تقنيات العد: الأنواع وكيفية استخدامها والأمثلة

عالم الرياضيات ، كما هو رائع ، معقد أيضًا، ولكن ربما بفضل تعقيدها يمكننا التعامل مع الأمور اليومية بشكل أكثر فعالية وكفاءة.

تقنيات العد هي طرق رياضية تسمح لنا بمعرفة عدد المجموعات أو الخيارات المختلفة الموجودة للعناصر داخل نفس مجموعة الكائنات.

• مقال موصى به: "القياسات النفسية: ما هي وما هي مسؤوليتها؟"

هذه التقنيات تجعل من الممكن الإسراع بطريقة مهمة للغاية لمعرفة عدد الطرق المختلفة الموجودة لعمل تسلسلات أو مجموعات من الأشياء ، دون فقدان الصبر أو العقل. دعنا نلقي نظرة فاحصة على ماهيتها وأيها الأكثر استخدامًا.

تقنيات العد: ما هي؟

تقنيات العد هي استراتيجيات رياضية تستخدم في الاحتمالات والإحصاءات التي تسمح بتحديد العدد الإجمالي للنتائج التي يمكن أن تكون من تكوين مجموعات داخل مجموعة أو مجموعات من شاء. تُستخدم هذه الأنواع من التقنيات عندما يكون من المستحيل عمليًا أو ثقيلًا جدًا تكوين مجموعات من العناصر المختلفة يدويًا ومعرفة عدد هذه العناصر الممكنة.

سيتم فهم هذا المفهوم بسهولة أكبر من خلال مثال. إذا كان لديك أربعة كراسي ، واحد أصفر ، وواحد أحمر ، وواحد أزرق ، وواحد أخضر ، فكم عدد التركيبات الثلاثة التي يمكن ترتيبها جنبًا إلى جنب؟

يمكن حل هذه المشكلة عن طريق القيام بذلك يدويًا ، والتفكير في مجموعات مثل الأزرق والأحمر والأصفر ؛ الأزرق والأصفر والأحمر. الأحمر والأزرق والأصفر والأحمر والأصفر والأزرق... لكن هذا قد يتطلب الكثير من الصبر والوقت ، ولهذا نستخدم تقنيات العد ، في هذه الحالة يكون التقليب ضروريًا.

• قد تكون مهتمًا بقراءة: "التوزيع الطبيعي: ماهيته ، خصائصه وأمثلة في الإحصاء"

الأنواع الخمسة لتقنيات العد

تقنيات العد الرئيسية هي الخمسة التالية، على الرغم من أنها ليست الوحيدة ، فلكل منها خصائصها الخاصة وتستخدم وفقًا للمتطلبات لمعرفة عدد مجموعات مجموعات الكائنات الممكنة.

في الواقع ، يمكن تقسيم هذا النوع من التقنيات إلى مجموعتين ، اعتمادًا على مدى تعقيدها ، واحدة تتكون من مبدأ الضرب ومبدأ الجمع ، والآخر ، يتكون من مجموعات و التباديل.

1. مبدأ الضرب

يتيح هذا النوع من تقنيات العد ، جنبًا إلى جنب مع مبدأ الجمع ، فهمًا سهلًا وعمليًا لكيفية عمل هذه الأساليب الرياضية.

إذا كان من الممكن حدوث حدث ما ، دعنا نطلق عليه N1 ، بعدة طرق ، ويمكن أن يحدث حدث آخر ، N2 ، بعدة طرق ، فيمكن أن تحدث الأحداث معًا بطرق N1 x N2.

يستخدم هذا المبدأ عندما يكون الإجراء متسلسلًا ، أي أنه يتكون من أحداث تحدث بطريقة منظمة ، مثل بناء منزل ، واختيار خطوات الرقص في الديسكو أو الترتيب الذي سيتم اتباعه لإعداد فطيرة.

على سبيل المثال:

في المطعم ، تتكون القائمة من طبق رئيسي وثاني وحلوى. بالنسبة للأطباق الرئيسية لدينا 4 ، وللثواني 5 وللحلويات هناك 3.

لذلك ، N1 = 4 ؛ N2 = 5 و N3 = 3.

وبالتالي ، فإن المجموعات التي تقدمها هذه القائمة ستكون 4 × 5 × 3 = 60

2. مبدأ مضافة

في هذه الحالة ، بدلاً من مضاعفة البدائل لكل حدث ، ما يحدث هو إضافة الطرق المختلفة التي يمكن أن تحدث بها.

هذا يعني أنه إذا كان من الممكن حدوث النشاط الأول بطرق M ، والثاني في N والثالث L ، فوفقًا لهذا المبدأ ، سيكون M + N + L.

على سبيل المثال:

نريد شراء الشوكولاتة ، هناك ثلاث علامات تجارية في السوبر ماركت: A و B و C.

تُباع الشوكولاتة أ بثلاث نكهات: الأسود والحليب والأبيض ، بالإضافة إلى وجود الخيار بدون أو مع السكر لكل منها.

تُباع الشوكولاتة B بثلاث نكهات ، أسود ، حليب أو أبيض ، مع خيار تناول البندق أم لا ، مع أو بدون سكر.

تُباع الشوكولاتة C بثلاث نكهات ، الأسود والحليب والأبيض ، مع خيار تناول البندق أو الفول السوداني أو الكراميل أو اللوز ، ولكن جميعها مع السكر.

بناءً على ذلك ، فإن السؤال الذي يجب الإجابة عليه هو: كم عدد أنواع الشوكولاتة المختلفة التي يمكن شراؤها؟

W = عدد الطرق لاختيار الشوكولاتة أ.

ص = عدد طرق اختيار الشوكولاتة ب.

Z = عدد الطرق لاختيار الشوكولاتة ج.

الخطوة التالية هي الضرب البسيط.

ع = 3 × 2 = 6.

ص = 3 × 2 × 2 = 12.

ع = 3 × 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 نوعًا مختلفًا من الشوكولاتة.

لمعرفة ما إذا كان يجب استخدام مبدأ المضاعف أو المضاف ، فإن الدليل الرئيسي هو ما إذا كان النشاط المعني لديها سلسلة من الخطوات التي يجب القيام بها كما كان الحال مع القائمة ، أو هناك عدة خيارات مثل الشوكولاتة.

3. التباديل

قبل فهم كيفية إجراء التباديل ، من المهم فهم الفرق بين الدمج والتبديل.

التركيبة هي ترتيب العناصر التي يكون ترتيبها غير مهم أو لا يغير النتيجة النهائية.

من ناحية أخرى ، في التبديل ، سيكون هناك ترتيب لعدة عناصر يكون من المهم فيها مراعاة ترتيبها أو موقعها.

في التباديل ، يوجد عدد n من العناصر المختلفة ويتم تحديد عدد منها ، والذي سيكون r.

الصيغة التي سيتم استخدامها ستكون كالتالي: nPr = n! / (N-r)!

على سبيل المثال:

هناك مجموعة من 10 أشخاص ويوجد مقعد يتسع لخمسة أشخاص فقط ، كم عدد طرق جلوسهم؟

سيتم القيام بما يلي:

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30،240 طريقة مختلفة لاحتلال البنك.

4. التباديل مع التكرار

عندما تريد معرفة عدد التباديل في مجموعة من الكائنات ، بعضها متماثل ، يمكنك المتابعة على النحو التالي:

مع الأخذ بعين الاعتبار أن n هي العناصر المتاحة وبعضها مكرر.

تم تحديد كافة العناصر ن.

تنطبق الصيغة التالية: = n! / N1! N2... nk!

على سبيل المثال:

على القارب ، يمكن رفع 3 أعلام حمراء و 2 صفراء و 5 أعلام خضراء. كم عدد الإشارات المختلفة التي يمكن إجراؤها برفع الأعلام العشرة التي لديك؟

10!/3!2!5! = 2520 مجموعة علم مختلفة.

5. مجموعات

في التركيبات ، على عكس ما حدث مع التباديل ، فإن ترتيب العناصر ليس مهمًا.

الصيغة التي سيتم تطبيقها هي التالية: nCr = n! / (N-r)! R!

على سبيل المثال:

مجموعة من 10 أشخاص يريدون تنظيف الحي ويستعدون لتشكيل مجموعات من عضوين في كل مجموعة كم عدد المجموعات الممكنة؟

في هذه الحالة ، n = 10 و r = 2 ، وبالتالي ، تطبيق الصيغة:

10C2 = 10! / (10-2)! 2! = 180 زوجًا مختلفًا.

المراجع الببليوغرافية:

• بروالدي ، ر. ل. (2010) ، التوليفات التمهيدية (الطبعة الخامسة) ، بيرسون برنتيس هول.
• بواسطة Finetti ، B. (1970). "الأسس المنطقية وقياس الاحتمال الذاتي". اكتا سيكولوجيكا.
• هوغ ، ر. الخامس .؛ كريج ، ألين ؛ ماكين ، جوزيف و. (2004). مقدمة في الإحصاء الرياضي (الطبعة السادسة). نهر السرج العلوي: بيرسون.
• مازور ، د. تم العثور على R. (2010) ، Combinatorics: A Guided Tour ، الرابطة الرياضية الأمريكية ،
• ريسر ، هـ. ج. (1963) ، الرياضيات التوافقية ، دراسات كاروس الرياضية 14 ، الرابطة الرياضية الأمريكية.