Telleteknikker: typer, hvordan du bruker dem og eksempler

Matematikkens verden, like fascinerende, er også komplisert, men kanskje takket være dens kompleksitet kan vi takle det daglige mer effektivt og effektivt.

Tellingsteknikker er matematiske metoder som lar oss vite hvor mange forskjellige kombinasjoner eller alternativer det er av elementene i samme gruppe objekter.

• Anbefalt artikkel: "Psykometri: hva er det og hva er det ansvarlig for?"

Disse teknikkene gjør det mulig å øke hastigheten på en veldig viktig måte å vite hvor mange forskjellige måter det er å lage sekvenser eller kombinasjoner av objekter, uten å miste tålmodighet eller sunn fornuft. La oss se nærmere på hva de er og hvilke som er mest brukt.

Telle teknikker: hva er de?

Tellingsteknikker er matematiske strategier som brukes i sannsynlighet og statistikk som gjør det mulig å bestemme totalt antall resultater som kan være fra å lage kombinasjoner i et sett eller sett med gjenstander. Disse typer teknikker brukes når det er praktisk talt umulig eller for tungt å lage kombinasjoner av forskjellige elementer manuelt og å vite hvor mange av dem som er mulige.

Dette konseptet vil forstås lettere gjennom et eksempel. Hvis du har fire stoler, en gul, en rød, en blå og en grønn, hvor mange kombinasjoner av tre av dem kan ordnes side om side?

Dette problemet kan løses ved å gjøre det manuelt, og tenke på kombinasjoner som blå, rød og gul; blå, gul og rød; rødt, blått og gult, rødt, gult og blått... Men dette kan kreve mye tålmodighet og tid, og for det vil vi bruke telleteknikker, for dette tilfellet er en permutasjon nødvendig.

• Du kan være interessert i å lese: "Normalfordeling: hva det er, egenskaper og eksempler i statistikk"

De fem typene tellingsteknikker

De viktigste tellingsteknikkene er følgende fem, men ikke de eneste, hver med sine egne særegenheter og brukt i henhold til kravene for å vite hvor mange kombinasjoner av sett med objekter som er mulige.

Egentlig kan denne typen teknikker deles inn i to grupper, avhengig av deres kompleksitet, den ene består av multiplikasjonsprinsippet og additivprinsippet, og det andre består av kombinasjoner og kombinasjonsmuligheter.

1. Multiplikasjonsprinsipp

Denne typen tellingsteknikk, sammen med additivprinsippet, gir en enkel og praktisk forståelse av hvordan disse matematiske metodene fungerer.

Hvis en hendelse, la oss kalle den N1, kan forekomme på flere måter, og en annen hendelse, N2, kan oppstå på så mange måter, kan hendelsene sammen oppstå på N1 x N2-måter.

Dette prinsippet brukes når handlingen er sekvensiell, det vil si den består av hendelser som skjer på en ryddig måte, for eksempel bygging av et hus, valg av dansetrinn i et diskotek eller rekkefølgen som vil bli fulgt for å forberede et pai.

For eksempel:

I en restaurant består menyen av hovedrett, et sekund og dessert. Vi har 4 hovedretter, 5 sekunder og 3 desserter.

Så, N1 = 4; N2 = 5 og N3 = 3.

Dermed vil kombinasjonene som tilbys av denne menyen være 4 x 5 x 3 = 60

2. Tilsetningsprinsipp

I dette tilfellet, i stedet for å multiplisere alternativene for hver hendelse, er det som skjer at de forskjellige måtene de kan oppstå på, blir lagt til.

Dette betyr at hvis den første aktiviteten kan forekomme på M-måter, den andre i N og den tredje L, vil det ifølge dette prinsippet være M + N + L.

For eksempel:

Vi ønsker å kjøpe sjokolade, det er tre merker i supermarkedet: A, B og C.

Sjokolade A selges i tre smaker: svart, melk og hvit, i tillegg til å ha muligheten uten eller med sukker til hver av dem.

Sjokolade B selges i tre smaker, svart, melk eller hvit, med mulighet for å ha hasselnøtter eller ikke, og med eller uten sukker.

Sjokolade C selges i tre smaker, svart, melk og hvit, med mulighet for å ha hasselnøtter, peanøtter, karamell eller mandler, men alt med sukker.

Basert på dette er spørsmålet som skal besvares: hvor mange forskjellige varianter av sjokolade kan man kjøpe?

W = antall måter å velge sjokolade A.

Y = antall måter å velge sjokolade B.

Z = antall måter å velge sjokolade C.

Det neste trinnet er enkel multiplikasjon.

W = 3 x 2 = 6.

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 forskjellige sjokoladesorter.

For å vite om du skal bruke multiplikasjons- eller tilsetningsprinsippet, er hovedsporet om aktiviteten det er snakk om Den har en rekke trinn som skal utføres, som det var tilfelle med menyen, eller det er flere alternativer, for eksempel sjokolade.

3. Kombinasjonsmuligheter

Før du forstår hvordan permutasjonene skal gjøres, er det viktig å forstå forskjellen mellom en kombinasjon og en permutasjon.

En kombinasjon er en ordning av elementer hvis rekkefølge ikke er viktig eller ikke endrer det endelige resultatet.

På en annen side vil det i en permutasjon være en ordning med flere elementer der det er viktig å ta hensyn til deres orden eller posisjon.

I permutasjoner er det n antall forskjellige elementer, og et antall av dem er valgt, som ville være r.

Formelen som vil bli brukt vil være følgende: nPr = n! / (N-r)!

For eksempel:

Det er en gruppe på 10 personer, og det er et sete som bare passer til fem, hvor mange måter kan de sitte på?

Følgende vil bli gjort:

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30 240 forskjellige måter å okkupere banken på.

4. Permutasjoner med repetisjon

Når du vil vite antall permutasjoner i et sett med objekter, hvorav noen er de samme, går du frem som følger:

Tatt i betraktning at n er de tilgjengelige elementene, noen av dem gjentas.

Alle elementene n er valgt.

Følgende formel gjelder: = n! / N1! N2... nk!

For eksempel:

3 røde, 2 gule og 5 grønne flagg kan heises på en båt Hvor mange forskjellige signaler kan man lage ved å heve de 10 flaggene du har?

10!/3!2!5! = 2.520 forskjellige flaggkombinasjoner.

5. Kombinasjoner

I kombinasjoner, i motsetning til hva som skjedde med permutasjoner, er ikke rekkefølgen på elementene viktig.

Formelen som skal brukes er følgende: nCr = n! / (N-r)! R!

For eksempel:

En gruppe på 10 personer ønsker å rydde opp i nabolaget og forbereder seg på å danne grupper på 2 medlemmer hver. Hvor mange grupper er mulig?

I dette tilfellet, n = 10 og r = 2, og dermed bruke formelen:

10C2 = 10! / (10-2)! 2! = 180 forskjellige par.

Bibliografiske referanser:

• Brualdi, R. TIL. (2010), Introductory Combinatorics (5. utg.), Pearson Prentice Hall.
• av Finetti, B. (1970). "Logiske fundamenter og måling av subjektiv sannsynlighet". Acta Psychologica.
• Hogg, R. V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introduksjon til matematisk statistikk (6. utgave). Upper Saddle River: Pearson.
• Mazur, D. R. (2010), Combinatorics: A Guided Tour, Mathematical Association of America,
• Ryser, H. J. (1963), Combinatorial Mathematics, The Carus Mathematical Monographs 14, Mathematical Association of America.