Fødselsdagsparadokset: hvad det er, og hvordan man forklarer det

Lad os forestille os, at vi er sammen med en gruppe mennesker, for eksempel til en familiesammenkomst, en primær klassesammenkomst eller blot en drink i en bar. Lad os sige, at der er omkring 25 personer.

Mellem støjen og de overfladiske samtaler har vi koblet lidt af, og vi er begyndt at tænke på vores ting, og pludselig spørger vi os selv: hvad må sandsynligheden være for, at to mennesker blandt disse mennesker har fødselsdag d. den samme dag?

Fødselsdagsparadokset er en matematisk sandhed, modsat vores instinkt, som holder på, at der skal meget få mennesker til, for at der er en nærmest tilfældig sandsynlighed for, at to af dem har samme fødselsdag. Lad os prøve at forstå dette mærkelige paradoks mere grundigt.

• Relateret artikel: "Logisk-matematisk intelligens: hvad er det, og hvordan kan vi forbedre det?"

Fødselsdagsparadokset

Fødselsdagsparadokset er en matematisk sandhed, der fastslår, at i en gruppe på kun 23 personer er der en sandsynlighed tæt på tilfældighederne, nærmere bestemt 50,7 %,

at mindst to af de mennesker har samme fødselsdag. Populariteten af ​​denne matematiske erklæring skyldes det overraskende faktum, at så få er nødvendige. folk skal have en ret sikker chance for, at de får tændstikker på noget så varieret som en fødselsdag.

Selvom dette matematiske faktum kaldes et paradoks, er det i streng forstand ikke det. Det er snarere et paradoks, for så vidt det viser sig at være nysgerrigt, da det er helt i strid med sund fornuft. Når nogen bliver spurgt, hvor mange mennesker de tror, ​​der skal til for at de to kan have fødselsdag på samme dag, har folk en tendens til intuitivt at give 183, det vil sige halvdelen af ​​365.

Tanken bag denne værdi er, at man ved at halvere antallet af dage i et almindeligt år opnår det nødvendige minimum for, at der er en sandsynlighed tæt på 50 %.

Imidlertid, det er ikke overraskende, at der gives så høje værdier, når man forsøger at besvare dette spørgsmål, da folk ofte misforstår problemet. Fødselsdagsparadokset refererer ikke til de sandsynligheder, som en bestemt person har fødselsdag mht en anden i gruppen, men, som vi har kommenteret, chancerne for, at to personer i gruppen har samme fødselsdag dag.

Matematisk forklaring af fænomenet

For at forstå denne overraskende matematiske sandhed er den første ting at gøre at huske på, at der er mange muligheder for at finde par, der har samme fødselsdag.

Umiddelbart skulle man tro, at 23 dage, altså bandmedlemmernes 23-års fødselsdag, er for lille en brøkdel af det mulige antal adskilte dage365 dage i et ikke-skudår eller 366 i skudår, som om man ville forvente gentagelser. Denne tankegang er ganske rigtigt, men kun hvis vi forventer en gentagelse på en bestemt dag. Det vil sige, og som vi allerede har kommenteret, ville vi skulle samle en masse mennesker, så der ville være en mulighed mere eller mindre tæt på 50% af et af medlemmerne af gruppen, der har fødselsdag med os selv, for at sætte en eksempel.

Men i fødselsdagsparadokset opstår enhver gentagelse. Det vil sige, hvor mange personer skal der til, for at to af disse personer har fødselsdag på samme dag, er den eller de dage evt. For at forstå det og vise det matematisk, Dernæst vil vi se mere i dybden med proceduren bag paradokset.

• Du kan være interesseret i: "12 kuriositeter om det menneskelige sind"

Mulighed for eventuel match

Lad os forestille os, at vi kun har to personer i et værelse. Disse to personer, C1 og C2, kunne kun danne et par (C1=C2), som vi kun har ét par med, hvor der kan forekomme en gentagelsesfødselsdag. Enten har de fødselsdag samme dag, eller også har de ikke samme fødselsdag, der er ingen andre alternativer..

