Syntymäpäivän paradoksi: mikä se on ja miten se selittää

Kuvitellaan, että olemme ryhmän kanssa esimerkiksi perhejuhlissa, ala-asteen kokouksessa tai yksinkertaisesti juomassa baarissa. Oletetaan, että siellä on noin 25 henkilöä.

Melun ja pinnallisten keskustelujen välissä olemme hieman katkaistu ja olemme alkaneet pohtia omaa asioita ja yhtäkkiä kysymme itseltämme: millä todennäköisyydellä näistä ihmisistä kahdella ihmisellä on syntymäpäivä sama päivä?

Syntymäpäiväparadoksi on matemaattinen totuus, toisin kuin vaistomme väittää, että tarvitaan hyvin vähän ihmisiä, jotta on lähes satunnainen todennäköisyys, että kahdella heistä on sama syntymäpäivä. Yritetään ymmärtää tämä outo paradoksi perusteellisemmin.

• Aiheeseen liittyvä artikkeli: "Loogis-matemaattinen älykkyys: mitä se on ja miten voimme parantaa sitä?"

Syntymäpäivän paradoksi

Syntymäpäiväparadoksi on matemaattinen totuus, joka osoittaa, että vain 23 hengen ryhmässä on todennäköisyys lähellä sattumaa, erityisesti 50,7 %. että ainakin kahdella heistä on sama syntymäpäivä. Tämän matemaattisen lausunnon suosio johtuu yllättävästä tosiasiasta, että niin harvat ovat välttämättömiä. ihmisillä on melko varma mahdollisuus, että heillä on otteluita niinkin monipuolisena kuin syntymäpäivänä.

Vaikka tätä matemaattista tosiasiaa kutsutaan paradoksiksi, sitä suppeassa mielessä ei ole. Se on pikemminkin paradoksi, sikäli kuin se osoittautuu uteliaaksi, koska se on täysin vastoin tervettä järkeä. Kun joltakin kysytään, kuinka monta ihmistä heidän mielestään tarvitaan, jotta heillä olisi syntymäpäivä samana päivänä, ihmiset yleensä antavat intuitiivisesti 183, eli puolet 365:stä.

Tämän arvon taustalla on ajatus, että puolittamalla tavallisen vuoden päivien määrä saadaan minimi, joka tarvitaan, jotta todennäköisyys on lähellä 50 %.

Kuitenkin, ei ole yllättävää, että niin korkeat arvot annetaan yritettäessä vastata tähän kysymykseen, koska ihmiset ymmärtävät ongelman usein väärin. Syntymäpäiväparadoksi ei viittaa todennäköisyyksiin, joiden suhteen tietyllä henkilöllä on syntymäpäivä toinen ryhmässä, mutta kuten olemme kommentoineet, on mahdollista, että kahdella ryhmän henkilöllä on sama syntymäpäivä päivä.

Ilmiön matemaattinen selitys

Ymmärtääksesi tämän yllättävän matemaattisen totuuden, ensimmäinen asia on pitää mielessä, että on monia mahdollisuuksia löytää pariskuntia, joilla on sama syntymäpäivä.

Ensi silmäyksellä voisi luulla, että 23 päivää, eli bändin jäsenten 23-vuotissyntymäpäivä, on liian pieni osa mahdollisista eri päivien määrästä, 365 päivää ei-karkausvuodesta tai 366 päivää karkausvuosina, ikään kuin odottaisi toistoja. Tämä ajattelu on todellakin tarkkaa, mutta vain jos odotamme toistuvan tiettynä päivänä. Toisin sanoen, ja kuten olemme jo kommentoineet, meidän pitäisi kerätä paljon ihmisiä, jotta olisi yksi mahdollisuus lisää tai alle 50 % jollakin ryhmän jäsenistä viettää syntymäpäivän itsemme kanssa, eli a esimerkki.

Syntymäpäiväparadoksissa kuitenkin syntyy toistoja. Toisin sanoen kuinka monta ihmistä tarvitaan, jotta kahdella näistä ihmisistä olisi syntymäpäivä samana päivänä, mikä tahansa henkilö tai päivät tahansa. Ymmärtääksesi sen ja näyttääksesi sen matemaattisesti, Seuraavaksi näemme perusteellisemmin paradoksin takana olevaa menettelyä.

• Saatat olla kiinnostunut: "12 uteliaisuutta ihmismielestä"

Mahdollisuus otteluun

Kuvittelemme, että meillä on vain kaksi ihmistä huoneessa. Nämä kaksi ihmistä, C1 ja C2, saattoivat muodostaa vain parin (C1=C2), jonka kanssa meillä on vain yksi pari, jossa syntymäpäivä voi toistua. Joko heillä on syntymäpäivät samana päivänä tai heillä ei ole samaa syntymäpäivää, ei ole muita vaihtoehtoja..

