مفارقة عيد الميلاد: ما هي وكيف تشرحها

دعنا نتخيل أننا مع مجموعة من الناس ، على سبيل المثال ، في لقاء عائلي ، أو لم شمل الفصل الأساسي ، أو مجرد تناول مشروب في حانة. لنفترض أن هناك حوالي 25 شخصًا.

بين الضوضاء والمحادثات السطحية ، انفصلنا قليلاً وبدأنا نفكر فينا الأشياء وفجأة نسأل أنفسنا: ما هو احتمال أن يكون لدى شخصين أعياد ميلاد من بين هؤلاء الأشخاص نفس اليوم؟

مفارقة عيد الميلاد حقيقة رياضية، على عكس غريزتنا ، التي ترى أن هناك حاجة إلى عدد قليل جدًا من الأشخاص ليكون هناك احتمال شبه عشوائي أن يكون اثنان منهم في نفس عيد الميلاد. دعونا نحاول فهم هذا التناقض الغريب بشكل أكثر شمولاً.

• مقالات لها صلة: "الذكاء المنطقي الرياضي: ما هو وكيف يمكننا تحسينه؟"

مفارقة عيد الميلاد

مفارقة عيد الميلاد هي حقيقة رياضية تثبت أنه في مجموعة من 23 شخصًا فقط هناك احتمال قريب من الصدفة ، وتحديداً 50.7٪ ، أن اثنين على الأقل من هؤلاء الأشخاص لهما نفس تاريخ الميلاد. تعود شعبية هذا البيان الرياضي إلى الحقيقة المدهشة المتمثلة في أن القليل منها ضروري. الناس لديهم فرصة أكيدة بأن لديهم مباريات في شيء متنوع مثل عيد ميلاد.

على الرغم من أن هذه الحقيقة الرياضية تسمى مفارقة ، إلا أنها ليست كذلك بالمعنى الدقيق للكلمة.

إنها بالأحرى مفارقة بقدر ما اتضح أنها مثيرة للفضول، لأنه يتعارض تمامًا مع الفطرة السليمة. عندما يُسأل شخص ما عن عدد الأشخاص الذين يعتقدون أنهم يحتاجون إلى أعياد ميلادهما في نفس اليوم ، يميل الناس بشكل حدسي إلى إعطاء 183 ، أي نصف 365.

الفكرة وراء هذه القيمة هي أنه بتخفيض عدد الأيام في السنة العادية إلى النصف ، يتم الحصول على الحد الأدنى الضروري لوجود احتمال قريب من 50٪.

لكن، ليس من المستغرب أن يتم إعطاء مثل هذه القيم العالية عند محاولة الإجابة على هذا السؤال، لأن الناس غالبًا ما يسيئون فهم المشكلة. لا تشير مفارقة عيد الميلاد إلى الاحتمالات بأن شخصًا معينًا لديه عيد ميلاد فيما يتعلق به شخص آخر في المجموعة ، ولكن ، كما علقنا ، فرص أن يكون لأي شخصين في المجموعة نفس عيد الميلاد يوم.

التفسير الرياضي للظاهرة

لفهم هذه الحقيقة الرياضية المدهشة ، فإن أول شيء يجب فعله هو أن تضع في اعتبارك أن هناك العديد من الاحتمالات للعثور على أزواج لديهم نفس عيد الميلاد.

للوهلة الأولى ، قد يعتقد المرء أن 23 يومًا ، أي عيد الميلاد الثالث والعشرين لأعضاء الفرقة ، هو جزء صغير جدًا من العدد المحتمل للأيام المميزة، 365 يومًا في السنة غير الكبيسة ، أو 366 في السنوات الكبيسة ، كما لو كنت تتوقع التكرار. هذا التفكير دقيق بالفعل ، ولكن فقط إذا توقعنا تكراره في يوم معين. وهذا يعني ، وكما سبق أن علقنا ، سنحتاج إلى جمع الكثير من الأشخاص حتى يكون هناك احتمال آخر أو أقل ما يقرب من 50 ٪ من أحد أعضاء المجموعة يحتفل بعيد ميلاده مع أنفسنا ، لوضع مثال.

ومع ذلك ، في مفارقة عيد الميلاد تنشأ أي تكرارات. أي كم عدد الأشخاص المطلوبين ليحتفل اثنان من هؤلاء الأشخاص بعيد ميلادهم في نفس اليوم ، سواء كان ذلك الشخص أو أي يوم. لفهمها وإظهارها رياضيا ، بعد ذلك سنرى بمزيد من العمق الإجراء وراء المفارقة.

• قد تكون مهتمًا بـ: "12 من الفضول حول العقل البشري"

إمكانية تطابق ممكن

لنتخيل أن لدينا شخصين فقط في الغرفة. يمكن لهذين الشخصين ، C1 و C2 ، تكوين زوجين فقط (C1 = C2) ، مع وجود زوجين واحد فقط يمكن أن يحدث فيهما عيد ميلاد متكرر. إما أن يكون لديهم أعياد ميلادهم في نفس اليوم ، أو ليس لديهم نفس تاريخ الميلاد ، فلا توجد بدائل أخرى..

