Zähltechniken: Typen, wie man sie verwendet und Beispiele

Die Welt der Mathematik ist ebenso faszinierend wie kompliziert, aber vielleicht können wir dank seiner Komplexität den Alltag effektiver und effizienter bewältigen.

Zähltechniken sind mathematische Methoden, die es uns ermöglichen zu wissen, wie viele verschiedene Kombinationen oder Optionen es von den Elementen innerhalb derselben Objektgruppe gibt.

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Diese Techniken machen es möglich, die Geschwindigkeit erheblich zu beschleunigen, wenn man weiß, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, Sequenzen oder Kombinationen von Objekten zu erstellen, ohne die Geduld oder den Verstand zu verlieren. Werfen wir einen genaueren Blick darauf, was sie sind und welche am häufigsten verwendet werden.

Zähltechniken: Was ist das?

Zähltechniken sind mathematische Strategien, die in der Wahrscheinlichkeits- und Statistik verwendet werden und die es ermöglichen, Gesamtzahl der Ergebnisse, die aus Kombinationen innerhalb eines Satzes oder mehrerer Sätze von Objekte. Diese Arten von Techniken werden verwendet, wenn es praktisch unmöglich oder zu schwer ist, Kombinationen verschiedener Elemente manuell herzustellen und zu wissen, wie viele davon möglich sind.

Dieses Konzept wird durch ein Beispiel leichter verständlich. Wenn Sie vier Stühle haben, einen gelben, einen roten, einen blauen und einen grünen, wie viele Kombinationen von drei davon können nebeneinander angeordnet werden?

Dieses Problem könnte gelöst werden, indem man es manuell macht, indem man an Kombinationen wie Blau, Rot und Gelb denkt; blau, gelb und rot; rot, blau und gelb, rot, gelb und blau... Aber dies kann viel Geduld und Zeit erfordern, und dafür würden wir Zähltechniken verwenden, für diesen Fall ist eine Permutation notwendig.

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Die fünf Arten von Zähltechniken

Die wichtigsten Zähltechniken sind die folgenden fünf, wenn auch nicht die einzigen, jede mit ihren eigenen Besonderheiten und wird entsprechend den Anforderungen verwendet, um zu wissen, wie viele Kombinationen von Objektmengen möglich sind.

Tatsächlich kann diese Art von Techniken je nach ihrer Komplexität in zwei Gruppen unterteilt werden, von denen eine aus das multiplikative Prinzip und das additive Prinzip, und das andere besteht aus Kombinationen und Permutationen.

1. Multiplikatives Prinzip

Diese Art der Zähltechnik ermöglicht zusammen mit dem additiven Prinzip ein einfaches und praktisches Verständnis der Funktionsweise dieser mathematischen Methoden.

Wenn ein Ereignis, nennen wir es N1, auf verschiedene Arten auftreten kann und ein anderes Ereignis, N2, auf ebenso viele Arten auftreten kann, dann können die Ereignisse zusammen auf N1 x N2 Arten auftreten.

Dieses Prinzip wird verwendet, wenn die Aktion sequentiell ist, d. h. aus Ereignissen besteht, die geordnet ablaufen, wie der Bau eines Hauses, die Auswahl der Tanzschritte in einer Disco oder die Reihenfolge, die bei der Vorbereitung eines Kuchen.

Beispielsweise:

In einem Restaurant besteht das Menü aus einem Hauptgang, einem zweiten und einem Dessert. Für Hauptgerichte gibt es 4, für Sekunden 5 und für Desserts 3.

N1 = 4; N2 = 5 und N3 = 3.

Die von diesem Menü angebotenen Kombinationen wären also 4 x 5 x 3 = 60

2. Additivprinzip

In diesem Fall werden, anstatt die Alternativen für jedes Ereignis zu multiplizieren, die verschiedenen Möglichkeiten, auf denen sie auftreten können, addiert.

Das heißt, wenn die erste Aktivität auf M-Wege, die zweite auf N und die dritte auf L erfolgen kann, dann wäre es nach diesem Prinzip M + N + L.