Ilmaistaksemme tämän tosiasian matemaattisesti, meillä on seuraava kaava:

(Ihmisten lukumäärä x mahdolliset yhdistelmät)/2 = mahdolliset yhteensattumat.

Tässä tapauksessa tämä olisi:

(2 x 1)/2 = 1 mahdollisuus mahdolliseen otteluun

Mitä tapahtuu, jos kahden ihmisen sijasta on kolme? Ottelumahdollisuudet nousevat kolmeen, kiitos siitä, että näiden kolmen ihmisen välille voidaan muodostaa kolme paria (Cl=C2; Cl=C3; C2 = C3). Matemaattisesti esitetty meillä on:

(3 henkilöä X 2 mahdollista yhdistelmää)/2 = 3 mahdollisuutta mahdolliseen otteluun

Neljällä on kuusi mahdollisuutta, jotka ovat samat niiden välillä:

(4 henkilöä x 3 mahdollista yhdistelmää)/2 = 6 mahdollisuutta mahdolliseen otteluun

Jos siirrymme kymmeneen ihmiseen, meillä on paljon enemmän mahdollisuuksia:

(10 henkilöä X 9 mahdollista yhdistelmää) / 2 = 45

23 hengen kanssa on (23×22)/2 = 253 erilaista paria, kukin heistä ehdokas kahdelle jäsenelleen syntymäpäiviä samana päivänä, antaen itselleen syntymäpäiväparadoksin ja heillä on enemmän mahdollisuuksia syntymäpäivien yhteensattumiseen.

todennäköisyysarvio

Aiomme laskea, mikä on todennäköisyys, että ryhmässä, jonka koko on n, on kaksi henkilöä, mitä tahansa he ovat, heidän syntymäpäivänsä on samana päivänä. Tässä erityistapauksessa hylkäämme karkausvuodet ja kaksoset olettaen, että on 365 syntymäpäivää, joilla on sama todennäköisyys.

Käyttämällä Laplacen sääntöä ja kombinatoriikkaa

Ensin meidän on laskettava todennäköisyys, että n ihmisellä on eri syntymäpäivä. Toisin sanoen lasketaan todennäköisyys, joka on päinvastainen kuin syntymäpäiväparadoksissa. Tätä varten, Meidän on otettava huomioon kaksi mahdollista tapahtumaa laskelmia harkittaessa.

Tapahtuma A = {kaksi ihmistä juhlii syntymäpäiviään samana päivänä} Tapahtumaa A täydentävä: A^c = {kaksi ihmistä ei vietä syntymäpäiviään samana päivänä}

Otetaan erityistapauksena viiden hengen ryhmä (n=5)

Mahdollisten tapausten määrän laskemiseksi käytämme seuraavaa kaavaa:

vuoden päivät^n

Kun otetaan huomioon, että normaalissa vuodessa on 365 päivää, mahdollisten syntymäpäiväjuhlien määrä on:

365^5 = 6,478 × 10^12

Ensimmäinen valitsemistamme ihmisistä on saattanut syntyä, kuten on loogista ajatella, minä tahansa vuoden 365 päivästä. Seuraava on saattanut syntyä jonakin jäljellä olevista 364 päivästä, ja seuraava seuraava on saattanut syntyä jonakin jäljellä olevista 363 päivästä ja niin edelleen.

Tästä seuraa seuraava laskelma: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6 303 × 10^12, mikä antaa Tuloksena on niiden tapausten lukumäärä, joissa kyseisessä 5 hengen ryhmässä ei ole kahta samalla syntyjää päivä.

Laplacen sääntöä soveltaen laskemme:

P (A^c) = edulliset tapaukset / mahdolliset tapaukset = 6,303 / 6,478 = 0,973

Se tarkoittaa, että todennäköisyys, että kahdella henkilöllä 5 hengen ryhmässä ei ole syntymäpäiviä samana päivänä, on 97,3 %. Näillä tiedoilla voimme saada mahdollisuuden, että kahdella ihmisellä on syntymäpäivä samana päivänä, jolloin saadaan täydentävä arvo.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Tästä on siis päätetty, että todennäköisyys, että viiden hengen ryhmässä kahdella on syntymäpäivä samana päivänä, on vain 2,7 %.

Tämän ymmärtämällä voimme muuttaa otoksen kokoa. Todennäköisyys, että vähintään kahdella henkilöllä n henkilön kokoontumisessa on sama syntymäpäivä, voidaan saada seuraavalla kaavalla:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

Jos n on 23, todennäköisyys, että vähintään kaksi heistä viettää vuosia samana päivänä, on 0,51.

