13 प्रकार के गणितीय कार्य (और उनकी विशेषताएं)

गणित सबसे तकनीकी और वस्तुनिष्ठ वैज्ञानिक विषयों में से एक है जो मौजूद है। यह मुख्य ढांचा है जिससे विज्ञान की अन्य शाखाएं माप लेने और चर के साथ संचालन करने में सक्षम हैं तत्वों का वे अध्ययन करते हैं, इस तरह से कि यह अपने आप में एक अनुशासन के अलावा, तर्क के साथ, ज्ञान के आधारों में से एक को मानता है वैज्ञानिक।

लेकिन गणित के भीतर बहुत विविध प्रक्रियाओं और गुणों का अध्ययन किया जाता है, उनमें से दो के बीच संबंध relationship एक दूसरे से जुड़े परिमाण या डोमेन, जिसमें किसी तत्व के मूल्य के आधार पर या उसके आधार पर एक विशिष्ट परिणाम प्राप्त होता है ठोस। यह गणितीय कार्यों के अस्तित्व के बारे में है, जो हमेशा एक दूसरे को प्रभावित करने या संबंधित करने का एक ही तरीका नहीं होने वाला है।

इसकी वजह से है हम विभिन्न प्रकार के गणितीय कार्यों के बारे में बात कर सकते हैं, जिसके बारे में हम इस पूरे लेख में बात करेंगे।

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गणित में कार्य: वे क्या हैं?

मौजूद मुख्य प्रकार के गणितीय कार्यों को स्थापित करने से पहले, इसका परिणाम होता है जब हम बात करते हैं तो यह स्पष्ट करने के लिए कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं, एक संक्षिप्त परिचय देना उपयोगी है कार्य।

गणितीय कार्यों को परिभाषित किया गया है: दो चर या मात्राओं के बीच संबंध की गणितीय अभिव्यक्ति. इन चरों को वर्णमाला के अंतिम अक्षर X और Y से दर्शाया गया है और इन्हें क्रमशः डोमेन और कोडोमेन नाम दिए गए हैं।

यह संबंध इस तरह से व्यक्त किया जाता है कि दो विश्लेषण किए गए घटकों के बीच समानता का अस्तित्व मांगा जाता है, और सामान्य तौर पर इसका तात्पर्य है कि एक्स के प्रत्येक मान में वाई का एक अनूठा परिणाम होता है और इसके विपरीत (हालांकि ऐसे कार्यों के वर्गीकरण होते हैं जो इसका अनुपालन नहीं करते हैं आवश्यकता)।

साथ ही, यह फ़ंक्शन एक ग्राफ के रूप में एक प्रतिनिधित्व के निर्माण की अनुमति देता है जो बदले में दूसरे से एक चर के व्यवहार की भविष्यवाणी की अनुमति देता है, साथ ही साथ इस संबंध की संभावित सीमाएं या उक्त चर के व्यवहार में परिवर्तन की अनुमति देता है।

जैसा कि तब होता है जब हम कहते हैं कि कुछ निर्भर करता है या किसी अन्य चीज़ का कार्य है (उदाहरण के लिए, यदि हम मानते हैं कि गणित की परीक्षा में हमारा अंक है हमारे द्वारा पढ़े जाने वाले घंटों की संख्या का फलन), जब हम किसी गणितीय फलन के बारे में बात करते हैं, तो हम संकेत कर रहे होते हैं कि एक निश्चित मान प्राप्त करना दूसरे जुड़े तक।

वास्तव में, पिछला उदाहरण स्वयं गणितीय फ़ंक्शन के रूप में प्रत्यक्ष रूप से व्यक्त किया जा सकता है (हालांकि वास्तविक दुनिया में in संबंध बहुत अधिक जटिल है क्योंकि यह वास्तव में कई कारकों पर निर्भर करता है, न कि केवल घंटों की संख्या पर अध्ययन किया)।

मुख्य प्रकार के गणितीय कार्य

यहां हम आपको कुछ मुख्य प्रकार के गणितीय फलन दिखाते हैं, जिन्हें विभिन्न समूहों में वर्गीकृत किया गया है इसके व्यवहार और चर X और Y के बीच स्थापित संबंध के प्रकार के अनुसार.

