Narozeninový paradox: co to je a jak to vysvětlit

Představme si, že jsme se skupinou lidí například na rodinném srazu, srazu základní třídy nebo prostě popíjíme v baru. Řekněme, že je tam asi 25 lidí.

Mezi hlukem a povrchními rozhovory jsme se trochu odpojili a začali jsme přemýšlet o svém věci a najednou se ptáme sami sebe: jaká musí být pravděpodobnost, že mezi těmito lidmi mají dva lidé narozeniny ten samý den?

Narozeninový paradox je matematická pravdaNa rozdíl od našeho instinktu, který tvrdí, že je potřeba jen velmi málo lidí, aby existovala téměř náhodná pravděpodobnost, že dva z nich budou mít stejné narozeniny. Pokusme se porozumět tomuto podivnému paradoxu důkladněji.

• Související článek: "Logicko-matematická inteligence: co to je a jak ji můžeme zlepšit?"

Narozeninový paradox

Narozeninový paradox je matematická pravda, která stanovuje, že ve skupině pouhých 23 lidí existuje pravděpodobnost blízká náhodě, konkrétně 50,7 %, že alespoň dva z těch lidí mají stejné narozeniny. Popularita tohoto matematického tvrzení je způsobena překvapivým faktem, že je jich potřeba tak málo. lidé, aby měli docela jistou šanci, že budou mít zápasy na něčem tak rozmanitém, jako jsou narozeniny.

Ačkoli se tento matematický fakt nazývá paradox, v přísném smyslu tomu tak není. Je to spíše paradox, protože se ukazuje jako kuriózní, protože je to zcela v rozporu se zdravým rozumem. Když se někoho zeptáme, kolik lidí si myslí, že je potřeba, aby oba dva měli narozeniny ve stejný den, lidé intuitivně dávají 183, tedy polovinu z 365.

Myšlenka za touto hodnotou je, že snížením počtu dní v běžném roce na polovinu získáme minimum nutné k tomu, aby byla pravděpodobnost blízká 50 %.

Nicméně, není divu, že při pokusu o odpověď na tuto otázku jsou uvedeny tak vysoké hodnoty, protože lidé často problém nechápou. Narozeninový paradox neodkazuje na pravděpodobnost, že má konkrétní osoba narozeniny s ohledem na další ve skupině, ale jak jsme uvedli, šance, že libovolní dva lidé ve skupině mají stejné narozeniny den.

Matematické vysvětlení jevu

Abychom pochopili tuto překvapivou matematickou pravdu, nejprve je třeba mít na paměti, že existuje mnoho možností, jak najít páry, které mají stejné narozeniny.

Na první pohled by si člověk řekl, že 23 dní, tedy 23. narozeniny členů kapely, je příliš malý zlomek možného počtu odlišných dnů, 365 dní v nepřestupném roce nebo 366 v přestupných letech, jako by se očekávalo opakování. Toto uvažování je skutečně přesné, ale pouze pokud očekáváme opakování v určitý den. To znamená, a jak jsme již uvedli, potřebovali bychom shromáždit hodně lidí, aby byla ještě jedna možnost nebo méně blízko 50 % jednoho z členů skupiny, který má narozeniny s námi, řečeno a příklad.

V narozeninovém paradoxu však vznikají jakákoliv opakování. To znamená, kolik lidí je potřeba, aby dva z těchto lidí měli narozeniny ve stejný den, ať už jde o osobu nebo dny. Abychom to pochopili a ukázali to matematicky, Dále uvidíme hlouběji postup za paradoxem.

• Mohlo by vás zajímat: "12 kuriozit o lidské mysli"

Možnost případné shody

Představme si, že máme v místnosti pouze dva lidi. Tito dva lidé, C1 a C2, mohli tvořit pouze pár (C1=C2), se kterým máme pouze jeden pár, ve kterém se mohou opakovat narozeniny. Buď mají narozeniny ve stejný den, nebo nemají stejné narozeniny, jiné alternativy neexistují..

