ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ 13 ประเภท (และคุณลักษณะ)

คณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในสาขาวิชาทางวิทยาศาสตร์ที่มีเทคนิคและมีวัตถุประสงค์มากที่สุดที่มีอยู่ เป็นกรอบการทำงานหลักที่วิทยาศาสตร์สาขาอื่นสามารถวัดและดำเนินการกับตัวแปรของ of องค์ประกอบที่พวกเขาศึกษาในลักษณะที่นอกเหนือจากวินัยในตัวมันเองถือว่าเป็นหนึ่งในฐานของความรู้ด้วยตรรกะ ทางวิทยาศาสตร์

แต่ภายในคณิตศาสตร์มีการศึกษากระบวนการและคุณสมบัติที่หลากหลายมาก ในหมู่พวกเขาความสัมพันธ์ระหว่างสอง ขนาดหรือโดเมนที่เชื่อมโยงถึงกัน ซึ่งได้ผลลัพธ์เฉพาะ ต้องขอบคุณหรือขึ้นอยู่กับค่าขององค์ประกอบ คอนกรีต. มันเป็นเรื่องของการมีอยู่ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ซึ่งจะไม่มีผลกระทบหรือเกี่ยวข้องกันเสมอไป

เป็นเพราะสิ่งนั้น เราสามารถพูดถึงฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ประเภทต่างๆ ได้ซึ่งเราจะพูดถึงตลอดบทความนี้

• บทความที่เกี่ยวข้อง: "14 ปริศนาคณิตศาสตร์ (และวิธีแก้ปัญหา)"

ฟังก์ชั่นในวิชาคณิตศาสตร์: มันคืออะไร?

ก่อนไปสร้างฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ประเภทหลักๆ ที่มีอยู่ เป็นผลจาก มีประโยชน์ที่จะแนะนำสั้น ๆ เพื่อให้ชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงอะไรเมื่อเราพูดถึง ฟังก์ชั่น.

ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดเป็น นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ของความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปรหรือปริมาณ

. ตัวแปรดังกล่าวเป็นสัญลักษณ์จากอักษรตัวสุดท้ายของตัวอักษร X และ Y และกำหนดชื่อโดเมนและโคโดเมนตามลำดับ

ความสัมพันธ์นี้แสดงออกในลักษณะที่แสวงหาความเท่าเทียมกันระหว่างองค์ประกอบที่วิเคราะห์ทั้งสอง และโดยทั่วไปแล้วหมายความว่าสำหรับ แต่ละค่าของ X มีผลเฉพาะของ Y และในทางกลับกัน (แม้ว่าจะมีการจำแนกประเภทของฟังก์ชันที่ไม่สอดคล้องกับสิ่งนี้ ความต้องการ)

นอกจากนี้ ฟังก์ชันนี้ อนุญาตให้สร้างการแสดงในรูปแบบของกราฟ ซึ่งจะทำให้ทำนายพฤติกรรมของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งจากตัวแปรอื่น ตลอดจนขีดจำกัดที่เป็นไปได้ของความสัมพันธ์นี้หรือการเปลี่ยนแปลงพฤติกรรมของตัวแปรดังกล่าว

เมื่อเราพูดว่าบางสิ่งบางอย่างขึ้นอยู่กับหรือเป็นหน้าที่ของสิ่งอื่น (เช่น ถ้าเราพิจารณาว่าคะแนนของเราในการสอบคณิตศาสตร์อยู่ใน ฟังก์ชันของจำนวนชั่วโมงที่เราเรียน) เมื่อเราพูดถึงฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ เรากำลังระบุว่าการได้ค่าหนึ่งขึ้นอยู่กับค่าของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เชื่อมโยงกัน ไปที่.

อันที่จริง ตัวอย่างก่อนหน้านี้แสดงได้โดยตรงในรูปแบบของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ (แม้ว่าในโลกแห่งความเป็นจริง ความสัมพันธ์นั้นซับซ้อนกว่ามากเพราะจริง ๆ แล้วขึ้นอยู่กับหลายปัจจัยและไม่ใช่แค่จำนวนชั่วโมง เรียน)

ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ประเภทหลัก

ในที่นี้เราจะแสดงประเภทหลัก ๆ ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่จำแนกออกเป็นกลุ่มต่างๆ ตามพฤติกรรมและประเภทของความสัมพันธ์ที่สร้างขึ้นระหว่างตัวแปร X และ Y.

