Прийоми підрахунку: типи, способи їх використання та приклади

Світ математики, настільки ж захоплюючий, теж складний, але, можливо, завдяки його складності ми можемо справлятися з повсякденністю більш ефективно та ефективно.

Прийоми підрахунку - це математичні методи, які дозволяють нам знати, скільки різних комбінацій або варіантів існує елементів у одній і тій самій групі об’єктів.

• Рекомендована стаття: "Психометрія: що це і за що вона відповідає?"

Ці методи дозволяють пришвидшити дуже суттєво, знаючи, скільки різних способів складати послідовності або комбінації предметів, не втрачаючи терпіння чи розуму. Давайте детальніше розглянемо, що вони собою являють і які найбільш використовуються.

Прийоми підрахунку: що це таке?

Прийоми підрахунку - це математичні стратегії, що використовуються у вірогідності та статистиці, що дозволяють визначити загальна кількість результатів, які можуть бути від створення комбінацій у наборі або наборах об'єктів. Ці типи методів використовуються, коли практично неможливо або занадто важко складати комбінації різних елементів вручну та знати, скільки з них можливо.

Це поняття буде легше зрозуміти на прикладі. Якщо у вас чотири стільці, один жовтий, один червоний, один синій та один зелений, скільки комбінацій з трьох з них можна розташувати поруч?

Цю проблему можна було б вирішити, роблячи це вручну, продумуючи такі комбінації, як синій, червоний та жовтий; синій, жовтий і червоний; червоний, синій і жовтий, червоний, жовтий і синій... Але для цього може знадобитися багато терпіння і часу, і для цього ми скористаємося методами підрахунку, для цього випадку необхідна перестановка.

• Можливо, вам буде цікаво прочитати: "Нормальний розподіл: що це таке, характеристики та приклади у статистиці"

П’ять видів техніки підрахунку

Основними прийомами підрахунку є наступні п’ять, хоча і не єдині, кожен зі своїми особливостями і використовується відповідно до вимог, щоб знати, скільки можливих комбінацій наборів об’єктів.

Насправді, цей тип методів можна розділити на дві групи, залежно від їх складності, з яких складається одна мультиплікативний принцип і адитивний принцип, а інший, що складається з комбінацій і перестановки.

1. Мультиплікативний принцип

Цей тип техніки підрахунку, разом із адитивним принципом, дозволяє легко і практично зрозуміти, як працюють ці математичні методи.

Якщо одна подія, назвемо її N1, може відбуватися кількома способами, а інша подія, N2, може відбуватися стільки ж, то події разом можуть відбуватися N1 x N2 способами.

Цей принцип використовується, коли дія є послідовною, тобто складається з подій, що відбуваються впорядковано, такі як будівництво будинку, вибір танцювальних сходинок на дискотеці або порядок, за яким буде дотримуватися підготовка пиріг.

Наприклад:

У ресторані меню складається з основної страви, другої та десерту. На основні страви у нас 4, на секунди - 5, а на десерти - 3.

Отже, N1 = 4; N2 = 5 і N3 = 3.

Таким чином, комбінації, пропоновані цим меню, становитимуть 4 х 5 х 3 = 60

2. Адитивний принцип

У цьому випадку замість множення альтернатив для кожної події відбувається те, що додаються різні способи, якими вони можуть відбуватися.

Це означає, що якщо перша активність може відбуватися M способами, друга N і третя L, то, відповідно до цього принципу, це буде M + N + L.

Наприклад:

Ми хочемо придбати шоколад, у супермаркеті є три марки: A, B і C.

Шоколад А продається у трьох ароматах: чорному, молочному та білому, крім того, що він пропонує варіант без цукру або з цукром для кожного з них.

Шоколад B продається у трьох смаках, чорному, молочному або білому, з можливістю наявності фундука чи ні, а також із цукром або без нього.

Шоколад С продається у трьох смаках, чорному, молочному та білому, з можливістю наявності фундука, арахісу, карамелі або мигдалю, але все з цукром.

Виходячи з цього, питання, на яке потрібно відповісти: скільки різних сортів шоколаду можна купити?

W = кількість способів вибору шоколаду А.

Y = кількість способів вибору шоколаду B.

Z = кількість способів вибору шоколаду C.

Наступним кроком є ​​просте множення.

Ш = 3 х 2 = 6.

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

Ш + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 різних сортів шоколаду.

Щоб знати, чи використовувати мультиплікативний чи адитивний принцип, головним ключем є те, чи йдеться про дану діяльність Він має виконати ряд кроків, як це було у випадку з меню, або існує кілька варіантів, як у випадку з шоколадом.

3. Перестановки

Перш ніж зрозуміти, як робити перестановки, важливо зрозуміти різницю між комбінацією та перестановкою.

Комбінація - це розташування елементів, порядок яких не важливий або не змінює кінцевий результат.

З іншого боку, при перестановці міститься розташування декількох елементів, в яких важливо враховувати їх порядок або положення.

У перестановках існує n кількості різних елементів, і вибрана їх кількість, яка буде r.

Формула, яка буде використана, буде такою: nPr = n! / (N-r)!

Наприклад:

Є група з 10 людей, і є місце, яке вміщує лише п’ять осіб, скільки можливо сісти?

Було б зроблено наступне:

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30 240 різних способів зайняти банк.

4. Перестановки з повторенням

Коли ви хочете дізнатися кількість перестановок у наборі об’єктів, деякі з яких однакові, ви вживаєте наступне:

Беручи до уваги, що n є доступними елементами, деякі з них повторюються.

Вибрано всі елементи n.

Застосовується така формула: = n! / N1! N2... nk!

Наприклад:

На човні можна підняти 3 червоних, 2 жовтих та 5 зелених прапорів. Скільки різних сигналів можна подати, піднявши 10 прапорів у вас?

10!/3!2!5! = 2520 різних комбінацій прапорів.

5. Комбінації

У комбінаціях, на відміну від того, що сталося з перестановками, порядок елементів не важливий.

Формула, яку слід застосувати, така: nCr = n! / (N-r)! R!

Наприклад:

Група з 10 людей хоче прибрати околиці і готується створити групи по 2 члена в кожній. Скільки груп можливо?

У цьому випадку n = 10 і r = 2, таким чином, застосовуючи формулу:

10C2 = 10! / (10-2)! 2! = 180 різних пар.

Бібліографічні посилання:

• Бруальді, Р. ДО. (2010), Вступна комбінаторика (5-е видання), Пірсон Прентис Холл.
• Фінетті, Б. (1970). "Логічні основи та вимірювання суб'єктивної ймовірності". Acta Psychologica.
• Хогг, Р. V.; Крейг, Аллен; МакКін, Джозеф В. (2004). Вступ до математичної статистики (6-е видання). Річка Верхня Седловина: Пірсон.
• Мазур, Д. Р. (2010), Комбінаторика: Екскурсія, Математична асоціація Америки,
• Ryser, H. Дж. (1963), Комбінаторна математика, Математичні монографії Каруса 14, Математична асоціація Америки.