لتوضيح هذه الحقيقة رياضيًا ، لدينا الصيغة التالية:

(عدد الأشخاص × التوليفات الممكنة) / 2 = احتمالات المصادفة المحتملة.

في هذه الحالة ، سيكون هذا:

(2 × 1) / 2 = فرصة واحدة للمطابقة المحتملة

ماذا يحدث إذا كان هناك ثلاثة بدلاً من شخصين؟ فرص المباراة تصل إلى ثلاثةبفضل حقيقة أنه يمكن تشكيل ثلاثة أزواج بين هؤلاء الأشخاص الثلاثة (Cl = C2 ؛ Cl = C3 ؛ C2 = C3). يمثلنا رياضيا:

(3 أشخاص × 2 مجموعات محتملة) / 2 = 3 فرص لمطابقة محتملة

مع أربعة ، هناك ستة احتمالات تتزامن بينهم:

(4 أشخاص × 3 مجموعات ممكنة) / 2 = 6 فرص لمطابقة محتملة

إذا وصلنا إلى عشرة أشخاص ، فلدينا العديد من الاحتمالات:

(10 أشخاص × 9 مجموعات ممكنة) / 2 = 45

مع 23 شخصًا يوجد (23 × 22) / 2 = 253 زوجًا مختلفًا، كل واحد منهم مرشح لعضويهم ليحصلوا على أعياد ميلاد في نفس اليوم ، ويعطون أنفسهم مفارقة عيد الميلاد ولديهم المزيد من الاحتمالات لصدفة عيد ميلاد.

تقدير الاحتمال

سنقوم بحساب ما هو احتمال أن مجموعة بحجم n من الناس اثنين منهممهما يكن عيد ميلادهم في نفس اليوم. بالنسبة لهذه الحالة المحددة ، سوف نتجاهل السنوات الكبيسة والتوائم ، بافتراض وجود 365 عيد ميلاد لها نفس الاحتمال.

باستخدام قاعدة لابلاس والتوافقيات

أولاً ، علينا حساب احتمال اختلاف أعياد ميلاد n من الأشخاص. أي أننا نحسب الاحتمال عكس ما ورد في مفارقة عيد الميلاد. لهذا، يجب أن نأخذ في الاعتبار حدثين محتملين عند النظر في الحسابات.

الحدث أ = {يحتفل شخصان بأعياد ميلادهما في نفس اليوم} مكمل للحدث أ: أ ^ ج = {شخصان لا يحتفلان بعيد ميلادهما في نفس اليوم}

لنأخذ كحالة معينة مجموعة مكونة من خمسة أشخاص (ن = 5)

لحساب عدد الحالات المحتملة ، نستخدم الصيغة التالية:

أيام السنة ^ ن

مع الأخذ في الاعتبار أن السنة العادية بها 365 يومًا ، فإن عدد الحالات المحتملة للاحتفال بعيد الميلاد هو:

365^5 = 6,478 × 10^12

ربما يكون أول الأشخاص الذين نختارهم قد ولد ، كما هو منطقي في التفكير ، في أي من 365 يومًا في السنة. قد يكون الطفل التالي قد ولد في أحد الأيام الـ 364 المتبقية، وربما ولد اليوم التالي في أحد الأيام الـ 363 المتبقية ، وهكذا.

من هذا يتبع الحساب التالي: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6303 × 10 ^ 12 ، مما يعطي النتيجة هي عدد الحالات التي لا يوجد فيها شخصان في تلك المجموعة المكونة من 5 أشخاص ولدوا نفس الشيء يوم.

بتطبيق قاعدة لابلاس ، سنحسب:

P (A ^ c) = الحالات المواتية / الحالات المحتملة = 6.303 / 6.478 = 0.973

هذا يعني ذاك تبلغ فرص عدم وجود أعياد ميلاد لشخصين في المجموعة المكونة من 5 أشخاص في نفس اليوم 97.3٪. باستخدام هذه البيانات ، يمكننا الحصول على إمكانية احتفال شخصين بعيد ميلادهما في نفس اليوم ، والحصول على القيمة التكميلية.

ص (أ) = 1 - ف (أ ^ ج) = 1 - 0.973 = 0.027

وبالتالي ، يُستخلص من هذا أن احتمالية أن يكون عيد ميلاد اثنين منهم في نفس اليوم في مجموعة مكونة من خمسة أشخاص هو 2.7٪ فقط.

فهم هذا ، يمكننا تغيير حجم العينة. يمكن الحصول على احتمال أن يكون شخصان على الأقل في مجموعة من n شخصًا لهما نفس تاريخ الميلاد باستخدام الصيغة التالية:

1- (365 × 364 × 363 ×... (365-ن + 1)) / 365 ^ ن)

في الحالة n هي 23 ، فإن احتمال أن يحتفل اثنان على الأقل من هؤلاء الأشخاص بسنوات في نفس اليوم هو 0.51.

