誕生日のパラドックス：その正体と説明方法

たとえば、家族の再会、小学校の同窓会、または単にバーで飲み物を飲んでいるなど、人々のグループと一緒にいると想像してみましょう。 25人くらいいるとしましょう。

騒音と表面的な会話の間で、私たちは少し離れて、私たちのことについて考え始めました そして突然、私たちは自分自身に問いかけます: これらの人々のうち、2 人が誕生日を迎えている確率はどのくらいでしょうか? 即日？

誕生日のパラドックスは数学的な真実です、私たちの本能とは反対に、2 人が同じ誕生日であるというほぼランダムな確率が存在するために必要な人はほとんどいないということです。 この奇妙なパラドックスをより完全に理解しようとしましょう。

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誕生日のパラドックス

誕生日のパラドックスは、わずか 23 人のグループで、偶然に近い確率、具体的には 50.7% があることを立証する数学的な真実です。 そのうちの少なくとも 2 人が同じ誕生日であること. この数学的ステートメントの人気は、必要なものが非常に少ないという驚くべき事実によるものです。 人々は、誕生日のようにさまざまなものに一致する可能性がかなりあります。

この数学的事実はパラドックスと呼ばれますが、厳密にはそうではありません。 好奇心旺盛であることが判明する限り、それはむしろパラドックスです、常識に反するからです。 2人が同じ日に誕生日を迎えるのに何人の人が必要だと思うかを誰かに尋ねられたとき、人々は直感的に183、つまり365の半分を与える傾向があります.

この値の背後にある考え方は、通常の年の日数を 2 分の 1 にすると、50% に近い確率が存在するために必要な最小値が得られるという考えです。

しかし、 この質問に答えようとすると、このような高い値が与えられることは驚くべきことではありません、人々はしばしば問題を誤解するため. 誕生日のパラドックスは、特定の人が誕生日を持っている確率を指すものではありません。 グループ内の別の人ですが、コメントしたように、グループ内の2人が同じ誕生日である可能性 日。

現象の数学的説明

この驚くべき数学的真実を理解するために、最初にすべきことは、誕生日が同じカップルを見つける可能性はたくさんあるということを心に留めておくことです。

一見、バンドメンバーの23歳の誕生日である23日は、

可能な個別の日数の小さすぎる割合、うるう年でない年は 365 日、うるう年は 366 日、あたかも繰り返しが予想されるかのように。 この考え方は確かに正確ですが、特定の日に繰り返しが予想される場合に限られます。 つまり、すでにコメントしたように、もう1つの可能性があるように、多くの人を集める必要があります. グループのメンバーの 1 人の 50% に近いか、それ以下で、誕生日が自分たちと同じであるとします。 例。

ただし、誕生日のパラドックスでは、繰り返しが発生します。 つまり、そのうちの 2 人が同じ日に誕生日を迎えるには、何人の人が必要かということです。 それを理解し、数学的に示すために、 次に、パラドックスの背後にある手順をさらに詳しく見ていきます.

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可能な一致の可能性

部屋に 2 人しかいないとします。 この 2 人、C1 と C2 は、カップル (C1=C2) しか形成できませんでした。 誕生日が同じ日か、誕生日が同じでないかのどちらかです。他に選択肢はありません。.

この事実を数学的に述べると、次の公式があります。

(人数×可能な組み合わせ)/2 = 偶然の一致の可能性。

この場合、これは次のようになります。

(2 x 1)/2 = 一致する可能性が 1 回

2人ではなく3人になったらどうなる？ マッチチャンスは最大3回、これら3人の間で3つのペアを形成できるという事実のおかげです（Cl = C2; Cl=C3; C2=C3)。 数学的に表現すると、次のようになります。

(3 人 X 2 通りの組み合わせ)/2 = 3 回の一致の可能性

4 の場合、それらが一致する可能性は 6 つあります。

(4人×3通りの組み合わせ)/2=6通りの当選確率

最大 10 人になれば、さらに多くの可能性があります。

(10人×9通りの組み合わせ)/2=45

23 人の場合、(23×22)/2 = 253 の異なるカップルがあります。、それぞれが同じ日に誕生日を持つ2人のメンバーの候補であり、誕生日のパラドックスを与え、誕生日が一致する可能性が高くなります.

確率推定

サイズ n のグループが 2 人になる確率を計算します。、彼らが何であれ、同じ日に誕生日を迎えます。 この特定のケースでは、同じ確率の誕生日が 365 回あると仮定して、閏年と双子を破棄します。

ラプラスの法則と組み合わせ論の使用

まず、n 人の誕生日が異なる確率を計算する必要があります。 つまり、誕生日のパラドックスで述べられていることとは逆の確率を計算します。 このため、 計算を検討する際には、2 つの可能なイベントを考慮に入れる必要があります。.

