Το παράδοξο των γενεθλίων: τι είναι και πώς να το εξηγήσω

Ας φανταστούμε ότι βρισκόμαστε με μια ομάδα ανθρώπων, για παράδειγμα, σε μια οικογενειακή συγκέντρωση, μια επανένωση πρωτοβάθμιας τάξης ή απλά να πίνουμε ένα ποτό σε ένα μπαρ. Ας πούμε ότι είναι περίπου 25 άτομα.

Μεταξύ του θορύβου και των επιφανειακών συζητήσεων, έχουμε αποσυνδεθεί λίγο και έχουμε αρχίσει να σκεφτόμαστε τα δικά μας πράγματα και, ξαφνικά, αναρωτιόμαστε: ποια πρέπει να είναι η πιθανότητα μεταξύ αυτών των ανθρώπων δύο άτομα να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα?

Το παράδοξο των γενεθλίων είναι μια μαθηματική αλήθεια, σε αντίθεση με το ένστικτό μας, που υποστηρίζει ότι χρειάζονται πολύ λίγοι άνθρωποι για να υπάρχει σχεδόν τυχαία πιθανότητα δύο από αυτούς να έχουν τα ίδια γενέθλια. Ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε πιο διεξοδικά αυτό το περίεργο παράδοξο.

• Σχετικό άρθρο: "Λογική-μαθηματική νοημοσύνη: τι είναι και πώς μπορούμε να τη βελτιώσουμε;"

Το παράδοξο των γενεθλίων

Το παράδοξο των γενεθλίων είναι μια μαθηματική αλήθεια που αποδεικνύει ότι σε μια ομάδα μόλις 23 ατόμων υπάρχει μια πιθανότητα κοντά στην τύχη, συγκεκριμένα 50,7%.

ότι τουλάχιστον δύο από αυτά τα άτομα έχουν τα ίδια γενέθλια. Η δημοτικότητα αυτής της μαθηματικής δήλωσης οφείλεται στο εκπληκτικό γεγονός ότι τόσο λίγα είναι απαραίτητα. οι άνθρωποι να έχουν μια αρκετά σίγουρη πιθανότητα ότι θα έχουν αγώνες σε κάτι τόσο διαφορετικό όπως τα γενέθλια.

Αν και αυτό το μαθηματικό γεγονός ονομάζεται παράδοξο, με την αυστηρή έννοια δεν είναι. Είναι μάλλον παράδοξο στο βαθμό που αποδεικνύεται περίεργο, αφού είναι αρκετά αντίθετο με την κοινή λογική. Όταν κάποιος ρωτάται πόσα άτομα πιστεύει ότι χρειάζονται για να έχουν γενέθλια οι δυο τους την ίδια μέρα, οι άνθρωποι τείνουν να δίνουν διαισθητικά 183, δηλαδή τα μισά από τα 365.

Η σκέψη πίσω από αυτή την τιμή είναι ότι μειώνοντας στο μισό τον αριθμό των ημερών σε ένα συνηθισμένο έτος, προκύπτει το ελάχιστο απαραίτητο για να υπάρχει μια πιθανότητα κοντά στο 50%.

Ωστόσο, Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι δίνονται τόσο υψηλές τιμές όταν προσπαθούμε να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση, αφού οι άνθρωποι συχνά παρεξηγούν το πρόβλημα. Το παράδοξο γενεθλίων δεν αναφέρεται στις πιθανότητες ότι ένα συγκεκριμένο άτομο έχει γενέθλια σε σχέση με άλλος στην ομάδα, αλλά, όπως έχουμε σχολιάσει, οι πιθανότητες δύο άτομα στην ομάδα να έχουν τα ίδια γενέθλια ημέρα.

Μαθηματική εξήγηση του φαινομένου

Για να κατανοήσετε αυτήν την εκπληκτική μαθηματική αλήθεια, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να έχετε κατά νου ότι υπάρχουν πολλές πιθανότητες να βρείτε ζευγάρια που έχουν τα ίδια γενέθλια.