For at angive denne kendsgerning matematisk har vi følgende formel:

(Antal personer x mulige kombinationer)/2 = muligheder for mulig tilfældighed.

I dette tilfælde vil dette være:

(2 x 1)/2 = 1 chance for en mulig kamp

Hvad sker der, hvis der er tre i stedet for to? Kampchancer går op til tre, takket være det faktum, at der kan dannes tre par mellem disse tre personer (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Matematisk repræsenteret har vi:

(3 personer X 2 mulige kombinationer)/2 = 3 chancer for en mulig kamp

Med fire er der seks muligheder for, at de falder sammen mellem dem:

(4 personer X 3 mulige kombinationer)/2 = 6 chancer for en mulig kamp

Hvis vi går op til ti personer, har vi mange flere muligheder:

(10 personer X 9 mulige kombinationer)/2 = 45

Med 23 personer er der (23×22)/2 = 253 forskellige par, hver af dem en kandidat til, at deres to medlemmer skal have fødselsdag på samme dag, hvilket giver sig selv fødselsdagsparadokset og har flere muligheder for at have et fødselsdagssammenfald.

sandsynlighedsvurdering

Vi skal beregne, hvad er sandsynligheden for, at en gruppe med størrelse n af personer to af dem, uanset hvad de er, har fødselsdag samme dag. For dette specifikke tilfælde vil vi kassere skudår og tvillinger, idet vi antager, at der er 365 fødselsdage, der har samme sandsynlighed.

Brug af Laplaces regel og kombinatorik

Først skal vi beregne sandsynligheden for, at n personer har forskellige fødselsdage. Det vil sige, at vi udregner sandsynligheden modsat, hvad der står i fødselsdagsparadokset. For det, Vi skal tage højde for to mulige hændelser, når vi overvejer beregningerne.

Begivenhed A = {to personer fejrer deres fødselsdage på samme dag} Supplerende til begivenheden A: A^c = {to personer fejrer ikke deres fødselsdage på samme dag}

Lad os som et særligt tilfælde tage en gruppe med fem personer (n=5)

For at beregne antallet af mulige tilfælde bruger vi følgende formel:

dage af året^n

Når man tager i betragtning, at et normalt år har 365 dage, er antallet af mulige tilfælde af fødselsdagsfejring:

365^5 = 6,478 × 10^12

Den første af de mennesker, vi udvælger, kan være født, som det er logisk at tro, på en af ​​årets 365 dage. Den næste kan være blevet født i en af ​​de resterende 364 dage, og den næste af de næste kan være blevet født i en af ​​de resterende 363 dage, og så videre.

Heraf følger følgende beregning: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6.303 × 10^12, hvilket giver som resultat er antallet af tilfælde, hvor der ikke er to personer i den gruppe på 5, der er født ens dag.

Ved at anvende Laplaces regel ville vi beregne:

P (A^c) = gunstige tilfælde/mulige tilfælde = 6,303 / 6,478 = 0,973

Det betyder at chancerne for, at to personer i gruppen på 5 ikke har fødselsdag på samme dag er 97,3 %. Med disse data kan vi opnå muligheden for, at to personer har fødselsdag på samme dag og opnår den komplementære værdi.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Heraf uddrages det således, at chancerne for, at to af dem i en gruppe på fem personer har fødselsdag samme dag kun er 2,7 %.

Når vi forstår dette, kan vi ændre størrelsen på prøven. Sandsynligheden for, at mindst to personer i en forsamling på n personer har samme fødselsdag, kan opnås ved hjælp af følgende formel:

1- ((365x364x363x...(365-n+1))/365^n)

Hvis n er 23, er sandsynligheden for, at mindst to af disse mennesker fejrer år på samme dag, 0,51.