イベント A = {2 人が同じ日に誕生日を祝う} イベント A の補足: A^c = {2 人の誕生日が同じ日に祝われない}

特定のケースとして、5 人のグループ (n=5) を考えてみましょう。

可能なケースの数を計算するには、次の式を使用します。

年間通算日^n

通常の年が 365 日であることを考慮すると、誕生日のお祝いの可能性のあるケースの数は次のようになります。

365^5 = 6,478 × 10^12

私たちが最初に選んだ人は、論理的に考えれば、1 年のうち 365 日のうちのいずれかに生まれた可能性があります。 次の子は残り364日のうちに生まれたかもしれません、次の次の次の子は、残りの 363 日のうちの 1 つで生まれた可能性があります。

これから計算すると、365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6,303 × 10^12 となります。 結果は、その 5 人のグループに同じ生まれの人が 2 人いない場合の数です。 日。

ラプラスの法則を適用すると、次のように計算されます。

P (A^c) = 好ましいケース/可能性のあるケース = 6.303 / 6.478 = 0.973

この意味は 5人のうち2人が同じ日に誕生日を迎えない確率は97.3%. このデータにより、2 人の誕生日が同じ日である可能性が得られ、補完値が得られます。

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0.973 = 0.027

このことから、5 人のグループの中で 2 人が同じ日に誕生日を迎える可能性はわずか 2.7% であることが抽出されます。

これを理解すると、サンプルのサイズを変更できます. n人の集まりで少なくとも2人が同じ誕生日である確率は、次の式を使用して取得できます。

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

n が 23 の場合、そのうち少なくとも 2 人が同じ日に年を迎える確率は 0.51 です。

この特定のサンプル サイズが有名になった理由は、n = 23 の場合です。 少なくとも 2 人が同じ日に誕生日を祝う確率は均等です.

他の値、たとえば 30 または 50 に増やすと、確率はそれぞれ 0.71 と 0.97 になり、同じで 71% と 97% になります。 n = 70 の場合、0.99916 または 99.9% の確率で、2 人の誕生日が一致することがほぼ保証されます。

ラプラスの法則と積則を使う

問題を理解するための別のそれほど大したことではない方法は、次のように提起することです.

23 人が同じ部屋にいて、同じ誕生日ではない確率を計算したいとします。

部屋に一人しかいないとします。 部屋にいる全員の誕生日が異なる可能性は、明らかに 100%、つまり確率 1 です。 基本的にその人は一人で、他に誰もいないので、誕生日が他の人の誕生日と一致することはありません。

今度は別の人が入ってきたので、部屋には 2 人の人がいます。 彼女の誕生日が最初の人と違う確率は 364/365、これは 0.9973 または 99.73% です。

3 分の 1 を入力します。 彼女の誕生日が、彼女より前に入力した他の 2 人と異なる確率は、363/365 です。 3 人全員が異なる誕生日である確率は、364/365 かける 363/365、つまり 0.9918 です。

したがって、誕生日が異なる23人の選択肢は、364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365、結果は 0.493 です。

言い換えれば、49.3% の確率で、出席者の誰も同じ日に誕生日を持っていない可能性があり、したがって、その逆も成り立ちます。 そのパーセンテージの補完を計算すると、少なくとも 2 人が共有する確率は 50.7% です。 誕生日

誕生日のパラドックスとは対照的に、n 人の部屋に誰かがいる確率は、 特定の人と同じ誕生日、たとえば、そこにいる場合は自分自身、 は次の式で与えられます.

1- (364/365)^n

n = 23 の場合、約 0.061 の確率 (6%) が得られ、0.5 または 50% に近い値を得るには少なくとも n = 253 が必要です。

現実のパラドックス

このパラドックスが満たされていることがわかる状況は複数あります。 ここでは、2 つの実際のケースを取り上げます。

最初はスペインの王たちのものです. カスティーリャとアラゴンのカトリック君主の治世からスペインのフェリペ 6 世の治世まで数えると、正当な君主は 20 人います。 これらの王たちの中には、驚くべきことに、誕生日が一致する 2 組のカップルがいます。カルロス 2 世とカルロス 4 世 (11 月 11 日) とホセ 1 世とフアン カルロス 1 世 (1 月 5 日) です。 n = 20 を考慮すると、同じ誕生日の君主が 1 組しか存在しない可能性は、

もう1つの実際のケースは、2019年のユーロビジョングランドファイナルのケースです. イスラエルのテルアビブで開催されたその年の決勝戦には、26カ国が参加し、そのうち24カ国が参加しました。 彼らは、歌手の姿が特別な役割を果たしたソロ歌手またはグループのいずれかを送りました。 その中で、イスラエル代表のコビ・マリミとスイス代表のルカ・ハンニの2人の誕生日が一致し、どちらも10月8日に誕生日を迎えた。

参考文献:

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