Das Geburtstagsparadoxon: Was es ist und wie man es erklärt

Stellen wir uns vor, dass wir mit einer Gruppe von Menschen zusammen sind, zum Beispiel bei einem Familientreffen, einem Klassentreffen in der Grundschule oder einfach nur bei einem Drink in einer Bar. Sagen wir, es sind etwa 25 Personen.

Zwischen dem Lärm und den oberflächlichen Gesprächen haben wir ein bisschen abgeschaltet und wir haben angefangen, über unsere nachzudenken Dinge und plötzlich fragen wir uns: Wie groß muss die Wahrscheinlichkeit sein, dass unter diesen Menschen zwei Menschen Geburtstag haben? am selben Tag?

Das Geburtstagsparadoxon ist eine mathematische Wahrheit, entgegen unserem Instinkt, der besagt, dass nur sehr wenige Menschen benötigt werden, damit eine nahezu zufällige Wahrscheinlichkeit besteht, dass zwei von ihnen denselben Geburtstag haben. Versuchen wir, dieses merkwürdige Paradox besser zu verstehen.

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Das Geburtstagsparadoxon

Das Geburtstagsparadoxon ist eine mathematische Wahrheit, die feststellt, dass in einer Gruppe von nur 23 Personen eine Wahrscheinlichkeit nahe dem Zufall besteht, nämlich 50,7 %,

dass mindestens zwei dieser Personen denselben Geburtstag haben. Die Popularität dieser mathematischen Aussage beruht auf der überraschenden Tatsache, dass so wenige notwendig sind. Menschen haben eine ziemlich sichere Chance, dass sie an etwas so Verschiedenem wie einem Geburtstag zusammenpassen.

Obwohl diese mathematische Tatsache als Paradoxon bezeichnet wird, ist sie es streng genommen nicht. Es ist eher ein Paradoxon, insofern es sich als merkwürdig herausstellt, da es dem gesunden Menschenverstand widerspricht. Wenn jemand gefragt wird, wie viele Personen es seiner Meinung nach braucht, damit beide am selben Tag Geburtstag haben, geben die Leute intuitiv 183 an, also die Hälfte von 365.

Der Gedanke hinter diesem Wert ist, dass durch die Halbierung der Anzahl der Tage in einem gewöhnlichen Jahr das Minimum erreicht wird, das für eine Wahrscheinlichkeit von fast 50 % erforderlich ist.

Jedoch, Es ist nicht verwunderlich, dass beim Versuch, diese Frage zu beantworten, so hohe Werte angegeben werden, da das Problem oft missverstanden wird. Das Geburtstagsparadoxon bezieht sich nicht auf die Wahrscheinlichkeiten, dass eine bestimmte Person Geburtstag hat anderen in der Gruppe, aber, wie wir kommentiert haben, die Chancen, dass zwei Personen in der Gruppe denselben Geburtstag haben Tag.

Mathematische Erklärung des Phänomens

Um diese überraschende mathematische Wahrheit zu verstehen, müssen Sie zunächst bedenken, dass es viele Möglichkeiten gibt, Paare zu finden, die denselben Geburtstag haben.

Auf den ersten Blick würde man meinen, dass 23 Tage, also der 23. Geburtstag der Bandmitglieder, sind ein zu kleiner Bruchteil der möglichen Anzahl unterschiedlicher Tage, 365 Tage in einem Nicht-Schaltjahr oder 366 in Schaltjahren, als würde man Wiederholungen erwarten. Dieses Denken ist in der Tat richtig, aber nur, wenn wir an einem bestimmten Tag eine Wiederholung erwarten. Das heißt, und wie wir bereits kommentiert haben, müssten wir viele Leute versammeln, damit es eine weitere Möglichkeit gäbe oder weniger fast 50 % eines der Mitglieder der Gruppe, die mit uns selbst Geburtstag haben, um a Beispiel.

Allerdings treten im Geburtstagsparadox keine Wiederholungen auf. Das heißt, wie viele Personen benötigt werden, damit zwei dieser Personen am selben Tag Geburtstag haben, wobei die Person oder die Tage beliebig sind. Um es zu verstehen und mathematisch zu zeigen, Als nächstes werden wir das Verfahren hinter dem Paradox genauer betrachten.

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Möglichkeit einer möglichen Übereinstimmung

Stellen wir uns vor, wir haben nur zwei Personen in einem Raum. Diese beiden Personen, C1 und C2, könnten nur ein Paar bilden (C1=C2), mit dem wir nur ein Paar haben, bei dem ein wiederholter Geburtstag auftreten kann. Entweder sie haben am gleichen Tag Geburtstag, oder sie haben nicht den gleichen Geburtstag, es gibt keine anderen Alternativen..

Um diese Tatsache mathematisch auszudrücken, haben wir die folgende Formel:

(Anzahl Personen x mögliche Kombinationen)/2 = Möglichkeiten möglicher Koinzidenzen.

