EXAMPLES और EXERCISES के साथ CONJUGATED सम्मिश्र संख्याएँ क्या हल की जाती हैं?

एक शिक्षक के इस नए पाठ में हम क्या सीखने जा रहे हैं? उदाहरणों के साथ संयुग्मित सम्मिश्र संख्या ताकि आप जान सकें कि हम सम्मिश्र या काल्पनिक संख्याओं का संयुग्म कैसे प्राप्त कर सकते हैं। सबसे पहले हम देखेंगे हमें किन चरणों का पालन करना चाहिए एक जटिल संख्या के संयुग्म को निकालने के लिए। अगला, हम वही करेंगे, लेकिन एक काल्पनिक संख्या के बजाय, काल्पनिक संख्याओं के संचालन के साथ। इनमें से प्रत्येक खंड में हम देखेंगे उदाहरण और, अंत में, आप a. को हल कर सकते हैं व्यायाम और जांचें कि आपने इसके साथ अच्छा किया है समाधान जो आपको अंत में मिलेगा।

एक सम्मिश्र संख्या का संयुग्म प्राप्त करने के लिए, हम उस संख्या को प्रत्येक पक्ष पर लंबवत सलाखों की एक जोड़ी के बीच रखेंगे (||... ||) और निम्नलिखित चरणों का सावधानीपूर्वक पालन करना आवश्यक होगा:

1. गण संख्या: चलो जगह उम्र भर शुरुआत में असली हिस्सा और अंत में काल्पनिक हिस्सा।
2. संकेत बदलें केंद्र से: हम यह देखने जा रहे हैं कि वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग के बीच हमारे पास कौन सा चिन्ह है और हम इसे बदलने जा रहे हैं, ताकि यदि हमारे पास + हो, तो अब हमारे पास - और इसके विपरीत होगा।

संयुग्मित सम्मिश्र संख्याओं के साथ संक्रिया के उदाहरण

यह ध्यान रखने के लिए महत्वपूर्ण है जटिल आंकड़े वे आमतौर पर प्रतिनिधित्व करते हैं Z. अक्षर का उपयोग करना, इसलिए उदाहरण के लिए हमारे पास Z = 8 - 7i हो सकता है। इस मामले में, अगर उन्होंने हमें संयुग्म की गणना करने के लिए कहा, तो वे हमें बताएंगे || 8 - 7i || और हमें स्थापित चरणों का पालन करना चाहिए:

1. हम आदेश देते हैं: इस मामले में, हमारे पास शुरुआत में वास्तविक हिस्सा और अंत में काल्पनिक हिस्सा है, इसलिए हम इसे वही छोड़ देंगे: Z = 8 - 7i।
2. हम केंद्र का चिन्ह बदलते हैं: 8 + 7i।

इस प्रकार हम Z का संयुग्म प्राप्त करते हैं, जो हमारे उदाहरण में 8 + 7i है।

चलो देखते हैं एक और उदाहरण किसी और चीज का। यदि वे हमें जो सम्मिश्र संख्या देते हैं वह Z = - 32i - 12 है, तो चरण इस प्रकार होंगे:

1. हम आदेश देते हैं: इस उदाहरण में आदेश देना आवश्यक है, क्योंकि काल्पनिक भाग सामने है, इसलिए हम इसे Z = - 12 - 32i में बदल देंगे।
2. अब हम केंद्र का चिन्ह बदल सकते हैं। चूंकि हमारे पास माइनस था, हम इसे प्लस में बदल देंगे: - 12 + 32i।

हम पहले ही देख चुके हैं कि सम्मिश्र संयुग्मित संख्याएँ प्राप्त करना काफी सरल है, क्योंकि इसमें केवल दो चरणों का पालन करना है। अब हम थोड़ी कठिनाई जोड़ने जा रहे हैं: एक एकल सम्मिश्र संख्या होने के बजाय, हमारे पास एक जोड़ा होगा जो जोड़ या घटाएगा। इस मामले में कदम निम्नलिखित होंगे:

1. जगहऔर समूह एक ओर वास्तविक भाग और दूसरी ओर काल्पनिक भाग।
2. गण, जैसा कि हमने पिछले भाग में किया था।
3. संकेत बदलें, उसी तरह से।

उदाहरण 1

आइए एक उदाहरण देखें। अगर वे हमें Z. के बीच योग का संयुग्म बनाने के लिए कहते हैं¹ = 4i + 5 और Z² = - 7 - 3i:

1. वे जो हमसे पूछ रहे हैं, हम उसे रखने जा रहे हैं, जो है: (4i + 5) + (- 7 - 3i)। यदि हम वास्तविक भाग को समूहित करते हैं, तो हमारे पास +5 - 7 बचता है, जो -2 के बराबर होता है। यदि हम काल्पनिक भाग को समूहित करते हैं, तो हमारे पास 4i - 3i बचता है, जो कि i के बराबर है।
2. हम आदेश देते हैं, पहले वास्तविक भाग और फिर काल्पनिक भाग लिखते हैं: - 2 + i।
3. हम चिन्ह बदलते हैं: - 2 - i।

उदाहरण 2

आइए एक उदाहरण देखें जिसमें दो सम्मिश्र संख्याओं को एक साथ जोड़ने के बजाय, हमने उन्हें घटाया है। इस अर्थ में, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि आप इस बारे में स्पष्ट हैं कि सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को कैसे जोड़ा या घटाया जाता है। आप लेख पर एक नज़र डाल सकते हैं पूर्ण संख्या क्या होती हैं. इस प्रकार, यदि वे हमसे Z. के बीच घटाव के संयुग्मन के लिए कहते हैं¹ = 2 - 3i और Z² = 6 - 9i:

1. हम जगह देते हैं: (2 - 3i) - (6 - 9i)। जब भी किसी कोष्ठक के सामने ऋणात्मक चिन्ह होता है, तो हमें कोष्ठक के अंदर की प्रत्येक वस्तु का चिन्ह बदलना चाहिए, ताकि हमारे पास (2 - 3i) + (- 6 + 9i) हो। अब हम वास्तविक भाग को समूहित कर सकते हैं, जो 2 - 6, यानी -4 रहेगा; और काल्पनिक भाग, जो रहेगा - 3i + 9i, जो 6i के साथ रहेगा।
2. हम आदेश देते हैं: - 4 + 6i।
3. हम संकेत बदलते हैं: - 4 - 6i।

उदाहरण 3

यदि वे हमें एक सम्मिश्र संख्या को संयुग्मित करने और फिर दूसरी सम्मिश्र संख्या घटाने या जोड़ने के लिए कहते हैं, तो हम इसके लिए चरणों का पालन करेंगे पहले और फिर हम परिणाम के वास्तविक भाग को दूसरी सम्मिश्र संख्या के साथ समूहबद्ध करेंगे, और काल्पनिक भाग को अन्य। आप इसे निम्नलिखित उदाहरण से अधिक स्पष्ट रूप से देखेंगे: Z. का संयुग्म प्राप्त करें¹ = 20i - 7 और फिर सम्मिश्र संख्या Z. जोड़ें² = 42 + 7i।

1. हम Z. के संयुग्म की गणना करते हैं¹, जो हमें देगा - 7 - 20i।
2. हम Z. जोड़ते हैं²: (- 7 - 20i) + (42 + 7i) = 35 - 13i।

इस पाठ को समाप्त करने के लिए, हम आपको जटिल संयुग्मित संख्याओं पर 4 अभ्यास छोड़ने जा रहे हैं जो आपके ज्ञान का परीक्षण करने में आपकी सहायता करेंगे। अगले भाग में आपको अभ्यास के समाधान मिलेंगे ताकि आप अपने परिणामों की जांच कर सकें:

1. ८६i - ६. के संयुग्म की गणना करें
2. 67 + 7i और - 5 + 2i. के बीच के योग का संयुग्म ज्ञात कीजिए
3. 5i - 8 और 9i + 2 के बीच घटाव का संयुग्म ज्ञात कीजिए।
4. 12i - 3 का संयुग्म ज्ञात कीजिए और उसमें से 8 + 2i घटाइए।