Με την πρώτη ματιά, θα πίστευε κανείς ότι 23 μέρες, δηλαδή τα 23α γενέθλια των μελών του συγκροτήματος, είναι πολύ μικρό κλάσμα του πιθανού αριθμού διακριτών ημερών, 365 ημέρες ενός μη δίσεκτου έτους ή 366 σε δίσεκτα έτη, σαν να περιμένουμε επαναλήψεις. Αυτή η σκέψη είναι πράγματι ακριβής, αλλά μόνο εάν περιμένουμε επανάληψη σε μια συγκεκριμένη ημέρα. Δηλαδή, και όπως έχουμε ήδη σχολιάσει, θα χρειαζόταν να μαζέψουμε πολύ κόσμο για να υπάρξει μια ακόμη πιθανότητα ή λιγότερο κοντά στο 50% ενός από τα μέλη της ομάδας που έχει γενέθλια με τον εαυτό μας, για να βάλουμε α παράδειγμα.

Ωστόσο, στο παράδοξο των γενεθλίων προκύπτουν τυχόν επαναλήψεις. Δηλαδή, πόσα άτομα χρειάζονται για δύο από αυτά τα άτομα να έχουν τα γενέθλιά τους την ίδια μέρα, όντας το άτομο ή οι μέρες. Για να το καταλάβουμε και να το δείξουμε μαθηματικά, Στη συνέχεια θα δούμε σε βάθος τη διαδικασία πίσω από το παράδοξο.

• Μπορεί να σας ενδιαφέρει: "12 περιέργειες για το ανθρώπινο μυαλό"

Δυνατότητα πιθανής αντιστοιχίας

Ας φανταστούμε ότι έχουμε μόνο δύο άτομα σε ένα δωμάτιο. Αυτοί οι δύο άνθρωποι, ο C1 και ο C2, θα μπορούσαν να σχηματίσουν μόνο ένα ζευγάρι (C1=C2), με το οποίο έχουμε μόνο ένα ζευγάρι στο οποίο μπορεί να συμβεί επαναλαμβανόμενα γενέθλια. Είτε έχουν τα γενέθλιά τους την ίδια μέρα, είτε δεν έχουν τα ίδια γενέθλια, δεν υπάρχουν άλλες εναλλακτικές..

Για να δηλώσουμε αυτό το γεγονός μαθηματικά, έχουμε τον ακόλουθο τύπο:

(Αριθ. ατόμων x πιθανοί συνδυασμοί)/2 = πιθανότητες πιθανής σύμπτωσης.

Σε αυτή την περίπτωση, αυτό θα ήταν:

(2 x 1)/2 = 1 ευκαιρία για έναν πιθανό αγώνα

Τι θα συμβεί αν αντί για δύο άτομα υπάρχουν τρία; Οι πιθανότητες αγώνα ανεβαίνουν στις τρεις, χάρη στο γεγονός ότι μπορούν να σχηματιστούν τρία ζεύγη μεταξύ αυτών των τριών ατόμων (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Μαθηματικά αναπαρασταθεί έχουμε:

(3 άτομα Χ 2 πιθανοί συνδυασμοί)/2 = 3 πιθανότητες για έναν πιθανό αγώνα

Με τέσσερα, υπάρχουν έξι πιθανότητες να συμπίπτουν μεταξύ τους:

(4 άτομα Χ 3 πιθανοί συνδυασμοί)/2 = 6 πιθανότητες για έναν πιθανό αγώνα

Αν πάμε μέχρι δέκα άτομα, έχουμε πολλές περισσότερες δυνατότητες:

(10 άτομα Χ 9 πιθανοί συνδυασμοί)/2 = 45

Με 23 άτομα υπάρχουν (23×22)/2 = 253 διαφορετικά ζευγάρια, καθένας από αυτούς είναι υποψήφιος για τα δύο μέλη του να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα, δίνοντας στον εαυτό τους το παράδοξο γενεθλίων και έχοντας περισσότερες πιθανότητες να έχουν γενέθλια σύμπτωση.

εκτίμηση πιθανοτήτων

Θα υπολογίσουμε ποια είναι η πιθανότητα μια ομάδα με μέγεθος n ατόμων δύο από αυτούς, ό, τι κι αν είναι, έχουν τα γενέθλιά τους την ίδια μέρα. Για τη συγκεκριμένη περίπτωση, θα απορρίψουμε τα δίσεκτα έτη και τα δίδυμα, υποθέτοντας ότι υπάρχουν 365 γενέθλια που έχουν την ίδια πιθανότητα.

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Laplace και τη συνδυαστική

Αρχικά, πρέπει να υπολογίσουμε την πιθανότητα n άτομα να έχουν διαφορετικά γενέθλια. Δηλαδή, υπολογίζουμε την πιθανότητα αντίθετη από αυτή που αναφέρεται στο παράδοξο γενεθλίων. Για αυτό, Πρέπει να λάβουμε υπόψη δύο πιθανά γεγονότα όταν εξετάζουμε τους υπολογισμούς.

