Techniky počítání: typy, způsoby jejich použití a příklady

Svět matematiky, stejně fascinující, je také komplikovaný, ale možná díky své složitosti dokážeme zvládnout každodenní věci efektivněji a efektivněji.

Techniky počítání jsou matematické metody, které nám umožňují zjistit, kolik různých kombinací nebo možností existuje ve stejné skupině objektů.

• Doporučený článek: „Psychometrie: co to je a za co je to zodpovědné?“

Tyto techniky umožňují velmi významným způsobem zrychlit, protože víte, kolik různých způsobů existuje k vytvoření sekvencí nebo kombinací objektů, aniž by došlo ke ztrátě trpělivosti nebo rozumu. Podívejme se blíže na to, jaké jsou a které jsou nejpoužívanější.

Techniky počítání: co jsou zač?

Techniky počítání jsou matematické strategie používané v pravděpodobnosti a statistikách, které umožňují určení celkový počet výsledků, které mohou vzniknout při vytváření kombinací v sadě nebo sadách předměty. Tyto typy technik se používají, když je prakticky nemožné nebo příliš těžké provádět kombinace různých prvků ručně a vědět, kolik z nich je možné.

Tento koncept bude lépe pochopen na příkladu. Pokud máte čtyři židle, jednu žlutou, jednu červenou, jednu modrou a jednu zelenou, kolik kombinací tří z nich lze uspořádat vedle sebe?

Tento problém lze vyřešit ručním provedením kombinací jako modrá, červená a žlutá; modrá, žlutá a červená; červená, modrá a žlutá, červená, žlutá a modrá... Ale to může vyžadovat hodně trpělivosti a času, a proto bychom použili techniky počítání, v tomto případě je nutná permutace.

• Mohlo by vás zajímat: "Normální rozdělení: co to je, charakteristiky a příklady ve statistice"

Pět typů technik počítání

Hlavní techniky počítání jsou následujících pět, i když ne jediní, každý s vlastními zvláštnostmi a používaný podle požadavků, aby věděl, kolik kombinací sad objektů je možné.

Ve skutečnosti lze tento typ technik rozdělit do dvou skupin, v závislosti na jejich složitosti, z nichž je jedna složena multiplikativní princip a aditivní princip a druhý, který se skládá z kombinací a obměny.

1. Multiplikativní princip

Tento typ techniky počítání spolu s principem aditiv umožňuje snadné a praktické pochopení toho, jak tyto matematické metody fungují.

Pokud se jedna událost, řekněme jí N1, může vyskytnout několika způsoby a jiná událost, N2, se může vyskytnout tolika způsoby, pak se události společně mohou vyskytnout způsoby N1 x N2.

Tento princip se používá, když je akce postupná, to znamená, že je tvořena událostmi, které se vyskytují uspořádaným způsobem, jako je stavba domu, výběr tanečních kroků na diskotéce nebo pořadí, které bude následovat při přípravě a koláč.

Například:

V restauraci se menu skládá z hlavního jídla, druhého jídla a dezertu. U hlavních jídel máme 4, na sekundy 5 a na dezerty 3.

Takže N1 = 4; N2 = 5 a N3 = 3.

Kombinace nabízené tímto menu by tedy byly 4 x 5 x 3 = 60

2. Aditivní princip

V tomto případě se místo násobení alternativ pro každou událost stane to, že se přidají různé způsoby, jak k nim může dojít.

To znamená, že pokud první aktivita může nastat M způsoby, druhá v N a třetí L, pak by podle tohoto principu byla M + N + L.

Například:

Chceme koupit čokoládu, v supermarketu jsou tři značky: A, B a C.

Čokoláda A se prodává ve třech příchutích: černé, mléčné a bílé, kromě možnosti pro každou z nich bez nebo s cukrem.

Čokoláda B se prodává ve třech příchutích, černé, mléčné nebo bílé, s možností mít lískové ořechy či nikoli, s cukrem nebo bez cukru.

Čokoláda C se prodává ve třech příchutích, černé, mléčné a bílé, s možností mít lískové ořechy, arašídy, karamel nebo mandle, ale vše s cukrem.

Na základě toho je třeba odpovědět na otázku: kolik různých druhů čokolády lze koupit?

W = počet způsobů, jak vybrat čokoládu A.

Y = počet způsobů, jak vybrat čokoládu B.

Z = počet způsobů, jak vybrat čokoládu C.

Dalším krokem je jednoduché násobení.

Š = 3 x 2 = 6.

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 různých druhů čokolády.

Chcete-li vědět, zda použít multiplikativní nebo aditivní princip, hlavní vodítko je, zda se jedná o danou činnost Je třeba provést řadu kroků, jako tomu bylo v případě nabídky, nebo existuje několik možností, jako je tomu v případě čokolády.

3. Permutace

Než pochopíte, jak provést permutace, je důležité pochopit rozdíl mezi kombinací a permutací.

Kombinace je uspořádání prvků, jejichž pořadí není důležité nebo nemění konečný výsledek.

Na druhé straně by v permutaci existovalo uspořádání několika prvků, ve kterých je důležité vzít v úvahu jejich pořadí nebo pozici.

V permutacích existuje n počet různých prvků a je vybrán počet z nich, což by bylo r.

Vzorec, který by se použil, by byl následující: nPr = n! / (N-r)!

Například:

Existuje skupina 10 lidí a je zde sedadlo, do kterého se vejde pouze pět, kolik způsobů mohou sedět?

Bylo by provedeno následující:

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30 240 různých způsobů obsazení banky.

4. Permutace s opakováním

Pokud chcete znát počet permutací v sadě objektů, z nichž některé jsou stejné, postupujte následovně:

Vezmeme-li v úvahu, že n jsou dostupné prvky, některé se opakovaly.

Jsou vybrány všechny položky n.

Platí následující vzorec: = n! / N1! N2... nk!

Například:

Na lodi lze zvednout 3 červené, 2 žluté a 5 zelených vlajek. Kolik různých signálů lze vytvořit zvednutím 10 vlajek, které máte?

10!/3!2!5! = 2 520 různých kombinací příznaků.

5. Kombinace

V kombinacích, na rozdíl od toho, co se stalo s permutacemi, není pořadí prvků důležité.

Použitý vzorec je následující: nCr = n! / (N-r)! R!

Například:

Skupina 10 lidí chce uklidit sousedství a připravuje se na vytvoření skupin po 2 členech. Kolik skupin je možné?

V tomto případě n = 10 ar = 2, tedy použití vzorce:

10C2 = 10! / (10-2)! 2! = 180 různých párů.

Bibliografické odkazy:

• Brualdi, R. NA. (2010), Introductory Combinatorics (5. vydání), Pearson Prentice Hall.
• autor: Finetti, B. (1970). "Logické základy a měření subjektivní pravděpodobnosti". Acta Psychologica.
• Hogg, R. V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Úvod do matematické statistiky (6. vydání). Horní sedlo: Pearson.
• Mazur, D. R. (2010), Combinatorics: A Guided Tour, Mathematical Association of America,
• Ryser, H. J. (1963), Combinatorial Mathematics, The Carus Mathematical Monographs 14, Mathematical Association of America.