Grunden til, at denne specifikke stikprøvestørrelse er blevet så berømt, er, at med n = 23 der er en jævn sandsynlighed for, at mindst to personer fejrer fødselsdagen samme dag.

Hvis vi stiger til andre værdier, for eksempel 30 eller 50, har vi højere sandsynlighed på henholdsvis 0,71 og 0,97, eller hvad der er det samme, 71% og 97%. Med n = 70 er vi næsten garanteret, at to af dem vil falde sammen på deres fødselsdag, med en sandsynlighed på 0,99916 eller 99,9 %

Brug af Laplaces regel og produktreglen

En anden ikke så vidtløftig måde at forstå problemet på er at stille det som følger.

Lad os forestille os, at 23 personer er sammen i et værelse, og vi vil beregne chancerne for, at de ikke deler fødselsdage.

Antag, at der kun er én person i rummet. Chancerne for, at alle i lokalet vil have forskellige fødselsdage, er naturligvis 100 %, det vil sige sandsynlighed 1. Grundlæggende er den person alene, og da ingen andre er der, falder deres fødselsdag ikke sammen med andres.

Nu kommer endnu en person ind, og derfor er der to personer i lokalet. Chancerne for, at hun har en anden fødselsdag end den første person, er 364/365, dette er 0,9973 eller 99,73%.

Indtast en tredje. Sandsynligheden for, at hun har en anden fødselsdag end de to andre, der er kommet ind før hende, er 363/365. Oddset på at alle tre har forskellige fødselsdage er 364/365 gange 363/365, eller 0,9918.

Så mulighederne for 23 personer med forskellige fødselsdage er 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, hvilket resulterer i 0,493.

Der er med andre ord 49,3 % sandsynlighed for, at ingen af ​​de tilstedeværende har fødselsdag samme dag og derfor omvendt, ved at beregne komplementaren af ​​den procentdel, har vi, at der er en 50,7 % chance for, at mindst to af dem deler fødselsdag

I modsætning til fødselsdagsparadokset er sandsynligheden for, at nogen i et rum på n person fødselsdag samme dag som en bestemt person, for eksempel os selv, hvis vi er der, er givet ved følgende formel.

1- (364/365)^n

Med n = 23 ville det give omkring 0,061 sandsynlighed (6%), hvilket kræver mindst n = 253 for at give en værdi tæt på 0,5 eller 50%.

Paradokset i virkeligheden

Der er flere situationer, hvor vi kan se, at dette paradoks er opfyldt. Her vil vi sætte to rigtige sager.

Den første er den af ​​Spaniens konger. Tællende fra de katolske monarker i Castilien og Aragonien til Felipe VI af Spaniens regeringstid, har vi 20 legitime monarker. Blandt disse konger finder vi overraskende to par, der falder sammen på fødselsdage: Carlos II med Carlos IV (11. november) og José I med Juan Carlos I (5. januar). Muligheden for, at der kun var ét par monarker med samme fødselsdag, når man tager i betragtning, at n = 20, er

Et andet reelt tilfælde er den store finale i Eurovision i 2019. I finalen i det år, der blev afholdt i Tel Aviv, Israel, deltog 26 lande, heraf 24 De sendte enten solosangere eller grupper, hvor sangerens skikkelse indtog en særlig rolle. Blandt dem faldt to sangere sammen på en fødselsdag: Israels repræsentant, Kobi Marimi og den fra Schweiz, Luca Hänni, der begge fejrede deres fødselsdag den 8. oktober.

Bibliografiske referencer:

• Abramson, M.; Moser, W. ENTEN. J. (1970). "Flere fødselsdagsoverraskelser". American Mathematical Monthly. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Bloom, d. (1973). "Et fødselsdagsproblem". American Mathematical Monthly. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkin, M.; Newman, D. (1967). "Udvidelser af fødselsdagsoverraskelsen". Tidsskrift for kombinatorisk teori. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9