1. ฟังก์ชันพีชคณิต

ฟังก์ชันพีชคณิตเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นชุดของประเภทของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มีลักษณะโดยการสร้างความสัมพันธ์ที่มีส่วนประกอบเป็นโมโนเมียลหรือพหุนาม และ ซึ่งความสัมพันธ์ได้มาจากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างง่าย: การบวก การลบ การคูณ การหาร การเสริมอำนาจหรือการอนุญาโตตุลาการ ภายในหมวดหมู่นี้ เราสามารถค้นหาประเภทต่าง ๆ มากมาย

1.1. ฟังก์ชั่นที่ชัดเจน

ฟังก์ชันที่ชัดเจนเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ทุกประเภทที่สามารถหาความสัมพันธ์ได้โดยตรง เพียงแค่แทนที่โดเมน x สำหรับค่าที่สอดคล้องกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งมันเป็นหน้าที่โดยตรง เราพบความเท่าเทียมกันระหว่างค่าของและความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับอิทธิพลจากโดเมน x.

1.2. ฟังก์ชันโดยนัย

ตรงกันข้ามกับก่อนหน้านี้ ในฟังก์ชันโดยปริยาย ความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนและโคโดเมนไม่ได้สร้างโดยตรง จำเป็นต่อการแปลงรูปแบบต่างๆ และการคำนวณทางคณิตศาสตร์ เพื่อหาทางที่ x และ y เป็น เกี่ยวข้อง

1.3. ฟังก์ชันพหุนาม

ฟังก์ชันพหุนาม ซึ่งบางครั้งเข้าใจว่ามีความหมายเหมือนกันกับฟังก์ชันพีชคณิต และบางครั้งเป็นคลาสย่อยของฟังก์ชันเหล่านี้ ประกอบขึ้นเป็นชุดของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ประเภทต่างๆ เพื่อให้ได้ความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนและโคโดเมนจำเป็นต้องดำเนินการต่าง ๆ กับพหุนาม ที่มีองศาที่แตกต่างกัน

ฟังก์ชันเชิงเส้นหรือดีกรีแรกน่าจะเป็นฟังก์ชันประเภทแรกที่แก้ปัญหาได้ง่ายที่สุดและเป็นหนึ่งในฟังก์ชันแรกๆ ที่ต้องเรียนรู้ ในนั้นมีเพียงความสัมพันธ์ที่เรียบง่ายซึ่งค่าของ x จะสร้างค่าของ y และการแสดงกราฟิกของมันคือเส้นที่ต้องตัดแกนพิกัดในบางจุด รูปแบบเดียวคือความชันของเส้นดังกล่าวและจุดที่แกนตัดกัน โดยคงความสัมพันธ์แบบเดียวกันไว้เสมอ

ภายในนั้น เราสามารถค้นหาฟังก์ชันเอกลักษณ์ โดยให้การระบุระหว่างโดเมนและโคโดเมนโดยตรง ในลักษณะที่ค่าทั้งสองจะเท่ากันเสมอ (y = x) ฟังก์ชันเชิงเส้น (ซึ่งเราสังเกตเฉพาะความแปรผันของ ความชัน, y = mx) และฟังก์ชัน affine (ซึ่งเราสามารถพบการเปลี่ยนแปลงในจุดตัดของแกน abscissa และความชัน y = mx + a)

ฟังก์ชันกำลังสองหรือดีกรีที่สองคือฟังก์ชันที่แนะนำพหุนามโดยที่ single ตัวแปรมีพฤติกรรมที่ไม่เป็นเชิงเส้นเมื่อเวลาผ่านไป (ค่อนข้างสัมพันธ์กับ โคโดเมน) จากขีดจำกัดเฉพาะ ฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะอนันต์บนแกนใดแกนหนึ่ง การแสดงกราฟิกถูกกำหนดเป็นพาราโบลา และในทางคณิตศาสตร์จะแสดงเป็น y = ax2 + bx + c

