторения. Това мислене наистина е точно, но само ако очакваме повторение в определен ден. Тоест, както вече коментирахме, ще трябва да съберем много хора, за да има още една възможност или по-малко близо до 50% от един от членовете на групата, който има рожден ден с нас, за да сложим пример.

В парадокса на рождения ден обаче възникват всякакви повторения. Тоест, колко души са необходими, за да имат двама от тези хора рождения си ден в един и същи ден, независимо от лицето или дните. За да го разберем и да го покажем математически, След това ще видим по-задълбочено процедурата зад парадокса.

• Може да се интересувате от: "12 любопитства за човешкия ум"

Възможност за възможно съвпадение

Нека си представим, че имаме само двама души в една стая. Тези двама души, C1 и C2, могат да образуват само двойка (C1=C2), с която имаме само една двойка, в която може да се появи повторен рожден ден. Или имат рождените си дни на един ден, или нямат същия рожден ден, няма други алтернативи..

За да изразим този факт математически, имаме следната формула:

(Брой хора х възможни комбинации)/2 = възможности за възможно съвпадение.

В този случай това би било:

(2 x 1)/2 = 1 шанс за възможно съвпадение

Какво се случва, ако вместо двама има трима? Шансовете за съвпадение достигат до три, благодарение на факта, че могат да се образуват три двойки между тези трима души (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Математически представени имаме:

(3 души X 2 възможни комбинации)/2 = 3 шанса за възможно съвпадение

При четири има шест възможности те да съвпадат между тях:

(4 души X 3 възможни комбинации)/2 = 6 шанса за възможно съвпадение

Ако стигнем до десет души, имаме много повече възможности:

(10 души X 9 възможни комбинации)/2 = 45

При 23 души има (23×22)/2 = 253 различни двойки, всеки един от тях е кандидат за техните двама членове да имат рожден ден в един и същи ден, създавайки парадокса на рождения ден и имайки повече възможности за съвпадение на рождения ден.

оценка на вероятността

Ще изчислим каква е вероятността група с размер n от хора двама от тях, каквито и да са, имат рожден ден в същия ден. За този конкретен случай ще отхвърлим високосните години и близнаците, като приемем, че има 365 рождени дни, които имат еднаква вероятност.

Използване на правилото на Лаплас и комбинаториката

Първо, трябва да изчислим вероятността n души да имат различни рождени дни. Тоест изчисляваме вероятността, противоположна на посочената в парадокса на рождения ден. За това, Трябва да вземем предвид две възможни събития, когато разглеждаме изчисленията.

Събитие A = {двама души празнуват рождените си дни в един и същи ден} В допълнение към събитието A: A^c = {двама души не празнуват рождените си дни в един и същи ден}

Да вземем като частен случай група от петима души (n=5)

За да изчислим броя на възможните случаи, използваме следната формула:

дни от годината^n

Като се има предвид, че нормалната година има 365 дни, броят на възможните случаи на празнуване на рожден ден е:

365^5 = 6,478 × 10^12

Първият от хората, които избираме, може да е роден, както е логично да се мисли, в който и да е от 365-те дни в годината. Следващият може да се е родил в някой от оставащите 364 дни, а следващият от следващите може да е роден в някой от оставащите 363 дни и т.н.

От това следва следното изчисление: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6303 × 10^12, което дава като резултатът е броят на случаите, при които няма двама души в тази група от 5, които са родени еднакви ден.

Прилагайки правилото на Лаплас, бихме изчислили:

P (A^c) = благоприятни случаи/възможни случаи = 6,303 / 6,478 = 0,973

Това означава, че шансовете двама души в групата от 5 да нямат рожден ден в един и същи ден са 97,3%. С тези данни можем да получим възможността двама души да имат рожден ден в един и същи ден, получавайки допълнителната стойност.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Така от това се извлича, че шансовете в група от петима души двама от тях да имат рожден ден в един и същи ден е само 2,7%.

Разбирайки това, можем да променим размера на извадката. Вероятността поне двама души в група от n души да имат един и същи рожден ден може да се получи с помощта на следната формула:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

В случай, че n е 23, вероятността поне двама от тези хора да празнуват години в един и същи ден е 0,51.

Причината, поради която този специфичен размер на извадката стана толкова известен, е, че с n = 23 има дори вероятност поне двама души да празнуват рождения ден в един и същи ден.

Ако увеличим до други стойности, например 30 или 50, имаме по-високи вероятности от съответно 0,71 и 0,97 или, което е същото, 71% и 97%. С n = 70 сме почти гарантирани, че двама от тях ще съвпаднат на рождения си ден, с вероятност от 0,99916 или 99,9%

Използване на правилото на Лаплас и правилото за произведение

Друг не толкова пресилен начин за разбиране на проблема е да го поставим по следния начин.

Нека си представим, че 23 души са заедно в една стая и искаме да изчислим шансовете те да нямат общи рождени дни.

Да предположим, че в стаята има само един човек. Вероятността всеки в стаята да има различни рождени дни очевидно е 100%, тоест вероятност 1. По принцип този човек е сам и тъй като няма никой друг, неговият рожден ден не съвпада с този на никой друг.

Сега влиза друг човек и следователно има двама души в стаята. Шансовете тя да има различен рожден ден от първия човек са 364/365, това е 0,9973 или 99,73%.

Въведете трети. Вероятността тя да има различен рожден ден от другите двама души, влезли преди нея, е 363/365. Шансът и тримата да имат различни рождени дни е 364/365 по 363/365, или 0,9918.

И така, опциите за 23 души с различни рождени дни са 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, което води до 0,493.

С други думи, има 49,3% вероятност никой от присъстващите да няма рожден ден на същия ден и следователно, обратното, изчислявайки допълващия се процент на този процент, имаме, че има 50,7% шанс поне две от тях да споделят рожден ден

За разлика от парадокса на рождения ден, вероятността всеки в стая от n души рожден ден в същия ден като конкретен човек, например, ние самите, в случай че сме там, се дава по следната формула.

1- (364/365)^n

При n = 23 това би дало около 0,061 вероятност (6%), което изисква поне n = 253, за да се даде стойност, близка до 0,5 или 50%.

Парадоксът в реалността

Има множество ситуации, в които можем да видим, че този парадокс е изпълнен. Тук ще поставим два реални случая.

Първият е този на кралете на Испания. Преброявайки от управлението на католическите монарси на Кастилия и Арагон до това на Фелипе VI от Испания, имаме 20 законни монарси. Сред тези крале откриваме, изненадващо, две двойки, които съвпадат на рождени дни: Карлос II с Карлос IV (11 ноември) и Хосе I с Хуан Карлос I (5 януари). Възможността да е имало само една двойка монарси с еднакъв рожден ден, като се има предвид, че n = 20, е

Друг реален случай е този с големия финал на Евровизия 2019. Във финала на същата година, който се проведе в Тел Авив, Израел, участваха 26 държави, 24 от които Изпращаха или солови певци, или групи, където фигурата на певеца заемаше специална роля. Сред тях двама певци съвпаднаха на рожден ден: представителят на Израел Коби Марими и този на Швейцария Лука Хани, като и двамата празнуват рожден ден на 8 октомври.

Библиографски справки:

• Абрамсън, М.; Мозер, У. ИЛИ. Дж. (1970). „Още изненади за рожден ден“. Американски математически месечник. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Блум, д. (1973). „Проблем с рожден ден“. Американски математически месечник. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Кламкин, М.; Нюман, Д. (1967). „Разширения на изненадата за рожден ден“. Вестник по комбинаторна теория. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9