Tehnike štetja: vrste, kako jih uporabiti in primeri

Tudi svet matematike, prav tako fascinanten, je zapleten, a morda se zaradi njegove zapletenosti lahko učinkoviteje in učinkoviteje spopadamo z vsakodnevnim.

Tehnike štetja so matematične metode, ki nam omogočajo vedeti, koliko različnih kombinacij ali možnosti je elementov v isti skupini predmetov.

• Priporočen članek: "Psihometrija: kaj je in za kaj je odgovorna?"

Te tehnike omogočajo zelo pomemben pospešek, saj vedo, koliko različnih načinov je mogoče narediti zaporedja ali kombinacije predmetov, ne da bi pri tem izgubili potrpljenje ali razum. Poglejmo si podrobneje, kaj so in katere so najbolj uporabljene.

Tehnike štetja: kaj so to?

Tehnike štetja so matematične strategije, ki se uporabljajo v verjetnosti in statistiki in omogočajo določitev skupno število rezultatov, ki lahko izhajajo iz kombinacij znotraj niza ali nizov predmetov. Te vrste tehnik se uporabljajo, kadar je praktično nemogoče ali pretežko ročno sestaviti različne elemente in vedeti, koliko jih je mogoče.

Ta koncept bo lažje razumljiv na primeru

. Če imate štiri stole, enega rumenega, enega rdečega, enega modrega in enega zelenega, koliko kombinacij treh lahko razporedite drug ob drugem?

To težavo bi lahko rešili ročno, pri čemer bi razmišljali o kombinacijah, kot so modra, rdeča in rumena; modra, rumena in rdeča; rdeča, modra in rumena, rdeča, rumena in modra... Toda to lahko zahteva veliko potrpljenja in časa, za to pa bi uporabili tehnike štetja, v tem primeru je potrebna permutacija.

• Morda vas zanima branje: "Običajna porazdelitev: kaj je to, značilnosti in primeri v statistiki"

Pet vrst tehnik štetja

Glavnih tehnik štetja je naslednjih pet, čeprav ne edini, vsak s svojimi posebnostmi in uporabljen v skladu z zahtevami, da ve, koliko kombinacij nizov predmetov je mogoče.

Pravzaprav lahko to vrsto tehnik razdelimo v dve skupini, odvisno od njihove zapletenosti, od katerih je ena sestavljena multiplikativno in aditivno načelo, drugo pa je sestavljeno iz kombinacij in permutacije.

1. Multiplikativno načelo

Ta vrsta tehnike štetja, skupaj z aditivnim načelom, omogoča enostavno in praktično razumevanje delovanja teh matematičnih metod.

Če se en dogodek, recimo mu N1, lahko zgodi na več načinov, drugi dogodek, N2, pa na toliko načinov, potem se lahko dogodki skupaj pojavijo na načine N1 x N2.

To načelo se uporablja, kadar je dejanje zaporedno, to je sestavljeno iz dogodkov, ki se zgodijo urejeno, na primer gradnja hiše, izbira plesnih korakov v diskoteki ali vrstni red, po katerem bomo pripravili a pita.

Na primer:

V restavraciji je jedilnik sestavljen iz glavne jedi, druge in sladice. Za glavne jedi imamo 4, za sekunde jih je 5, za sladice pa 3.

Torej, N1 = 4; N2 = 5 in N3 = 3.

Tako bi bile kombinacije, ki jih ponuja ta meni, 4 x 5 x 3 = 60

2. Aditivno načelo

V tem primeru se namesto množenja alternativ za vsak dogodek dodajo različni načini, na katere se lahko pojavijo.

To pomeni, da če se prva aktivnost lahko pojavi na M načinov, druga na N in tretja L, potem bi bila po tem načelu M + N + L.

Na primer:

Želimo kupiti čokolado, v supermarketu so tri znamke: A, B in C.

Čokolada A se prodaja v treh okusih: črni, mlečni in beli, poleg tega pa ima možnost brez sladkorja ali sladkorja za vsakega od njih.

Čokolada B se prodaja v treh okusih, črnem, mlečnem ali belem, z možnostjo, da ima lešnike ali ne, z ali brez sladkorja.

Čokolada C se prodaja v treh okusih, črnem, mlečnem in belem, z možnostjo lešnikov, arašidov, karamele ali mandljev, vendar vse s sladkorjem.

Na podlagi tega je treba odgovoriti na vprašanje: koliko različnih sort čokolade je mogoče kupiti?

W = število načinov izbire čokolade A.

Y = število načinov izbire čokolade B.

Z = število načinov izbire čokolade C.

Naslednji korak je preprosto množenje.

Š = 3 x 2 = 6.

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 različnih sort čokolade.

Če želite vedeti, ali uporabiti multiplikativno ali aditivno načelo, je glavni namig, ali je zadevna dejavnost Kot pri meniju je treba izvesti vrsto korakov, ali obstaja več možnosti, kot je to pri čokoladi.

3. Permutacije

Preden razumemo, kako narediti permutacije, je pomembno razumeti razliko med kombinacijo in permutacijo.

Kombinacija je razporeditev elementov, katerih vrstni red ni pomemben ali ne spremeni končnega rezultata.

Po drugi strani pa bi pri permutaciji obstajala razporeditev več elementov, pri katerih je pomembno upoštevati njihov vrstni red ali položaj.

V permutacijah je n različnih elementov in izbranih je več, kar bi bilo r.

Formula, ki bi bila uporabljena, bi bila naslednja: nPr = n! / (N-r)!

Na primer:

Obstaja skupina 10 ljudi in sedež, ki sprejme le pet, na koliko načinov lahko sedijo?

Naredili bi naslednje:

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30.240 različnih načinov zasedbe banke.

4. Permutacije s ponavljanjem

Ko želite vedeti število permutacij v nizu predmetov, od katerih so nekateri enaki, nadaljujete na naslednji način:

Ob upoštevanju, da je n razpoložljivih elementov, so se nekateri ponovili.

Izbrani so vsi elementi n.

Velja naslednja formula: = n! / N1! N2... nk!

Na primer:

Na čolnu je mogoče dvigniti 3 rdeče, 2 rumene in 5 zelenih zastav. Koliko različnih signalov bi lahko oddali z dvigom 10 zastavic, ki jih imate?

10!/3!2!5! = 2.520 različnih kombinacij zastav.

5. Kombinacije

V kombinacijah, za razliko od tega, kar se je zgodilo s permutacijami, vrstni red elementov ni pomemben.

Formula, ki jo je treba uporabiti, je naslednja: nCr = n! / (N-r)! R!

Na primer:

Skupina 10 ljudi želi počistiti sosesko in se pripravlja na oblikovanje skupin po 2 člani. Koliko skupin je možnih?

V tem primeru je n = 10 in r = 2, tako da se uporabi formula:

10C2 = 10! / (10-2)! 2! = 180 različnih parov.

Bibliografske reference:

• Brualdi, R. TO. (2010), Uvodna kombinatorika (5. izdaja), Pearson Prentice Hall.
• avtor Finetti, B. (1970). "Logični temelji in merjenje subjektivne verjetnosti". Acta Psychologica.
• Hogg, R. V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Uvod v matematično statistiko (6. izd.). Zgornja reka Sedla: Pearson.
• Mazur, D. R. (2010), Kombinatorika: vodstvo, Mathematical Association of America,
• Ryser, H. J. (1963), Combinatorial Mathematics, The Carus Mathematical Monographs 14, Mathematical Association of America.