Syy siihen, miksi tämä otoskoko on tullut niin kuuluisaksi, johtuu siitä, että n = 23 on tasainen todennäköisyys, että vähintään kaksi ihmistä juhlii syntymäpäivää samana päivänä.

Jos lisäämme muihin arvoihin, esimerkiksi 30 tai 50, meillä on korkeammat todennäköisyydet 0,71 ja 0,97, tai mikä on sama, 71% ja 97%. Kun n = 70, olemme melkein varmoja, että kaksi niistä osuu syntymäpäiväänsä, todennäköisyydellä 0,99916 tai 99,9 %

Käyttämällä Laplacen sääntöä ja tulosääntöä

Toinen ei niin kaukaa haettu tapa ymmärtää ongelma on esittää se seuraavasti.

Kuvitellaan, että 23 ihmistä on yhdessä huoneessa ja haluamme laskea todennäköisyyden, että he eivät jaa syntymäpäiviä.

Oletetaan, että huoneessa on vain yksi henkilö. Mahdollisuus, että kaikilla huoneessa olevilla on eri syntymäpäivät, on ilmeisesti 100 %, eli todennäköisyys 1. Periaatteessa kyseinen henkilö on yksin, ja koska siellä ei ole ketään muuta, hänen syntymäpäivänsä ei ole sama kuin kenenkään muun syntymäpäivä.

Nyt toinen henkilö kävelee sisään, ja siksi huoneessa on kaksi henkilöä. Todennäköisyys, että hänellä on eri syntymäpäivä kuin ensimmäisellä henkilöllä, on 364/365, tämä on 0,9973 tai 99,73 %.

Syötä kolmas. Todennäköisyys, että hänellä on eri syntymäpäivä kuin kahdella muulla ennen häntä saapuneella henkilöllä, on 363/365. Todennäköisyys, että kaikilla kolmella on eri syntymäpäivät, on 364/365 kertaa 363/365 eli 0,9918.

Joten vaihtoehdot 23 henkilölle, joilla on eri syntymäpäivät, ovat 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, tuloksena 0,493.

Toisin sanoen, on 49,3 %:n todennäköisyys, että kenelläkään läsnäolijoista ei ole syntymäpäivää samana päivänä ja näin ollen päinvastoin, laskemalla tämän prosenttiosuuden täydentävyyden meillä on 50,7 %:n mahdollisuus, että vähintään kaksi heistä jakaa syntymäpäivä

Toisin kuin syntymäpäivä paradoksi, todennäköisyys, että kuka tahansa huoneessa n henkilöä syntymäpäivä samana päivänä tietyn henkilön kanssa, esimerkiksi itsemme, jos olemme siellä, saadaan seuraavalla kaavalla.

1- (364/365)^n

Kun n = 23, se antaisi noin 0,061 todennäköisyyden (6 %), jolloin vähintään n = 253 vaaditaan antamaan arvo, joka on lähellä 0,5 tai 50 %.

Paradoksi todellisuudessa

On monia tilanteita, joissa voimme nähdä, että tämä paradoksi täyttyy. Tässä laitetaan kaksi todellista tapausta.

Ensimmäinen on Espanjan kuninkaiden oma. Kastilian ja Aragonian katolisten hallitsijoiden hallituskaudesta Espanjan Felipe VI: n hallitukseen laskettuna meillä on 20 laillista hallitsijaa. Näiden kuninkaiden joukosta löytyy yllättäen kaksi paria, joilla on sama syntymäpäivä: Carlos II Carlos IV: n kanssa (11. marraskuuta) ja José I Juan Carlos I: n kanssa (5. tammikuuta). Mahdollisuus, että hallitsijoita oli vain yksi pari, joilla oli sama syntymäpäivä, kun otetaan huomioon, että n = 20, on

Toinen todellinen tapaus on vuoden 2019 Euroviisujen finaali. Saman vuoden finaaliin, joka pidettiin Tel Avivissa, Israelissa, osallistui 26 maata, joista 24 He lähettivät joko soololaulajia tai ryhmiä, joissa laulajan hahmolla oli erityinen rooli. Heidän joukossaan kaksi laulajaa sattui syntymäpäiväänsä: Israelin edustaja Kobi Marimi ja sveitsiläinen Luca Hänni juhlivat syntymäpäiviään 8. lokakuuta.

Bibliografiset viittaukset:

• Abramson, M.; Moser, W. JOMPIKUMPI. J. (1970). "Lisää syntymäpäivän yllätyksiä". American Mathematical Monthly. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Bloom, d. (1973). "Syntymäpäiväongelma". American Mathematical Monthly. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkin, M.; Newman, D. (1967). "Syntymäpäiväyllätyksen pidennykset". Journal of Combinatorial Theory. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9