سبب شهرة هذا الحجم المحدد للعينة هو أنه مع n = 23 هناك احتمال متساوٍ أن يحتفل شخصان على الأقل بعيد الميلاد في نفس اليوم.

إذا زدنا إلى قيم أخرى ، على سبيل المثال 30 أو 50 ، لدينا احتمالات أعلى تبلغ 0.71 و 0.97 على التوالي ، أو ما هو نفسه ، 71٪ و 97٪. مع n = 70 ، نضمن تقريبًا أن يتزامن اثنان منهم في عيد ميلادهم ، مع احتمال 0.99916 أو 99.9٪

استخدام قاعدة لابلاس وقاعدة الضرب

هناك طريقة أخرى ليست بعيدة المنال لفهم المشكلة وهي طرحها على النحو التالي.

لنتخيل أن 23 شخصًا موجودون معًا في غرفة ونريد حساب فرص عدم مشاركتهم أعياد الميلاد.

افترض أن هناك شخصًا واحدًا فقط في الغرفة. من الواضح أن فرص حصول كل فرد في الغرفة على أعياد ميلاد مختلفة هي 100٪ ، أي الاحتمال 1. في الأساس ، هذا الشخص بمفرده ، وبما أنه لا يوجد أي شخص آخر ، فإن عيد ميلاده لا يتزامن مع عيد ميلاد أي شخص آخر.

الآن يدخل شخص آخر ، وبالتالي هناك شخصان في الغرفة. احتمالات أن يكون لها عيد ميلاد مختلف عن الشخص الأول هي 364/365، هذا هو 0.9973 أو 99.73٪.

أدخل الثالث. احتمال أن يكون لها عيد ميلاد مختلف عن الشخصين الآخرين اللذين سجلا قبلها هو 363/365. احتمالات أن يكون للثلاثة أعياد ميلاد مختلفة هي 364/365 ضرب 363/365 ، أو 0.9918.

لذا ، فإن الخيارات لـ 23 شخصًا لديهم أعياد ميلاد مختلفة هي 364/365 × 363/365 × 362/365 × 361/365 ×... × 343/365 ، مما أدى إلى 0.493.

بعبارة أخرى ، هناك احتمال بنسبة 49.3٪ ألا يكون لدى أي من الحاضرين عيد ميلاد في نفس اليوم ، وبالتالي العكس ، بحساب مكمل تلك النسبة المئوية لدينا أن هناك فرصة بنسبة 50.7٪ أن يتشارك اثنان منهم على الأقل عيد ميلاد

على عكس مفارقة عيد الميلاد ، احتمالية أن يكون أي شخص في غرفة من n شخص عيد ميلاد في نفس يوم شخص معين ، على سبيل المثال ، أنفسنا في حال كنا هناك ، تعطى بالصيغة التالية.

1- (364/365) ^ ن

مع n = 23 فإنه يعطي احتمال 0.061 (6٪) ، مما يتطلب على الأقل n = 253 لإعطاء قيمة قريبة من 0.5 أو 50٪.

التناقض في الواقع

هناك العديد من المواقف التي يمكننا أن نرى فيها أن هذه المفارقة قد تحققت. هنا سوف نضع حالتين حقيقيتين.

الأول هو ملك ملوك إسبانيا. بدءًا من عهد ملوك قشتالة وأراغون الكاثوليك حتى عهد فيليب السادس ملك إسبانيا ، لدينا 20 ملكًا شرعيًا. من بين هؤلاء الملوك ، نجد ، بشكل مفاجئ ، زوجين يتزامنان في أعياد الميلاد: كارلوس الثاني مع كارلوس الرابع (11 نوفمبر) وخوسيه الأول مع خوان كارلوس الأول (5 يناير). احتمال وجود زوج واحد فقط من الملوك بنفس تاريخ الميلاد ، مع الأخذ في الاعتبار أن n = 20 ، هو

حالة حقيقية أخرى هي نهائي Eurovision لعام 2019. في نهاية ذلك العام ، الذي عقد في تل أبيب ، إسرائيل ، شاركت 26 دولة ، 24 منها أرسلوا إما مطربين منفردين أو مجموعات حيث أخذت شخصية المغني دورًا خاصًا. من بينهم ، صادف مغنيان عيد ميلاد: ممثل إسرائيل ، كوبي ماريمي والممثل السويسري ، لوكا هانّي ، يحتفلان بعيد ميلادهما في 8 أكتوبر.

المراجع الببليوجرافية:

• أبرامسون ، م. موسر ، و. أيضاً. ج. (1970). "المزيد من مفاجآت عيد الميلاد". الرياضيات الأمريكية الشهرية. 77 (8): 856–858. دوى: 10.2307 / 2317022
• بلوم ، د. (1973). "مشكلة عيد ميلاد". الرياضيات الأمريكية الشهرية. 80 (10): 1141–1142. دوى: 10.2307 / 2318556
• كلامكين ، م. نيومان ، د. (1967). "تمديدات مفاجأة عيد الميلاد". مجلة نظرية الاندماج. 3 (3): 279–282. دوى: 10.1016 / s0021-9800 (67) 80075-9