カウントテクニック：タイプ、それらの使用方法と例

数学の世界は、魅力的なのと同じように複雑です、しかしおそらくその複雑さのおかげで、私たちは日々より効果的かつ効率的に対処することができます。

カウント手法は、同じオブジェクトグループ内の要素にいくつの異なる組み合わせまたはオプションがあるかを知ることを可能にする数学的方法です。

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これらの手法により、忍耐力や正気度を失うことなく、オブジェクトのシーケンスまたは組み合わせを作成するためのさまざまな方法がいくつあるかを知ることで、非常に重要な方法でスピードアップすることができます。 それらが何であるか、そしてどれが最も使用されているかを詳しく見てみましょう。

カウントテクニック：それらは何ですか？

カウント手法は、確率と統計で使用される数学的戦略であり、 1つまたは複数のセット内で組み合わせを行うことで得られる結果の総数 オブジェクト。 これらのタイプの手法は、さまざまな要素を手動で組み合わせて、それらの数を知ることが事実上不可能または重すぎる場合に使用されます。

この概念は、例を通してより簡単に理解されます. 黄色、赤、青、緑の4つの椅子がある場合、3つの椅子の組み合わせをいくつ並べて配置できますか？

この問題は、青、赤、黄色などの組み合わせを考えて手動で行うことで解決できます。 青、黄、赤。 赤、青、黄色、赤、黄、青...しかし、これには多くの忍耐と時間が必要な場合があります。そのためには、カウント手法を使用します。この場合、順列が必要です。

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5種類のカウントテクニック

主なカウント手法は次の5つです、それだけではありませんが、それぞれに独自の特性があり、要件に応じて使用され、オブジェクトのセットの組み合わせがいくつ可能かを知ることができます。

実際、このタイプの手法は、複雑さに応じて2つのグループに分けることができ、1つはで構成されています。 乗法原理と加法原理、およびその他の組み合わせで構成され、 順列。

1. 乗法原理

このタイプのカウント手法は、加法原理とともに、これらの数学的方法がどのように機能するかを簡単かつ実用的に理解することを可能にします。

1つのイベント（N1と呼びましょう）がいくつかの方法で発生し、別のイベントN2が多くの方法で発生する場合、イベントは一緒にN1 xN2の方法で発生する可能性があります。

この原則は、アクションがシーケンシャルである場合、つまり、規則正しく発生するイベントで構成されている場合に使用されます。 家の建設、ディスコでのダンスのステップの選択、または準備するために従う順序など パイ。

例えば：

レストランでは、メニューはメインコース、セカンドコース、デザートで構成されています。 メインディッシュは4つ、秒は5つ、デザートは3つです。

したがって、N1 = 4; N2 = 5およびN3 = 3。

したがって、このメニューによって提供される組み合わせは、4 x 5 x 3 = 60になります。

2. 相加原理

この場合、各イベントの選択肢を増やす代わりに、それらが発生する可能性のあるさまざまな方法が追加されます。

これは、最初のアクティビティがMウェイで発生し、2番目がNで、3番目がLで発生する可能性がある場合、この原則によれば、M + N + Lになることを意味します。

例えば：

チョコレートを買いたいのですが、スーパーにはA、B、Cの3つのブランドがあります。

チョコレートAは、黒、ミルク、白の3つのフレーバーで販売されており、それぞれに砂糖なしまたは砂糖付きのオプションがあります。

チョコレートBは、黒、牛乳、白の3つのフレーバーで販売されており、ヘーゼルナッツの有無、砂糖の有無を選択できます。

チョコレートCは、黒、牛乳、白の3つのフレーバーで販売されており、ヘーゼルナッツ、ピーナッツ、キャラメル、アーモンドのいずれかを選択できますが、すべて砂糖が含まれています。

これに基づいて、答えられるべき質問は次のとおりです：何種類のチョコレートを買うことができますか？

W =チョコレートAを選択する方法の数。

Y =チョコレートBを選択する方法の数。

Z =チョコレートCを選択する方法の数。

次のステップは単純な乗算です。

W = 3 x 2 = 6。

Y = 3 x 2 x 2 = 12。

Z = 3 x 5 = 15。

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33種類のチョコレート。

乗法または加法のどちらの原則を使用するかを知るための主な手がかりは、問題のアクティビティが メニューの場合のように実行する一連の手順があります。または、チョコレートの場合のようにいくつかのオプションがあります。

3. 順列

順列の実行方法を理解する前に、組み合わせと順列の違いを理解することが重要です。

組み合わせとは、順序が重要ではない、または最終結果を変更しない要素の配置です。

一方、順列では、いくつかの要素の配置があり、それらの順序または位置を考慮することが重要です。

順列では、n個の異なる要素があり、それらの数が選択されます。これはrになります。

使用される式は次のようになります。nPr= n！/（N-r）！

例えば：

10人のグループがあり、5人しか座れない席がありますが、いくつの方法で座ることができますか？

以下が実行されます。

10P5 = 10！/（10-5）！= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30,240の銀行を占有するさまざまな方法。

4. 繰り返しのある順列

オブジェクトのセット（一部は同じ）の順列の数を知りたい場合は、次の手順に従います。

nが利用可能な要素であることを考慮に入れて、それらのいくつかは繰り返されました。

すべての項目nが選択されています。

次の式が適用されます：= n！/ N1！N2... nk！

例えば：

ボートでは、赤3個、黄2個、緑5個の旗を掲げることができます。 あなたが持っている10個の旗を上げることによっていくつの異なる信号を作ることができますか？

10!/3!2!5! = 2,520の異なるフラグの組み合わせ。

5. 組み合わせ

組み合わせでは、順列で起こったこととは異なり、要素の順序は重要ではありません。

適用される式は次のとおりです。nCr= n！/（N-r）！R！

例えば：

10人のグループが近所を掃除したいと思っており、それぞれ2人のメンバーのグループを形成する準備をしています。いくつのグループが可能ですか？

この場合、n = 10およびr = 2であるため、次の式を適用します。

10C2 = 10！/（10-2）！2！= 180の異なるペア。

書誌参照：

• ブルアルディ、R。 に。 （2010）、Introductory Combinatorics（5th ed。）、Pearson PrenticeHall。
• Finetti、Bによる。 (1970). 「論理的基礎と主観的確率の測定」。 ActaPsychologica。
• ホッグ、R。 V。; クレイグ、アレン; マッキーン、ジョセフW。 (2004). 数理統計入門（第6版）。 アッパーサドルリバー：ピアソン。
• マズール、D。 R。 （2010）、Combinatorics：A Guided Tour、Mathematical Association of America、
• ライザー、H。 J。 （1963）、組み合わせ数学、カルス数学モノグラフ14、アメリカ数学協会。