เทคนิคการนับ: ชนิด วิธีใช้ และตัวอย่าง

โลกของคณิตศาสตร์ที่น่าหลงใหลก็ซับซ้อนเช่นกันแต่บางทีต้องขอบคุณความซับซ้อนของมัน เราจึงสามารถรับมือกับวันต่อวันได้อย่างมีประสิทธิภาพและประสิทธิผลมากขึ้น

เทคนิคการนับเป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ช่วยให้เราทราบจำนวนชุดค่าผสมหรือตัวเลือกที่แตกต่างกันขององค์ประกอบภายในกลุ่มวัตถุเดียวกัน

• บทความแนะนำ: "Psychometrics: มันคืออะไรและรับผิดชอบอะไร"

เทคนิคเหล่านี้ทำให้สามารถเร่งความเร็วได้อย่างมีนัยสำคัญโดยรู้ว่ามีหลายวิธีในการสร้างลำดับหรือการรวมกันของวัตถุโดยไม่สูญเสียความอดทนหรือมีสติ เรามาดูกันดีกว่าว่ามันคืออะไรและใช้อะไรมากที่สุด

เทคนิคการนับ: มันคืออะไร?

เทคนิคการนับเป็นกลยุทธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในความน่าจะเป็นและสถิติที่ช่วยให้พิจารณา จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้จากการรวมกันภายในชุดหรือชุดของ วัตถุ เทคนิคประเภทนี้จะใช้เมื่อเป็นไปไม่ได้จริงหรือหนักเกินไปที่จะสร้างองค์ประกอบต่าง ๆ ด้วยตนเองและรู้ว่าเป็นไปได้กี่องค์ประกอบ

แนวคิดนี้จะเข้าใจได้ง่ายขึ้นผ่านตัวอย่าง. ถ้าคุณมีเก้าอี้สี่ตัว สีเหลืองหนึ่งตัว สีแดงหนึ่งตัว สีน้ำเงินหนึ่งตัว และสีเขียวหนึ่งตัว สามารถจัดวางเคียงข้างกันได้กี่ชุด

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ด้วยการทำด้วยตนเอง โดยคิดถึงการผสมผสาน เช่น น้ำเงิน แดง และเหลือง น้ำเงิน เหลือง และแดง แดง น้ำเงิน และเหลือง แดง เหลือง และน้ำเงิน... แต่สิ่งนี้อาจต้องใช้ความอดทนและเวลาเป็นอย่างมาก และสำหรับกรณีนี้ เราจะใช้เทคนิคการนับ สำหรับกรณีนี้จำเป็นต้องมีการเรียงสับเปลี่ยน

• คุณอาจสนใจอ่าน: "การแจกแจงแบบปกติ: มันคืออะไร ลักษณะและตัวอย่างในสถิติ"

เทคนิคการนับห้าประเภท

เทคนิคการนับหลักคือห้าต่อไปนี้แม้ว่าจะไม่ใช่อันเดียว แต่ละอันก็มีลักษณะเฉพาะของตัวเอง และใช้ตามความต้องการเพื่อให้ทราบว่าชุดของอ็อบเจกต์เป็นไปได้กี่ชุด

อันที่จริง เทคนิคประเภทนี้สามารถแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม ขึ้นอยู่กับความซับซ้อน เทคนิคหนึ่งประกอบด้วย หลักการคูณและหลักการบวกและอื่น ๆ ซึ่งประกอบด้วยชุดค่าผสมและ พีชคณิต

1. หลักการคูณ

เทคนิคการนับประเภทนี้ร่วมกับหลักการบวกช่วยให้เข้าใจวิธีทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ได้ง่ายและใช้งานได้จริง

ถ้าเหตุการณ์หนึ่งเรียกว่า N1 สามารถเกิดขึ้นได้หลายวิธี และอีกเหตุการณ์หนึ่ง N2 สามารถเกิดขึ้นได้หลายวิธี เหตุการณ์ร่วมกันสามารถเกิดขึ้นได้ในรูปแบบ N1 x N2

หลักการนี้ใช้เมื่อการกระทำเป็นลำดับ กล่าวคือ ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างมีระเบียบ เช่น การสร้างบ้าน การเลือกท่าเต้นในดิสโก้ หรือลำดับที่จะปฏิบัติตามเพื่อเตรียม พาย.

ตัวอย่างเช่น:

ในร้านอาหาร เมนูประกอบด้วยอาหารจานหลัก จานที่สอง และของหวาน สำหรับอาหารจานหลักมี 4 รายการ วินาทีคือ 5 และของหวานมี 3 รายการ

ดังนั้น N1 = 4; N2 = 5 และ N3 = 3

ดังนั้น ชุดค่าผสมที่เมนูนี้เสนอจะเป็น 4 x 5 x 3 = 60

2. หลักการเสริม

ในกรณีนี้ แทนที่จะคูณทางเลือกสำหรับแต่ละเหตุการณ์ สิ่งที่เกิดขึ้นคือการเพิ่มวิธีการต่างๆ ที่อาจเกิดขึ้นได้

ซึ่งหมายความว่าหากกิจกรรมแรกสามารถเกิดขึ้นได้ในวิธี M กิจกรรมที่สองใน N และ L ที่สาม ตามหลักการนี้จะเป็น M + N + L

ตัวอย่างเช่น:

เราต้องการซื้อช็อกโกแลตในซุปเปอร์มาร์เก็ตมีสามแบรนด์: A, B และ C

ช็อกโกแลต A จำหน่ายในสามรสชาติ ได้แก่ สีดำ นม และสีขาว นอกจากจะมีตัวเลือกให้แต่ละแบบไม่มีหรือใส่น้ำตาลแล้ว

ช็อคโกแลตบีมีจำหน่ายในสามรสชาติ สีดำ นมหรือสีขาว โดยมีตัวเลือกว่าจะใส่เฮเซลนัทหรือไม่ และจะใส่น้ำตาลหรือไม่ใส่ก็ได้

ช็อกโกแลตซีมีจำหน่าย 3 รสชาติ สีดำ นม และสีขาว โดยสามารถเลือกเฮเซลนัท ถั่วลิสง คาราเมลหรืออัลมอนด์ได้ แต่ใส่น้ำตาลทั้งหมด

จากสิ่งนี้ คำถามที่ต้องตอบคือ: สามารถซื้อช็อคโกแลตได้กี่ชนิด?

W = จำนวนวิธีเลือกช็อกโกแลต A

Y = จำนวนวิธีเลือกช็อกโกแลต B.

Z = จำนวนวิธีเลือกช็อกโกแลต C

ขั้นตอนต่อไปคือการคูณอย่างง่าย

ก = 3 x 2 = 6

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = ช็อกโกแลต 33 ชนิด

หากต้องการทราบว่าจะใช้หลักการคูณหรือบวก เบาะแสหลักคือกิจกรรมที่เป็นปัญหา is มีขั้นตอนต่างๆ ที่ต้องดำเนินการ เช่นเดียวกับในเมนู หรือมีหลายตัวเลือก เช่น ช็อกโกแลต

3. พีชคณิต

ก่อนที่จะเข้าใจวิธีการเรียงสับเปลี่ยน สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจความแตกต่างระหว่างการผสมผสานและการเรียงสับเปลี่ยน

การรวมกันคือการจัดเรียงองค์ประกอบที่ลำดับไม่สำคัญหรือไม่เปลี่ยนแปลงผลลัพธ์สุดท้าย

ในทางกลับกัน ในการเรียงสับเปลี่ยน จะมีการจัดองค์ประกอบหลายอย่างซึ่งเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องคำนึงถึงลำดับหรือตำแหน่งขององค์ประกอบเหล่านั้น

ในการเรียงสับเปลี่ยน มีองค์ประกอบที่แตกต่างกันจำนวน n รายการ และมีการเลือกองค์ประกอบจำนวนหนึ่ง ซึ่งจะเป็น r

สูตรที่จะใช้จะเป็นดังนี้: nPr = n! / (N-r)!

ตัวอย่างเช่น:

มีกลุ่ม 10 คนและมีที่นั่งที่สามารถรองรับได้ห้าคนนั่งได้กี่แบบ?

ต่อไปนี้จะทำ:

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30,240 วิธีที่แตกต่างกันในการครอบครองธนาคาร

4. พีชคณิตกับการทำซ้ำ

เมื่อคุณต้องการทราบจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนในชุดของออบเจ็กต์ ซึ่งบางส่วนจะเหมือนกัน คุณต้องดำเนินการดังนี้:

พิจารณาว่า n เป็นองค์ประกอบที่มีอยู่ บางส่วนซ้ำกัน

รายการทั้งหมด n ถูกเลือก

ใช้สูตรต่อไปนี้: = n! / N1! N2... nk!

ตัวอย่างเช่น:

บนเรือสามารถชักธงแดง 3 อัน เหลือง 2 อัน และเขียว 5 อันได้ คุณสามารถสร้างสัญญาณต่างๆ ได้กี่สัญญาณโดยการเพิ่มธง 10 อันที่คุณมี

10!/3!2!5! = 2,520 ชุดธงที่แตกต่างกัน

5. ชุดค่าผสม

ในการรวมกันซึ่งแตกต่างจากสิ่งที่เกิดขึ้นกับการเรียงสับเปลี่ยนลำดับขององค์ประกอบไม่สำคัญ

สูตรที่จะใช้มีดังต่อไปนี้: nCr = n! / (N-r)! R!

ตัวอย่างเช่น:

กลุ่ม 10 คนต้องการทำความสะอาดพื้นที่ใกล้เคียงและกำลังเตรียมจัดกลุ่มสมาชิกละ 2 คน ได้กี่กลุ่ม?

ในกรณีนี้ n = 10 และ r = 2 ดังนั้น การใช้สูตร:

10C2 = 10! / (10-2)! 2! = 180 คู่ที่แตกต่างกัน

การอ้างอิงบรรณานุกรม:

• บรูอัลดี, อาร์. ถึง. (2010), Introductory Combinatorics (ฉบับที่ 5), Pearson Prentice Hall
• โดย Finetti, B. (1970). "ฐานรากเชิงตรรกะและการวัดความน่าจะเป็นแบบอัตนัย". แอคตา ไซโคโลจิกา.
• ฮ็อก, อาร์. วี.; เครก, อัลเลน; แมคเคน, โจเซฟ ดับเบิลยู. (2004). สถิติเบื้องต้นทางคณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 6) แม่น้ำแซดเดิ้ลตอนบน: เพียร์สัน
• มาซูร์, ดี. ร. (2010), Combinatorics: A Guided Tour, สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา,
• ไรเซอร์, เอช. เจ (1963), คณิตศาสตร์เชิงผสมผสาน, The Carus Mathematical Monographs 14, สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา.