Техники за броене: видове, как да ги използваме и примери

Светът на математиката, също толкова завладяващ, също е сложен, но може би благодарение на неговата сложност можем да се справяме с ежедневието по-ефективно и ефикасно.

Техниките за броене са математически методи, които ни позволяват да разберем колко различни комбинации или опции има на елементите в една и съща група обекти.

• Препоръчителна статия: „Психометрика: какво е това и за какво отговаря?“

Тези техники позволяват да се ускори по много значителен начин, знаейки колко различни начини има за извършване на последователности или комбинации от обекти, без да губите търпение или разум. Нека разгледаме по-отблизо какви са те и кои са най-използваните.

Техники за броене: какви са те?

Техниките за броене са математически стратегии, използвани в вероятността и статистиката, които позволяват да се определи общ брой резултати, които могат да бъдат от създаване на комбинации в рамките на набор или групи от обекти. Този тип техники се използват, когато е практически невъзможно или твърде тежко да се правят комбинации от различни елементи ръчно и да се знае колко от тях са възможни.

Тази концепция ще бъде разбрана по-лесно чрез пример. Ако имате четири стола, един жълт, един червен, един син и един зелен, колко комбинации от три от тях могат да бъдат подредени една до друга?

Този проблем може да бъде решен, като го направите ръчно, като мислите за комбинации като синьо, червено и жълто; синьо, жълто и червено; червено, синьо и жълто, червено, жълто и синьо... Но това може да изисква много търпение и време и за това бихме използвали техники за броене, за този случай е необходима пермутация.

• Може да ви е интересно да прочетете: „Нормално разпределение: какво е то, характеристики и примери в статистиката“

Петте вида техники за броене

Основните техники за броене са следните пет, макар и не единствени, всеки със свои особености и използван в съответствие с изискванията, за да знае колко комбинации от набори от обекти са възможни.

Всъщност този тип техники могат да бъдат разделени на две групи, в зависимост от тяхната сложност, една от които е съставена мултипликативният принцип и адитивният принцип, а другият, съставен от комбинации и пермутации.

1. Мултипликативен принцип

Този тип техника на броене, заедно с адитивния принцип, позволява лесно и практично разбиране на това как работят тези математически методи.

Ако едно събитие, нека го наречем N1, може да се случи по няколко начина, а друго събитие, N2, може да се случи по толкова много начини, тогава събитията заедно могат да се случат по N1 x N2 начина.

Този принцип се използва, когато действието е последователно, тоест се състои от събития, които се случват подредено, като строеж на къща, избор на танцови стъпки в дискотека или реда, който ще бъде спазен за подготовка на пай.

Например:

В ресторант менюто се състои от основно ястие, второ и десерт. За основните ястия имаме 4, за секунди има 5, а за десертите са 3.

И така, N1 = 4; N2 = 5 и N3 = 3.

По този начин комбинациите, предлагани от това меню, ще бъдат 4 x 5 x 3 = 60

2. Принцип на добавката

В този случай, вместо да се умножават алтернативите за всяко събитие, се случва да се добавят различните начини, по които те могат да възникнат.

Това означава, че ако първата дейност може да се осъществи по M начини, втората по N и третата L, тогава, според този принцип, това би било M + N + L.

Например:

Искаме да купим шоколад, в супермаркета има три марки: A, B и C.

Шоколад А се продава в три вкуса: черен, млечен и бял, освен че има опция без или със захар за всеки от тях.

Шоколад В се продава в три вкуса, черен, млечен или бял, с възможност да има лешници или не, и със или без захар.

Шоколад С се продава в три вкуса, черен, млечен и бял, с възможност за лешници, фъстъци, карамел или бадеми, но всички със захар.

Въз основа на това въпросът, на който трябва да се отговори, е: колко различни сорта шоколад могат да бъдат закупени?

W = брой начини за избор на шоколад А.

Y = брой начини за избор на шоколад B.

Z = брой начини за избор на шоколад C.

Следващата стъпка е просто умножение.

Ш = 3 х 2 = 6.

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 различни сорта шоколад.

За да се знае дали да се използва мултипликативният или адитивният принцип, основната улика е дали въпросната дейност Той има поредица от стъпки, които трябва да се извършат, както беше в случая с менюто, или има няколко опции, какъвто е случаят с шоколада.

3. Пермутации

Преди да разберете как да направите пермутациите, е важно да разберете разликата между комбинация и пермутация.

Комбинацията е подреждане на елементи, чийто ред не е важен или не променя крайния резултат.

От друга страна, при пермутация ще има подреждане на няколко елемента, в които е важно да се вземе предвид техният ред или позиция.

В пермутациите има n брой различни елементи и е избран брой от тях, които биха били r.

Формулата, която ще се използва, ще бъде следната: nPr = n! / (N-r)!

Например:

Има група от 10 души и има място, което може да побере само петима, по колко начина могат да седят?

Ще се направи следното:

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30 240 различни начина за заемане на банката.

4. Пермутации с повторение

Когато искате да знаете броя на пермутациите в набор от обекти, някои от които са еднакви, постъпвате по следния начин:

Като се има предвид, че n са наличните елементи, някои от тях се повтарят.

Всички елементи n са избрани.

Прилага се следната формула: = n! / N1! N2... nk!

Например:

На лодка могат да се издигнат 3 червени, 2 жълти и 5 зелени знамена. Колко различни сигнала биха могли да бъдат подадени чрез издигане на 10-те флага, които имате?

10!/3!2!5! = 2 520 различни комбинации от знамена.

5. Комбинации

В комбинациите, за разлика от случилото се с пермутации, редът на елементите не е важен.

Формулата, която трябва да се приложи, е следната: nCr = n! / (N-r)! R!

Например:

Група от 10 души иска да почисти квартала и се готви да сформира групи от по 2 члена. Колко групи са възможни?

В този случай n = 10 и r = 2, като по този начин се прилага формулата:

10C2 = 10! / (10-2)! 2! = 180 различни двойки.

Библиографски справки:

• Бруалди, Р. ДА СЕ. (2010), Уводна комбинаторика (5-то издание), Pearson Prentice Hall.
• от Финети, Б. (1970). "Логически основи и измерване на субективната вероятност". Acta Psychologica.
• Хог, Р. V.; Крейг, Алън; McKean, Joseph W. (2004). Въведение в математическата статистика (6-то издание). Река Горна Седловина: Пиърсън.
• Мазур, Д. R. (2010), Комбинаторика: обиколка с екскурзовод, Математическа асоциация на Америка,
• Ryser, H. J. (1963), Combinatorial Mathematics, The Carus Mathematical Monographs 14, Mathematical Association of America.