Γεγονός Α = {δύο άτομα γιορτάζουν τα γενέθλιά τους την ίδια μέρα} Συμπληρωματικό του συμβάντος A: A^c = {δύο άτομα δεν γιορτάζουν τα γενέθλιά τους την ίδια μέρα}

Ας πάρουμε ως συγκεκριμένη περίπτωση μια ομάδα με πέντε άτομα (n=5)

Για να υπολογίσουμε τον αριθμό των πιθανών περιπτώσεων, χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο τύπο:

μέρες του χρόνου^n

Λαμβάνοντας υπόψη ότι ένα κανονικό έτος έχει 365 ημέρες, ο αριθμός των πιθανών περιπτώσεων εορτασμού γενεθλίων είναι:

365^5 = 6,478 × 10^12

Ο πρώτος από τους ανθρώπους που επιλέγουμε μπορεί να έχει γεννηθεί, όπως είναι λογικό να πιστεύουμε, οποιαδήποτε από τις 365 ημέρες του χρόνου. Ο επόμενος μπορεί να γεννήθηκε σε μία από τις υπόλοιπες 364 ημέρες, και ο επόμενος της επόμενης μπορεί να γεννήθηκε σε μία από τις υπόλοιπες 363 ημέρες κ.ο.κ.

Από αυτό προκύπτει ο ακόλουθος υπολογισμός: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6.303 × 10^12, ο οποίος δίνει ως Το αποτέλεσμα είναι ο αριθμός των περιπτώσεων όπου δεν υπάρχουν δύο άτομα σε αυτήν την ομάδα των 5 που γεννήθηκαν τα ίδια ημέρα.

Εφαρμόζοντας τον κανόνα του Laplace, θα υπολογίσουμε:

P (A^c) = ευνοϊκές περιπτώσεις/πιθανές περιπτώσεις = 6.303 / 6.478 = 0.973

Αυτό σημαίνει ότι οι πιθανότητες δύο ατόμων στην ομάδα των 5 να μην έχουν γενέθλια την ίδια μέρα είναι 97,3%. Με αυτά τα δεδομένα, μπορούμε να αποκτήσουμε τη δυνατότητα δύο ατόμων να έχουν τα γενέθλιά τους την ίδια μέρα, λαμβάνοντας τη συμπληρωματική αξία.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Έτσι, από αυτό εξάγεται ότι οι πιθανότητες σε μια ομάδα πέντε ατόμων δύο από αυτούς να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα είναι μόλις 2,7%.

Κατανοώντας αυτό, μπορούμε να αλλάξουμε το μέγεθος του δείγματος. Η πιθανότητα τουλάχιστον δύο άτομα σε μια συγκέντρωση n ατόμων να έχουν τα ίδια γενέθλια μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

Στην περίπτωση n είναι 23, η πιθανότητα τουλάχιστον δύο από αυτά τα άτομα να γιορτάζουν χρόνια την ίδια μέρα είναι 0,51.

Ο λόγος για τον οποίο αυτό το συγκεκριμένο μέγεθος δείγματος έχει γίνει τόσο διάσημο είναι επειδή με n = 23 υπάρχει μια άρτια πιθανότητα τουλάχιστον δύο άτομα να γιορτάζουν τα γενέθλια την ίδια μέρα.

Αν αυξήσουμε σε άλλες τιμές, για παράδειγμα 30 ή 50, έχουμε μεγαλύτερες πιθανότητες 0,71 και 0,97 αντίστοιχα, ή το ίδιο, 71% και 97%. Με n = 70 είμαστε σχεδόν σίγουροι ότι δύο από αυτά θα συμπέσουν στα γενέθλιά τους, με πιθανότητα 0,99916 ή 99,9%

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Laplace και τον κανόνα του προϊόντος

Ένας άλλος όχι τόσο τραβηγμένος τρόπος για να κατανοήσουμε το πρόβλημα είναι να το θέσουμε ως εξής.

Ας φανταστούμε ότι 23 άτομα είναι μαζί σε ένα δωμάτιο και θέλουμε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες να μην μοιράζονται γενέθλια.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο ένα άτομο στο δωμάτιο. Οι πιθανότητες όλοι στο δωμάτιο να έχουν διαφορετικά γενέθλια είναι προφανώς 100%, δηλαδή πιθανότητα 1. Βασικά, αυτό το άτομο είναι μόνο του και αφού δεν υπάρχει κανένας άλλος, τα γενέθλιά του δεν συμπίπτουν με τα γενέθλιά του.

