Czym są liczby zespolone SKOŃCZONE z PRZYKŁADAMI i ĆWICZENIAMI rozwiązywanymi?

W tej nowej lekcji od Nauczyciela dowiemy się czego liczby zespolone sprzężone z przykładami więc możesz wiedzieć, jak możemy uzyskać sprzężenie liczb zespolonych lub urojonych. Przede wszystkim zobaczymy jakie kroki powinniśmy wykonać wyodrębnić sprzężenie liczby zespolonej. Następnie zrobimy to samo, ale zamiast pojedynczej liczby urojonej, z operacjami na liczbach urojonych. W każdej z tych sekcji zobaczymy przykłady i wreszcie możesz rozwiązać a ćwiczenie i sprawdź, czy dobrze sobie poradziłeś z rozwiązania które znajdziesz na końcu.

Aby otrzymać sprzężenie liczby zespolonej, umieścimy tę liczbę między parą pionowych kresek z każdej strony (||... ||) i konieczne będzie dokładne wykonanie następujących kroków:

1. Zamówienie numer: dajmy miejsce na zawsze część rzeczywista na początku i część urojona na końcu.
2. Zmień znak od środka: zobaczymy jaki mamy znak między częścią rzeczywistą a częścią urojoną i zmienimy go tak, że gdybyśmy mieli +, teraz będziemy mieli - i odwrotnie.

Przykłady działania ze sprzężonymi liczbami zespolonymi

Ważne jest, aby to zauważyć Liczby zespolone są zwykle reprezentowane używając litery Z, więc na przykład możemy mieć Z = 8 - 7i. W tym przypadku, gdyby poprosili nas o obliczenie koniugatu, powiedzieliby nam || 8 - 7i || i powinniśmy postępować zgodnie z ustalonymi krokami:

1. Zamawiamy: w tym przypadku część rzeczywistą mamy już na początku, a część urojoną na końcu, więc zostawiamy to bez zmian: Z = 8 - 7i.
2. Zmieniamy znak środka: 8 + 7i.

W ten sposób otrzymujemy sprzężenie Z, które w naszym przykładzie wynosi 8 + 7i.

Zobaczmy inny przykład czegoś innego. Jeśli podają nam liczbę zespoloną Z = - 32i - 12, kroki będą wyglądać tak:

1. Zamawiamy: w tym przykładzie konieczne jest zamówienie, ponieważ część urojona znajduje się z przodu, więc zmienimy ją na Z = - 12 - 32i.
2. Teraz możemy zmienić znak środka. Skoro mieliśmy minus, to zmienimy go na plus: - 12 + 32i.

Widzieliśmy już, że uzyskanie liczb sprzężonych jest czymś całkiem prostym, ponieważ do wykonania są tylko dwa kroki. Teraz dodamy trochę trudności: zamiast jednej liczby zespolonej, będziemy mieli parę, która będzie dodawać lub odejmować. Kroki w tym przypadku byłyby następujące:

1. Miejscei grupa część rzeczywista z jednej strony i część urojona z drugiej.
2. Zamówienie, tak jak to zrobiliśmy w poprzedniej sekcji.
3. Zmień znak, w ten sam sposób.

Przykład 1

Spójrzmy na przykład. Jeśli poproszą nas o sprzężenie sumy między Z¹ = 4i + 5 i Z² = - 7 - 3i:

1. Umieścimy to, o co nas proszą, czyli: (4i + 5) + (- 7 - 3i). Jeśli zgrupujemy część rzeczywistą, zostanie nam + 5 - 7, co równa się -2. Jeśli zgrupujemy część urojoną, otrzymamy 4i - 3i, które jest równe i.
2. Zamawiamy, pisząc najpierw część rzeczywistą, a następnie część urojoną: - 2 + i.
3. Zmieniamy znak: - 2 - i.

Przykład 2

Spójrzmy na przykład, w którym zamiast dodawania dwóch liczb zespolonych odejmujemy je. W tym sensie bardzo ważne jest, aby jasno określić, w jaki sposób liczby dodatnie i ujemne są dodawane lub odejmowane. Możesz rzucić okiem na artykuł Czym są liczby całkowite. Tak więc, jeśli poproszą nas o sprzężenie odejmowania między Z¹ = 2 - 3i i Z² = 6 - 9i:

1. Stawiamy: (2 - 3i) - (6 - 9i). Za każdym razem, gdy mamy znak ujemny przed nawiasem, musimy zmienić znak wszystkiego wewnątrz nawiasu, tak abyśmy mieli (2 - 3i) + (- 6 + 9i). Teraz możemy zgrupować część rzeczywistą, która pozostanie 2 - 6, czyli -4; i część urojona, która pozostanie - 3i + 9i, która pozostanie z 6i.
2. Zamawiamy: - 4+6i.
3. Zmieniamy znak: - 4 - 6i.

Przykład 3

Jeśli poproszą nas o sprzężenie liczby zespolonej, a następnie odejmą lub dodają inną liczbę zespoloną, wykonamy kroki dla najpierw zgrupujemy część rzeczywistą wyniku z drugą liczbą zespoloną z jednej strony, a część urojoną z inny. Zobaczysz to wyraźniej na poniższym przykładzie: uzyskaj koniugat Z¹ = 20i - 7 a następnie dodaj liczbę zespoloną Z² = 42 + 7i.

1. Obliczamy sprzężenie Z¹, co dałoby nam - 7 - 20i.
2. dodajemy Z²: (-7 - 20i) + (42 + 7i) = 35 - 13i.

Aby zakończyć tę lekcję, zostawimy Ci 4 ćwiczenia na złożonych liczbach sprzężonych, które pomogą Ci sprawdzić Twoją wiedzę. W kolejnym rozdziale znajdziesz rozwiązania ćwiczenia, dzięki którym będziesz mógł sprawdzić swoje wyniki:

1. Oblicz koniugat 86i - 6
2. Znajdź sprzężenie sumy między 67 + 7i a - 5 + 2i
3. Znajdź sprzężenie odejmowania między 5i - 8 i 9i + 2.
4. Znajdź koniugat 12i - 3 i odejmij od niego 8 + 2i.