Abychom tuto skutečnost vyjádřili matematicky, máme následující vzorec:

(počet osob x možné kombinace)/2 = možnosti možné koincidence.

V tomto případě by to bylo:

(2 x 1)/2 = 1 šance na možný zápas

Co se stane, když místo dvou lidí budou tři? Šance na zápas jsou až tři, díky tomu, že mezi těmito třemi lidmi lze vytvořit tři páry (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Matematicky znázorněno máme:

(3 lidé X 2 možné kombinace)/2 = 3 šance na možný zápas

Se čtyřmi existuje šest možností, které se mezi nimi shodují:

(4 osoby X 3 možné kombinace)/2 = 6 šancí na možný zápas

Pokud půjdeme do deseti lidí, máme mnohem více možností:

(10 lidí X 9 možných kombinací)/2 = 45

Při 23 lidech je (23×22)/2 = 253 různých párů, každý z nich je kandidátem na to, aby jejich dva členové měli narozeniny ve stejný den, čímž si dávají narozeninový paradox a mají více možností mít narozeninovou shodu.

odhad pravděpodobnosti

Budeme vypočítat, jaká je pravděpodobnost, že skupina o velikosti n lidí z nich dvaať už jsou jakékoli, mají narozeniny ve stejný den. Pro tento konkrétní případ vyřadíme přestupné roky a dvojčata za předpokladu, že existuje 365 narozenin, které mají stejnou pravděpodobnost.

Použití Laplaceova pravidla a kombinatoriky

Nejprve musíme vypočítat pravděpodobnost, že n lidí má různé narozeniny. To znamená, že vypočítáme opačnou pravděpodobnost, než je uvedeno v narozeninovém paradoxu. Pro tohle, Při zvažování výpočtů musíme vzít v úvahu dvě možné události.

Událost A = {dva lidé slaví narozeniny ve stejný den} Doplňkově k události A: A^c = {dva lidé neslaví narozeniny ve stejný den}

Vezměme si jako konkrétní případ skupinu s pěti lidmi (n=5)

Pro výpočet počtu možných případů použijeme následující vzorec:

dny v roce^n

Vezmeme-li v úvahu, že běžný rok má 365 dní, počet možných případů oslav narozenin je:

365^5 = 6,478 × 10^12

První z lidí, které vybereme, se možná narodili, jak je logické si myslet, v kterýkoli z 365 dnů v roce. Další se mohl narodit v jednom ze zbývajících 364 dnů, a další z následujících se může narodit v jednom ze zbývajících 363 dnů a tak dále.

Z toho vyplývá následující výpočet: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6 303 × 10^12, což dává jako výsledkem je počet případů, kdy v této skupině 5 nejsou dva lidé, kteří se narodili stejně den.

Při použití Laplaceova pravidla bychom vypočítali:

P (A^c) = příznivé případy/možné případy = 6,303 / 6,478 = 0,973

Tohle znamená tamto šance, že dva lidé ve skupině 5 nebudou mít narozeniny ve stejný den, je 97,3 %. S těmito údaji můžeme získat možnost, že dva lidé budou mít narozeniny ve stejný den, čímž získáme doplňkovou hodnotu.

p(A) = 1 – p(A^c) = 1 – 0,973 = 0,027

Z toho tedy vyplývá, že šance, že ve skupině pěti lidí budou mít dva z nich narozeniny ve stejný den, je pouze 2,7 %.

Když to pochopíme, můžeme změnit velikost vzorku. Pravděpodobnost, že alespoň dva lidé na shromáždění n lidí mají stejné narozeniny, lze získat pomocí následujícího vzorce:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

V případě, že n je 23, pravděpodobnost, že alespoň dva z těchto lidí slaví roky ve stejný den, je 0,51.