Beispielsweise:

Wir wollen Schokolade kaufen, im Supermarkt gibt es drei Marken: A, B und C.

Schokolade A wird in drei Geschmacksrichtungen verkauft: Schwarz, Milch und Weiß, zusätzlich zur Option ohne oder mit Zucker für jeden von ihnen.

Chocolate B wird in drei Geschmacksrichtungen verkauft: Schwarz, Milch oder Weiß, wahlweise mit oder ohne Haselnüsse und mit oder ohne Zucker.

Chocolate C wird in drei Geschmacksrichtungen verkauft: Schwarz, Milch und Weiß, wahlweise mit Haselnüssen, Erdnüssen, Karamell oder Mandeln, aber alle mit Zucker.

Darauf aufbauend ist die Frage zu beantworten: Wie viele verschiedene Schokoladensorten gibt es zu kaufen?

W = Anzahl der Möglichkeiten zur Auswahl der Schokolade A.

Y = Anzahl der Möglichkeiten zur Auswahl der Schokolade B.

Z = Anzahl der Möglichkeiten zur Auswahl der Schokolade C.

Der nächste Schritt ist die einfache Multiplikation.

B = 3 x 2 = 6.

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 verschiedene Schokoladensorten.

Um zu wissen, ob das multiplikative oder das additive Prinzip angewendet werden soll, ist der Haupthinweis, ob Es gibt eine Reihe von Schritten, die ausgeführt werden müssen, wie es beim Menü der Fall war, oder es gibt mehrere Optionen, wie zum Beispiel Schokolade.

3. Permutationen

Bevor Sie verstehen, wie die Permutationen durchgeführt werden, ist es wichtig, den Unterschied zwischen einer Kombination und einer Permutation zu verstehen.

Eine Kombination ist eine Anordnung von Elementen, deren Reihenfolge nicht wichtig ist oder das Endergebnis nicht ändert.

Andererseits würde es bei einer Permutation eine Anordnung mehrerer Elemente geben, bei der es wichtig ist, ihre Reihenfolge oder Position zu berücksichtigen.

Bei Permutationen gibt es n verschiedene Elemente und eine Anzahl von ihnen wird ausgewählt, die r wäre.

Die zu verwendende Formel wäre die folgende: nPr = n! / (N-r)!

Beispielsweise:

Es gibt eine Gruppe von 10 Personen und es gibt einen Sitzplatz, der nur für fünf Personen geeignet ist.

Folgendes wäre zu tun:

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30.240 verschiedene Möglichkeiten, die Bank zu besetzen.

4. Permutationen mit Wiederholung

Wenn Sie die Anzahl der Permutationen in einer Menge von Objekten wissen möchten, von denen einige gleich sind, gehen Sie wie folgt vor:

Unter Berücksichtigung, dass n die verfügbaren Elemente sind, werden einige von ihnen wiederholt.

Alle Elemente n sind ausgewählt.

Es gilt folgende Formel: = n! / N1!N2... nk!

Beispielsweise:

Auf einem Boot können 3 rote, 2 gelbe und 5 grüne Flaggen gehisst werden. Wie viele verschiedene Signale könnten durch das Hissen der 10 Flaggen gemacht werden, die Sie haben?

10!/3!2!5! = 2.520 verschiedene Flaggenkombinationen.

5. Kombinationen

Bei Kombinationen ist die Reihenfolge der Elemente, anders als bei Permutationen, nicht wichtig.

Die anzuwendende Formel lautet: nCr = n! / (N-r)!R!

Beispielsweise:

Eine Gruppe von 10 Personen möchte die Nachbarschaft aufräumen und bereitet sich darauf vor, Gruppen zu je 2 Mitgliedern zu bilden Wie viele Gruppen sind möglich?

In diesem Fall ist n = 10 und r = 2, also unter Anwendung der Formel:

10C2 = 10! / (10-2)!2! = 180 verschiedene Paare.

Bibliographische Referenzen:

• Brualdi, R. ZU. (2010), Einführende Kombinatorik (5. Aufl.), Pearson Prentice Hall.
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