1. बीजीय कार्य

बीजगणितीय कार्यों को गणितीय कार्यों के प्रकारों के समूह के रूप में समझा जाता है, जो एक संबंध स्थापित करने की विशेषता है जिसके घटक या तो एकपदी या बहुपद हैं, और जिसका संबंध अपेक्षाकृत सरल गणितीय संक्रियाओं के निष्पादन के माध्यम से प्राप्त होता है: जोड़ घटाव, गुणा, भाग, सशक्तिकरण या विकिरण (मूलों का उपयोग)। इस श्रेणी के भीतर हम कई टाइपोग्राफी पा सकते हैं।

१.१. स्पष्ट कार्य

स्पष्ट फलन उन सभी प्रकार के गणितीय फलनों के रूप में समझा जाता है जिनके संबंध सीधे प्राप्त किए जा सकते हैं, बस संबंधित मान के लिए डोमेन x को प्रतिस्थापित करके। दूसरे शब्दों में, यह वह कार्य है जिसमें सीधे हम डोमेन x. के मूल्य और गणितीय संबंध से प्रभावित होने के बीच एक समानता पाते हैं.

१.२. निहित कार्य

पिछले कार्यों के विपरीत, निहित कार्यों में डोमेन और कोडोमेन के बीच संबंध सीधे स्थापित नहीं होता है, जिस तरह से x और y हैं, उसे खोजने के लिए विभिन्न परिवर्तनों और गणितीय कार्यों को करने के लिए आवश्यक है संबंधित।

१.३. बहुपद कार्य

बहुपद फलन, जिन्हें कभी-कभी बीजीय फलनों के पर्याय के रूप में समझा जाता है और कभी-कभी इनके उपवर्ग के रूप में, गणितीय कार्यों के प्रकारों का समूह बनाते हैं जिनमें डोमेन और कोडोमेन के बीच संबंध प्राप्त करने के लिए बहुपद के साथ विभिन्न संचालन करना आवश्यक है अलग-अलग डिग्री के।

रैखिक या प्रथम-डिग्री फ़ंक्शन शायद हल करने के लिए सबसे आसान प्रकार के फ़ंक्शन हैं और सबसे पहले सीखे जाने वाले कार्यों में से हैं। उनमें बस एक साधारण संबंध है जिसमें x का मान y का मान उत्पन्न करेगा, और इसका ग्राफिक प्रतिनिधित्व एक ऐसी रेखा है जिसे किसी बिंदु पर समन्वय अक्ष को काटना होता है। एकमात्र भिन्नता उक्त रेखा का ढलान और वह बिंदु होगा जहां अक्ष प्रतिच्छेद करता है, हमेशा एक ही प्रकार का संबंध बनाए रखता है।

उनके भीतर हम पहचान कार्य पा सकते हैं, जिसमें डोमेन और कोडोमेन के बीच एक पहचान सीधे दी जाती है इस तरह से कि दोनों मान हमेशा समान होते हैं (y = x), रैखिक कार्य (जिसमें हम केवल भिन्नता का निरीक्षण करते हैं ढलान, y = mx) और संबंधित कार्य (जिसमें हम भुज अक्ष के कट-ऑफ बिंदु और ढलान में परिवर्तन पा सकते हैं, वाई = एमएक्स + ए)।

द्विघात या द्वितीय डिग्री फलन वे हैं जो एक बहुपद का परिचय देते हैं जिसमें एक एकल समय के साथ चर का एक गैर-रैखिक व्यवहार होता है (बल्कि, के संबंध में) कोडोमेन)। एक विशिष्ट सीमा से, फ़ंक्शन किसी एक अक्ष पर अनंत की ओर जाता है। चित्रमय निरूपण को परवलय के रूप में स्थापित किया जाता है, और गणितीय रूप से इसे y = ax2 + bx + c के रूप में व्यक्त किया जाता है।

स्थिर कार्य वे हैं जिनमें एक एकल वास्तविक संख्या डोमेन और कोडोमेन के बीच संबंध का निर्धारक है. अर्थात्, दोनों के मूल्य के आधार पर कोई वास्तविक भिन्नता नहीं है: कोडोमेन हमेशा एक स्थिरांक पर आधारित होगा, और कोई भी डोमेन वैरिएबल नहीं है जो परिवर्तन पेश कर सके। बस, वाई = के।

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१.४. तर्कसंगत कार्य

परिमेय फलनों को फलनों का समुच्चय कहा जाता है जिसमें फलन का मान शून्येतर बहुपदों के बीच के भागफल से स्थापित होता है। इन कार्यों में डोमेन में उन सभी संख्याओं को शामिल किया जाएगा जो विभाजन के हर को रद्द करते हैं, जो y मान प्राप्त करने की अनुमति नहीं देगा।

इस प्रकार के कार्यों में ऐसी सीमाएँ दिखाई देती हैं जिन्हें स्पर्शोन्मुख के रूप में जाना जाता है, जो ठीक वे मान होंगे जिनमें कोई डोमेन या कोडोमेन मान नहीं होगा (अर्थात, जब y या x 0 के बराबर हों)। इन सीमाओं में, चित्रमय निरूपण कभी भी उक्त सीमाओं को छुए बिना अनंत की ओर प्रवृत्त होते हैं। इस प्रकार के फलन का एक उदाहरण: y = √ ax

1.5. तर्कहीन या कट्टरपंथी कार्य

अपरिमेय फलनों को फलनों का समुच्चय कहा जाता है जिसमें एक परिमेय फलन प्रकट होता है एक मूल या जड़ के भीतर पेश किया गया (जिसका वर्ग होना जरूरी नहीं है, क्योंकि यह घन या दूसरे के साथ हो सकता है प्रतिपादक)।

इसे हल करने में सक्षम होने के लिए यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि इस जड़ का अस्तित्व हम पर कुछ प्रतिबंध लगाता है।, उदाहरण के लिए तथ्य यह है कि x के मानों को हमेशा रूट के परिणाम को सकारात्मक और शून्य से अधिक या उसके बराबर करना होगा।

१.६. टुकड़े-टुकड़े परिभाषित कार्य

इस प्रकार के फंक्शन वे होते हैं जिनमें फंक्शन का मान और व्यवहार बदलता है, डोमेन के मूल्य के आधार पर बहुत भिन्न व्यवहार वाले दो अंतराल होते हैं। एक मान होगा जो इसका हिस्सा नहीं होगा, जो वह मान होगा जिससे फ़ंक्शन का व्यवहार भिन्न होता है।

2. उत्कृष्ट कार्य

ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शंस को उन राशियों के बीच संबंधों के गणितीय निरूपण कहा जाता है जिन्हें बीजीय संक्रियाओं के माध्यम से प्राप्त नहीं किया जा सकता है, और जिसके लिए इसके संबंध को प्राप्त करने के लिए एक जटिल गणना प्रक्रिया को अंजाम देना आवश्यक है. इसमें मुख्य रूप से वे कार्य शामिल हैं जिनके लिए डेरिवेटिव, इंटीग्रल, लॉगरिदम के उपयोग की आवश्यकता होती है या जिनकी एक प्रकार की वृद्धि होती है जो लगातार बढ़ रही है या घट रही है।

२.१. घातीय कार्य

जैसा कि इसके नाम से संकेत मिलता है, घातीय कार्य उन कार्यों का समूह है जो डोमेन और के बीच संबंध स्थापित करते हैं कोडोमेन जिसमें एक वृद्धि संबंध एक घातीय स्तर पर स्थापित होता है, अर्थात वृद्धि बढ़ रही है त्वरित। x का मान घातांक है, अर्थात जिस तरह से फ़ंक्शन का मान समय के साथ बदलता और बढ़ता है. सबसे सरल उदाहरण: y = ax

