Парадокс дня рождения: что это такое и как его объяснить

Давайте представим, что мы с группой людей, например, на семейной встрече, встрече начальных классов или просто выпиваем в баре. Допустим, нас около 25 человек.

Между шумом и поверхностными разговорами мы немного отключились и начали думать о нашем вещей, и вдруг мы спрашиваем себя: какова должна быть вероятность того, что среди этих людей у ​​двоих день рождения тот же день?

Парадокс дня рождения — математическая истина, вопреки нашему инстинкту, который считает, что нужно очень мало людей, чтобы существовала почти случайная вероятность того, что двое из них родились в один день. Попробуем разобраться в этом любопытном парадоксе более основательно.

• Статья по теме: "Логико-математический интеллект: что это такое и как его улучшить?"

Парадокс дня рождения

Парадокс дня рождения — это математическая истина, устанавливающая, что в группе всего из 23 человек существует вероятность, близкая к случайности, а именно 50,7%, что по крайней мере двое из этих людей имеют одинаковый день рождения. Популярность этого математического утверждения объясняется тем удивительным фактом, что его требуется так мало. люди имеют довольно верный шанс, что у них будут совпадения на чем-то столь же разнообразном, как день рождения.

Хотя этот математический факт и называется парадоксом, строго говоря, это не так. Это скорее парадокс, поскольку оказывается любопытным, так как это совершенно противоречит здравому смыслу. Когда кого-то спрашивают, сколько людей, по его мнению, нужно, чтобы у них двоих дни рождения совпадали, люди склонны интуитивно давать 183, то есть половину от 365.

Идея, стоящая за этим значением, заключается в том, что, уменьшив вдвое количество дней в обычном году, можно получить минимум, необходимый для вероятности, близкой к 50%.

Однако, неудивительно, что такие высокие значения приводятся при попытке ответить на этот вопрос, так как люди часто неправильно понимают проблему. Парадокс дня рождения не относится к вероятности того, что конкретный человек имеет день рождения по отношению к другой в группе, но, как мы отметили, вероятность того, что любые два человека в группе имеют один и тот же день рождения день.

Математическое объяснение явления

Чтобы понять эту удивительную математическую истину, первое, что нужно сделать, это помнить, что существует множество возможностей найти пары с одинаковым днем ​​рождения.

На первый взгляд можно подумать, что 23 дня, то есть 23-й день рождения участников группы, это слишком малая часть возможного количества отдельных дней, 365 дней невисокосного года, или 366 в високосный год, как бы ожидать повторений. Это мышление действительно верно, но только если мы ожидаем повторения в определенный день. То есть, и как мы уже отмечали, нам нужно было бы собрать много людей, чтобы была еще одна возможность. или менее близко к 50% одного из членов группы, празднующего день рождения вместе с нами, чтобы поставить пример.

Однако в парадоксе дня рождения возникают любые повторения. То есть, сколько людей нужно, чтобы двое из этих людей имели день рождения в один и тот же день, будь то человек или дни любые. Чтобы понять это и показать это математически, Далее мы более подробно рассмотрим процедуру, стоящую за парадоксом..

• Вам может быть интересно: "12 любопытных фактов о человеческом разуме"

Возможность возможного совпадения

Давайте представим, что у нас всего два человека в комнате. Эти два человека, C1 и C2, могут образовать только пару (C1=C2), с которой у нас есть только одна пара, в которой может произойти повторный день рождения. Либо у них дни рождения в один и тот же день, либо у них разные дни рождения, других вариантов нет..

Чтобы сформулировать этот факт математически, мы имеем следующую формулу:

(Количество людей x возможные комбинации)/2 = возможности возможного совпадения.

В этом случае это будет:

(2 x 1)/2 = 1 шанс возможного совпадения

Что будет, если вместо двух человек будет трое? Шансы на матч увеличиваются до трех, благодаря тому, что между этими тремя людьми могут образоваться три пары (Cl=C2; Cl=С3; С2=С3). В математическом представлении имеем:

(3 человека X 2 возможных комбинации)/2 = 3 шанса возможного совпадения

С четырьмя есть шесть возможностей, что они совпадают между собой:

(4 человека X 3 возможных комбинации)/2 = 6 шансов возможного совпадения

Если мы дойдем до десяти человек, у нас будет гораздо больше возможностей:

(10 человек X 9 возможных комбинаций)/2 = 45

На 23 человека приходится (23×22)/2 = 253 различных пары., каждый из них является кандидатом на то, чтобы их два участника имели дни рождения в один и тот же день, создавая себе парадокс дня рождения и имея больше возможностей совпадения дня рождения.

оценка вероятности

Мы собираемся вычислить, какова вероятность того, что группа размером n человек, двое из них, кем бы они ни были, у них день рождения в один и тот же день. В этом конкретном случае мы собираемся отбросить високосные годы и близнецы, предполагая, что существует 365 дней рождения с одинаковой вероятностью.

Использование правила Лапласа и комбинаторики

Во-первых, мы должны вычислить вероятность того, что у n людей разные дни рождения. То есть мы вычисляем вероятность, противоположную той, что заявлена ​​в парадоксе дня рождения. Для этого, Мы должны учитывать два возможных события при рассмотрении расчетов.