ฟังก์ชันคงที่คือฟังก์ชันที่ จำนวนจริงเดียวเป็นตัวกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนและโคโดเมน. กล่าวคือ ไม่มีการแปรผันที่แท้จริงตามค่าของทั้งคู่: โคโดเมนจะยึดตามค่าคงที่เสมอ และไม่มีตัวแปรโดเมนที่สามารถทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงได้ อย่างง่าย y = k

• คุณอาจสนใจ: "Dyscalculia: ความยากลำบากในการเรียนรู้คณิตศาสตร์"

1.4. ฟังก์ชันตรรกยะ

ฟังก์ชันตรรกยะเรียกว่าชุดของฟังก์ชันซึ่งค่าของฟังก์ชันถูกสร้างขึ้นจากผลหารระหว่างพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์ ในฟังก์ชันเหล่านี้ โดเมนจะรวมตัวเลขทั้งหมด ยกเว้นตัวเลขที่ยกเลิกตัวส่วนของการหาร ซึ่งจะไม่อนุญาตให้ได้รับค่า y

ในฟังก์ชันประเภทนี้ ขีดจำกัดที่เรียกว่าเส้นกำกับจะปรากฏขึ้นซึ่งจะเป็นค่าเหล่านั้นอย่างแม่นยำซึ่งจะไม่มีโดเมนหรือค่าโคโดเมน (นั่นคือเมื่อ y หรือ x เท่ากับ 0) ในขีดจำกัดเหล่านี้ การแสดงภาพกราฟิกมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด โดยไม่เคยแตะขีดจำกัดดังกล่าว ตัวอย่างของฟังก์ชันประเภทนี้: y = √ ax

1.5. ฟังก์ชันไม่ลงตัวหรือรุนแรง or

ฟังก์ชันอตรรกยะเรียกว่าเซตของฟังก์ชันที่ฟังก์ชันตรรกยะปรากฏขึ้น แนะนำภายในรากศัพท์หรือราก (ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นกำลังสองเนื่องจากอาจเป็นลูกบาศก์หรืออีกอันหนึ่ง เลขชี้กำลัง)

ที่จะแก้ได้ ควรคำนึงว่าการมีอยู่ของรูทนี้กำหนดข้อจำกัดบางอย่างกับเราเช่นความจริงที่ว่าค่าของ x จะต้องทำให้ผลลัพธ์ของรูทเป็นบวกและมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

1.6. ฟังก์ชันที่กำหนดเป็นชิ้นๆ

ประเภทของฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันที่ค่าของและเปลี่ยนแปลงพฤติกรรมของฟังก์ชัน มีสองช่วงที่มีพฤติกรรมที่แตกต่างกันมากตามค่าของโดเมน จะมีค่าที่จะไม่เป็นส่วนหนึ่งของมัน ซึ่งจะเป็นค่าที่พฤติกรรมของฟังก์ชันแตกต่างออกไป

2. ฟังก์ชั่นเหนือธรรมชาติ

ฟังก์ชันเหนือธรรมชาติเรียกว่าการแทนค่าทางคณิตศาสตร์ของความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่ไม่สามารถหาได้จากการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต จำเป็นต้องดำเนินการตามขั้นตอนการคำนวณที่ซับซ้อนเพื่อให้ได้มาซึ่งความสัมพันธ์. ส่วนใหญ่รวมถึงฟังก์ชันที่ต้องการใช้อนุพันธ์ ปริพันธ์ ลอการิทึม หรือประเภทการเติบโตที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างต่อเนื่อง

2.1. ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ตามชื่อของมัน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือชุดของฟังก์ชันที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนและ โคโดเมนซึ่งสร้างความสัมพันธ์แบบเติบโตในระดับเลขชี้กำลัง กล่าวคือ มีการเติบโตเพิ่มขึ้น เร่ง ค่าของ x เป็นเลขชี้กำลัง นั่นคือวิธีที่ ค่าของฟังก์ชันจะแปรผันและเพิ่มขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป. ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด: y = ax

2.2. ฟังก์ชันลอการิทึม

ลอการิทึมของจำนวนใด ๆ คือเลขชี้กำลังซึ่งจำเป็นต้องยกฐานที่ใช้เพื่อให้ได้ตัวเลขที่เป็นรูปธรรม ดังนั้น ฟังก์ชันลอการิทึมคือฟังก์ชันที่เราใช้ตัวเลขที่จะได้รับโดยมีฐานเฉพาะเป็นโดเมน เป็นกรณีตรงข้ามและผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง.

ค่าของ x ต้องมากกว่าศูนย์และแตกต่างจาก 1 เสมอ (เนื่องจากลอการิทึมใดๆ ที่มีฐาน 1 เท่ากับศูนย์) การเติบโตของฟังก์ชันจะน้อยลงเรื่อยๆ เมื่อค่าของ x เพิ่มขึ้น ในกรณีนี้ y = loga x

2.3. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ประเภทของฟังก์ชันที่สร้างความสัมพันธ์เชิงตัวเลขระหว่างองค์ประกอบต่างๆ ที่ประกอบเป็น สามเหลี่ยมหรือรูปทรงเรขาคณิต และโดยเฉพาะความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่างมุมของ รูป. ภายในฟังก์ชันเหล่านี้ เราจะพบการคำนวณของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ ซีแคนต์ โคแทนเจนต์ และโคซีแคนต์ที่ค่า x ที่กำหนด

การจำแนกประเภทอื่นๆ

ชุดของประเภทของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้พิจารณาว่าสำหรับแต่ละค่าของ โดเมนสอดคล้องกับค่าเดียวของโคโดเมน (นั่นคือ แต่ละค่าของ x จะทำให้เกิดค่าเฉพาะของ ย) อย่างไรก็ตาม แม้ว่าความจริงข้อนี้มักจะถือว่าเป็นพื้นฐานและเป็นพื้นฐาน แต่ความจริงก็คือมันเป็นไปได้ที่จะพบบางสิ่ง ประเภทของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่อาจมีความแตกต่างกันในแง่ของความสอดคล้องระหว่าง x และ y. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถค้นหาฟังก์ชันประเภทต่อไปนี้ได้

1. ฟังก์ชั่นการฉีด In

ฟังก์ชันการฉีดเรียกว่าความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ประเภทนั้นระหว่างโดเมนและโคโดเมนซึ่งแต่ละค่าของโคโดเมนเชื่อมโยงกับค่าโดเมนเดียวเท่านั้น นั่นคือ x จะสามารถมีค่าได้เพียงค่าเดียวสำหรับค่า y ที่กำหนด หรืออาจไม่มีค่า (นั่นคือ ค่าเฉพาะของ x อาจไม่มีความสัมพันธ์กับ y)

2. ฟังก์ชั่น Surjective

ฟังก์ชั่น Surjective คือสิ่งที่ แต่ละองค์ประกอบหรือค่าของโคโดเมน (y) แต่ละตัวเกี่ยวข้องกับโดเมน (x) อย่างน้อยหนึ่งโดเมนแม้ว่ามันอาจจะมากกว่านั้น ไม่จำเป็นต้องเป็นแบบฉีด (เนื่องจากค่า x หลายค่าสามารถเชื่อมโยงกับ y เดียวกันได้)

3. ฟังก์ชั่น bijective

มันถูกเรียกว่าเป็นประเภทของฟังก์ชันที่มีทั้งคุณสมบัติแบบอินเจกทีฟและเซอร์เจกทีฟเกิดขึ้น กล่าวคือ มีค่าเฉพาะของ x สำหรับแต่ละ yและค่าทั้งหมดในโดเมนจะสอดคล้องกับค่าหนึ่งในโคโดเมน

4. ฟังก์ชันที่ไม่ใช่แบบฉีดและแบบไม่ใช้ส่วนเสริม

ฟังก์ชันประเภทนี้ระบุว่ามีค่าโดเมนหลายค่าสำหรับโคโดเมนเฉพาะ (เช่น ค่าต่างๆ ของ x จะให้ค่า y เท่ากัน) และค่าอื่นๆ ของ y จะไม่เชื่อมโยงกับค่าใดๆ ค่าของ x

การอ้างอิงบรรณานุกรม:

• อีฟส์, เอช. (1990). รากฐานและแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 3) โดเวอร์
• ฮาเซวิงเคิล, เอ็ม. เอ็ด (2000). สารานุกรมคณิตศาสตร์. สำนักพิมพ์ทางวิชาการของ Kluwer