२.२. लघुगणक कार्य

किसी भी संख्या का लघुगणक वह घातांक है जिसे ठोस संख्या प्राप्त करने के लिए प्रयुक्त आधार को ऊपर उठाना आवश्यक होगा। इस प्रकार, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन वे हैं जिनमें हम डोमेन के रूप में एक विशिष्ट आधार के साथ प्राप्त की जाने वाली संख्या का उपयोग कर रहे हैं। यह एक्सपोनेंशियल फंक्शन का विपरीत और उलटा मामला है.

x का मान हमेशा शून्य से बड़ा और 1 से अलग होना चाहिए (क्योंकि आधार 1 वाला कोई लघुगणक शून्य के बराबर होता है)। x का मान बढ़ने पर फलन की वृद्धि कम और कम होती जाती है। इस स्थिति में y = लघुगणक x

२.३. त्रिकोणमितीय कार्य

एक प्रकार का फलन जिसमें बनाने वाले विभिन्न तत्वों के बीच संख्यात्मक संबंध स्थापित किया जाता है एक त्रिभुज या एक ज्यामितीय आकृति, और विशेष रूप से वे संबंध जो a के कोणों के बीच मौजूद हैं आंकड़ा। इन फलनों के भीतर हमें दिए गए x मान पर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, सिकंट, कोटैंजेंट और कोसेकेंट की गणना मिलती है।

अन्य वर्गीकरण

पहले बताए गए गणितीय कार्यों के प्रकारों का समूह इस बात को ध्यान में रखता है कि के प्रत्येक मान के लिए डोमेन कोडोमेन के एकल मान से मेल खाता है (अर्थात x का प्रत्येक मान specific के विशिष्ट मान का कारण बनेगा) वाई)। हालाँकि, और यद्यपि इस तथ्य को आमतौर पर बुनियादी और मौलिक माना जाता है, सच्चाई यह है कि कुछ को खोजना संभव है गणितीय कार्यों के प्रकार जिनमें x और y के बीच पत्राचार के संदर्भ में कुछ विचलन हो सकता है. विशेष रूप से हम निम्नलिखित प्रकार के कार्य पा सकते हैं।

1. इंजेक्शन कार्य

Injective Functions डोमेन और कोडोमेन के बीच उस प्रकार के गणितीय संबंध को कहते हैं जिसमें कोडोमेन का प्रत्येक मान डोमेन के केवल एक मान से जुड़ा होता है। अर्थात्, x किसी दिए गए y-मान के लिए केवल एक मान रखने में सक्षम होगा, या इसका कोई मान नहीं हो सकता है (अर्थात, x के विशिष्ट मान का y के साथ कोई संबंध नहीं हो सकता है)।

2. विशेषण कार्य

विशेषण फलन वे सभी हैं जिनमें कोडोमेन (y) का प्रत्येक तत्व या मान कम से कम एक डोमेन (x) से संबंधित है, हालांकि वे अधिक हो सकते हैं। यह जरूरी नहीं कि इंजेक्शन हो (क्योंकि x के कई मान एक ही y के साथ जुड़े हो सकते हैं)।

3. विशेषण कार्य

इसे इस प्रकार के कार्य के रूप में कहा जाता है जिसमें इंजेक्शन और विशेषण दोनों गुण होते हैं। अर्थात्, प्रत्येक y. के लिए x का एक अद्वितीय मान है, और डोमेन के सभी मान कोडोमेन में एक के अनुरूप होते हैं।

4. गैर-इंजेक्शन और गैर-सर्जिकल कार्य

इस प्रकार के फ़ंक्शन इंगित करते हैं कि एक विशिष्ट कोडोमेन के लिए कई डोमेन मान हैं (अर्थात। x के विभिन्न मान हमें वही y देंगे) साथ ही y के अन्य मान किसी से जुड़े नहीं हैं एक्स का मान

ग्रंथ सूची संदर्भ:

• ईव्स, एच। (1990). गणित की नींव और मौलिक अवधारणा (तीसरा संस्करण)। डोवर।
• हेज़विंकेल, एम। ईडी। (2000). गणित का विश्वकोश। क्लूवर अकादमिक प्रकाशक।