Τώρα μπαίνει ένα άλλο άτομο και επομένως υπάρχουν δύο άτομα στο δωμάτιο. Οι πιθανότητες να έχει διαφορετικά γενέθλια από το πρώτο πρόσωπο είναι 364/365, αυτό είναι 0,9973 ή 99,73%.

Εισαγάγετε ένα τρίτο. Η πιθανότητα να έχει διαφορετικά γενέθλια από τα άλλα δύο άτομα που έχουν μπει πριν από αυτήν είναι 363/365. Η πιθανότητα ότι και οι τρεις έχουν διαφορετικά γενέθλια είναι 364/365 επί 363/365 ή 0,9918.

Έτσι, οι επιλογές για 23 άτομα που έχουν διαφορετικά γενέθλια είναι 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, με αποτέλεσμα 0,493.

Με άλλα λόγια, υπάρχει 49,3% πιθανότητα κανένας από τους παρευρισκόμενους να μην έχει γενέθλια την ίδια μέρα και, επομένως, το αντίστροφο, υπολογίζοντας το συμπληρωματικό αυτού του ποσοστού έχουμε ότι υπάρχει πιθανότητα 50,7% τουλάχιστον δύο από αυτούς να μοιράζονται γενέθλια

Σε αντίθεση με το παράδοξο γενεθλίων, η πιθανότητα ότι κάποιος σε ένα δωμάτιο n ατόμων γενέθλια την ίδια μέρα με ένα συγκεκριμένο άτομο, για παράδειγμα, τον εαυτό μας σε περίπτωση που είμαστε εκεί, δίνεται από τον ακόλουθο τύπο.

1- (364/365)^n

Με n = 23 θα έδινε περίπου 0,061 πιθανότητα (6%), απαιτώντας τουλάχιστον n = 253 για να δώσει μια τιμή κοντά στο 0,5 ή 50%.

Το παράδοξο στην πραγματικότητα

Υπάρχουν πολλές καταστάσεις στις οποίες μπορούμε να δούμε ότι αυτό το παράδοξο εκπληρώνεται. Εδώ θα βάλουμε δύο πραγματικές περιπτώσεις.

Το πρώτο είναι αυτό των βασιλιάδων της Ισπανίας. Μετρώντας από τη βασιλεία των Καθολικών Μοναρχών της Καστίλλης και της Αραγονίας έως εκείνη του Φελίπε VI της Ισπανίας, έχουμε 20 νόμιμους μονάρχες. Μεταξύ αυτών των βασιλιάδων βρίσκουμε, παραδόξως, δύο ζευγάρια που συμπίπτουν σε γενέθλια: ο Κάρλος Β' με τον Κάρλος Δ' (11 Νοεμβρίου) και ο Χοσέ Α' με τον Χουάν Κάρλος Α' (5 Ιανουαρίου). Η πιθανότητα να υπήρχε μόνο ένα ζευγάρι μονάρχων με τα ίδια γενέθλια, λαμβάνοντας υπόψη ότι n = 20, είναι

Μια άλλη πραγματική περίπτωση είναι αυτή του μεγάλου τελικού της Eurovision του 2019. Στον τελικό εκείνης της χρονιάς, που διεξήχθη στο Τελ Αβίβ του Ισραήλ, συμμετείχαν 26 χώρες, 24 από τις οποίες Έστειλαν είτε σόλο τραγουδιστές είτε γκρουπ όπου η φιγούρα του τραγουδιστή έπαιρνε ιδιαίτερο ρόλο. Ανάμεσά τους, δύο τραγουδιστές συνέπεσαν σε γενέθλια: ο εκπρόσωπος του Ισραήλ, Kobi Marimi και αυτός από την Ελβετία, Luca Hänni, που και οι δύο γιόρταζαν τα γενέθλιά τους στις 8 Οκτωβρίου.

Βιβλιογραφικές αναφορές:

• Abramson, Μ.; Moser, W. ΕΙΤΕ. J. (1970). «Περισσότερες εκπλήξεις γενεθλίων». American Mathematical Monthly. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Μπλουμ, δ. (1973). «Ένα πρόβλημα γενεθλίων». American Mathematical Monthly. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkin, Μ.; Νιούμαν, Δ. (1967). «Επεκτάσεις της Έκπληξης Γενεθλίων». Journal of Combinatorial Theory. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9