Событие A = {два человека отмечают свои дни рождения в один и тот же день} Дополнение к событию A: A^c = {два человека не отмечают свои дни рождения в один и тот же день}

Возьмем как частный случай группу из пяти человек (n=5)

Для расчета количества возможных случаев используем следующую формулу:

дни года^n

Принимая во внимание, что в обычном году 365 дней, число возможных случаев празднования дня рождения составляет:

365^5 = 6,478 × 10^12

Первый из выбранных нами людей мог родиться, как логично предположить, в любой из 365 дней в году. Следующий может родиться в один из оставшихся 364 дней., а следующий из следующих мог родиться в один из оставшихся 363 дней и так далее.

Отсюда следует следующий расчет: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6 303 × 10 ^ 12, что дает как результат - это количество случаев, когда в этой группе из 5 человек нет двух людей, которые родились одинаково день.

Применяя правило Лапласа, мы вычисляем:

P (A^c) = благоприятные случаи/возможные случаи = 6,303/6,478 = 0,973

Это значит, что вероятность того, что два человека в группе из 5 человек не родятся в один и тот же день, составляет 97,3%.. С помощью этих данных мы можем получить возможность того, что два человека имеют день рождения в один и тот же день, получив дополнительную ценность.

р(А) = 1 - р(А^с) = 1 - 0,973 = 0,027

Таким образом, отсюда получается, что шансы на то, что в группе из пяти человек двое из них имеют день рождения в один и тот же день, составляют всего 2,7%.

Понимая это, мы можем изменить размер выборки. Вероятность того, что по крайней мере у двух человек в компании из n человек день рождения совпадает, можно определить по следующей формуле:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

В случае, если n равно 23, вероятность того, что по крайней мере двое из этих людей отметят годовщину в один и тот же день, равна 0,51.

Причина, по которой этот конкретный размер выборки стал таким известным, заключается в том, что при n = 23 существует четная вероятность того, что хотя бы два человека празднуют день рождения в один и тот же день.

Если мы увеличим до других значений, например 30 или 50, мы получим более высокие вероятности 0,71 и 0,97 соответственно, или, что то же самое, 71% и 97%. При n = 70 почти гарантировано, что двое из них совпадут по дню рождения с вероятностью 0,99916 или 99,9%.

Используя правило Лапласа и правило произведения

Другой не столь надуманный способ понимания проблемы состоит в том, чтобы поставить ее следующим образом..

Давайте представим, что 23 человека находятся вместе в комнате, и мы хотим рассчитать вероятность того, что у них разные дни рождения.

Предположим, что в комнате находится только один человек. Вероятность того, что у всех в комнате будут разные дни рождения, очевидно, равна 100%, то есть вероятность равна 1. По сути, этот человек один, и, поскольку рядом никого нет, его день рождения не совпадает ни с чьим другим днем ​​рождения.

Теперь входит еще один человек, и, следовательно, в комнате два человека. Вероятность того, что у нее другой день рождения, чем у первого человека, составляет 364/365., это 0,9973 или 99,73%.

Введите третий. Вероятность того, что у нее другой день рождения, чем у двух других людей, вошедших до нее, равна 363/365. Вероятность того, что у всех троих разные дни рождения, составляет 364/365, умноженное на 363/365, или 0,9918.

Итак, варианты для 23 человек с разными днями рождения: 364/365 х 363/365 х 362/365 х 361/365 х... х 343/365, что дает 0,493.

Другими словами, существует вероятность 49,3%, что ни у кого из присутствующих день рождения не совпадает с днем ​​рождения, а значит, и наоборот. вычисляя комплементарность этого процента, мы имеем вероятность 50,7%, что по крайней мере два из них разделяют день рождения

В отличие от парадокса дня рождения, вероятность того, что кто-либо в комнате с n людьми день рождения в тот же день, что и конкретный человек, например, мы сами, если мы там, определяется следующей формулой.

1- (364/365)^n

При n = 23 это дало бы вероятность около 0,061 (6%), требуя, по крайней мере, n = 253, чтобы получить значение, близкое к 0,5 или 50%.

Парадокс на самом деле

Есть несколько ситуаций, в которых мы можем видеть, что этот парадокс выполняется. Здесь мы собираемся поместить два реальных случая.

Во-первых, это короли Испании.. Если считать от правления католических монархов Кастилии и Арагона до правления Филиппа VI в Испании, у нас есть 20 законных монархов. Удивительно, но среди этих королей мы находим две пары, дни рождения которых совпадают: Карлос II с Карлосом IV (11 ноября) и Хосе I с Хуаном Карлосом I (5 января). Вероятность того, что существовала только одна пара монархов с одинаковым днем ​​рождения, учитывая, что n = 20, равна

Еще один реальный случай — гранд-финал Евровидения 2019.. В финале того же года, проходившем в Тель-Авиве, Израиль, участвовали 26 стран, 24 из которых Присылали либо сольных исполнителей, либо группы, где особую роль отводила фигуре певца. Среди них два певца совпали по дню рождения: представитель Израиля Коби Марими и представитель Швейцарии Лука Ханни, оба отметившие свои дни рождения 8 октября.

Библиографические ссылки:

• Абрамсон, М.; Мозер, В. ИЛИ. Дж. (1970). «Еще сюрпризы на день рождения». Американский математический ежемесячник. 77 (8): 856–858. дои: 10.2307/2317022
• Блум, д. (1973). «Проблема дня рождения». Американский математический ежемесячник. 80 (10): 1141–1142. дои: 10.2307/2318556
• Кламкин, М.; Ньюман, Д. (1967). «Расширения сюрприза ко дню рождения». Журнал комбинаторной теории. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9