Důvod, proč se tato konkrétní velikost vzorku stala tak slavnou, je ten, že s n = 23 je dokonce pravděpodobnost, že narozeniny slaví ve stejný den alespoň dva lidé.

Pokud zvýšíme na jiné hodnoty, například 30 nebo 50, máme vyšší pravděpodobnosti 0,71, respektive 0,97, nebo co je stejné, 71 % a 97 %. S n = 70 je téměř zaručeno, že se dva z nich budou shodovat v den svých narozenin, s pravděpodobností 0,99916 nebo 99,9 %

Použití Laplaceova pravidla a pravidla součinu

Dalším ne tak přitaženým způsobem, jak problém pochopit, je položit jej následovně.

Představme si, že 23 lidí je pohromadě v místnosti a chceme spočítat šanci, že nebudou sdílet narozeniny.

Předpokládejme, že v místnosti je pouze jedna osoba. Šance, že každý v místnosti bude mít jiné narozeniny, je samozřejmě 100%, tedy pravděpodobnost 1. V podstatě je ten člověk sám, a protože tam nikdo jiný není, jeho narozeniny se neshodují s narozeninami nikoho jiného.

Nyní vejde další osoba, a proto jsou v místnosti dva lidé. Pravděpodobnost, že bude mít jiné narozeniny než první osoba, je 364/365, to je 0,9973 nebo 99,73 %.

Zadejte třetí. Pravděpodobnost, že má jiné narozeniny než ostatní dva lidé, kteří vstoupili před ní, je 363/365. Pravděpodobnost, že všichni tři mají různé narozeniny, je 364/365 krát 363/365, neboli 0,9918.

Takže možnosti pro 23 lidí s různými narozeninami jsou 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, výsledkem je 0,493.

Jinými slovy, existuje 49,3% pravděpodobnost, že nikdo z přítomných nemá narozeniny ve stejný den, a tedy naopak, při výpočtu komplementárního procenta máme, že existuje 50,7% šance, že alespoň dva z nich budou sdílet narozeniny

Na rozdíl od narozeninového paradoxu, pravděpodobnost, že někdo v místnosti n osoby narozeniny ve stejný den jako konkrétní osoba, například my v případě, že jsme tam, je dán následujícím vzorcem.

1- (364/365)^n

S n = 23 by to dalo asi 0,061 pravděpodobnosti (6 %), což vyžaduje alespoň n = 253, aby se získala hodnota blízká 0,5 nebo 50 %.

Paradox ve skutečnosti

Existuje více situací, kdy můžeme vidět, že se tento paradox naplňuje. Zde uvedeme dva skutečné případy.

První je španělských králů. Od vlády katolických panovníků z Kastilie a Aragonie po panování Filipa VI. Španělského máme 20 legitimních panovníků. Mezi těmito králi najdeme překvapivě dva páry, které se shodují v den narozenin: Carlos II. s Carlosem IV. (11. listopadu) a José I. s Juanem Carlosem I. (5. ledna). Možnost, že existoval pouze jeden pár panovníků se stejnými narozeninami, s přihlédnutím k tomu, že n = 20, je

Dalším skutečným případem je velké finále Eurovize v roce 2019. Finále toho roku, které se konalo v Tel Avivu v Izraeli, se zúčastnilo 26 zemí, z toho 24 Vyslali buď sólové zpěváky, nebo skupiny, kde postava zpěváka převzala zvláštní roli. Mezi nimi se dva zpěváci shodovali v den narozenin: reprezentant Izraele Kobi Marimi a ten ze Švýcarska Luca Hänni, oba slaví narozeniny 8. října.

Bibliografické odkazy:

• Abramson, M.; Moser, W. BUĎ. J. (1970). „Další narozeninová překvapení“. Americký matematický měsíčník. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Bloom, d. (1973). „Narozeninový problém“. Americký matematický měsíčník. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkin, M.; Newman, D. (1967). „Rozšíření narozeninového překvapení“. Journal of Combinatorial Theory. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9