In diesem Fall wäre dies:

(2 x 1)/2 = 1 Chance auf eine mögliche Übereinstimmung

Was passiert, wenn statt zwei Personen drei sind? Die Matchchancen steigen auf drei, dank der Tatsache, dass zwischen diesen drei Personen drei Paare gebildet werden können (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Mathematisch dargestellt haben wir:

(3 Personen x 2 mögliche Kombinationen)/2 = 3 Chancen auf eine mögliche Übereinstimmung

Bei vier gibt es sechs Möglichkeiten, dass sie untereinander zusammenfallen:

(4 Personen x 3 mögliche Kombinationen)/2 = 6 Chancen auf eine mögliche Übereinstimmung

Wenn wir bis zu zehn Personen gehen, haben wir viel mehr Möglichkeiten:

(10 Personen X 9 mögliche Kombinationen)/2 = 45

Bei 23 Personen gibt es (23×22)/2 = 253 verschiedene Paare, jeder von ihnen ein Kandidat dafür, dass seine beiden Mitglieder am selben Tag Geburtstag haben, sich selbst das Geburtstagsparadox geben und mehr Möglichkeiten haben, einen Geburtstag zu haben.

Wahrscheinlichkeitsschätzung

Wir werden berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Gruppe mit der Größe n von Personen zwei davon hat, was auch immer sie sind, haben am selben Tag Geburtstag. Für diesen speziellen Fall werden wir Schaltjahre und Zwillinge verwerfen, unter der Annahme, dass es 365 Geburtstage gibt, die die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Anwendung der Laplaceschen Regel und Kombinatorik

Zunächst müssen wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass n Personen unterschiedliche Geburtstage haben. Das heißt, wir berechnen die Wahrscheinlichkeit entgegengesetzt zu dem, was im Geburtstagsparadoxon angegeben ist. Dafür, Bei den Berechnungen müssen wir zwei mögliche Ereignisse berücksichtigen.

Ereignis A = {zwei Personen feiern am selben Tag Geburtstag} Ergänzend zum Ereignis A: A^c = {zwei Personen feiern nicht am selben Tag Geburtstag}

Nehmen wir als besonderen Fall eine Gruppe mit fünf Personen (n=5)

Um die Anzahl der möglichen Fälle zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:

Tage des Jahres^n

Unter Berücksichtigung, dass ein normales Jahr 365 Tage hat, beträgt die Anzahl der möglichen Fälle von Geburtstagsfeiern:

365^5 = 6,478 × 10^12

Die erste der von uns ausgewählten Personen kann logischerweise an jedem der 365 Tage des Jahres geboren worden sein. Der nächste kann in einem der verbleibenden 364 Tage geboren worden sein, und der nächste vom nächsten kann in einem der verbleibenden 363 Tage geboren worden sein, und so weiter.

Daraus folgt die folgende Rechnung: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6.303 × 10^12, was ergibt als Das Ergebnis ist die Anzahl der Fälle, in denen es in dieser Gruppe von 5 nicht zwei Personen gibt, die gleich geboren wurden Tag.

Unter Anwendung der Laplace-Regel würden wir berechnen:

P (A^c) = günstige Fälle/mögliche Fälle = 6,303 / 6,478 = 0,973

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen in der 5er-Gruppe nicht am selben Tag Geburtstag haben, liegt bei 97,3 %. Mit diesen Daten können wir die Möglichkeit erhalten, dass zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben, wodurch der Komplementärwert erhalten wird.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Daraus ergibt sich also, dass die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von fünf Personen zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben, nur 2,7 % beträgt.

Wenn wir dies verstehen, können wir die Größe der Stichprobe ändern. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Personen in einer Versammlung von n Personen denselben Geburtstag haben, kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

Falls n gleich 23 ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei dieser Personen am selben Tag ihr Jubiläum feiern, 0,51.

Der Grund, warum diese spezifische Stichprobengröße so berühmt geworden ist, liegt darin, dass mit n = 23 es besteht eine gerade Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag feiern.

Wenn wir auf andere Werte erhöhen, zum Beispiel 30 oder 50, haben wir höhere Wahrscheinlichkeiten von 0,71 bzw. 0,97, oder was dasselbe ist, 71 % und 97 %. Bei n = 70 haben wir fast garantiert, dass zwei von ihnen an ihrem Geburtstag zusammenfallen, mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,99916 oder 99,9%

Verwenden der Laplace-Regel und der Produktregel

Eine andere nicht so weit hergeholte Art, das Problem zu verstehen, besteht darin, es wie folgt zu stellen.

Stellen wir uns vor, dass 23 Personen zusammen in einem Raum sind und wir wollen die Chancen berechnen, dass sie keine gemeinsamen Geburtstage haben.

Angenommen, es befindet sich nur eine Person im Raum. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle im Raum unterschiedliche Geburtstage haben, ist offensichtlich 100 %, also Wahrscheinlichkeit 1. Im Grunde genommen ist diese Person allein, und da niemand sonst da ist, fällt ihr Geburtstag nicht mit dem eines anderen zusammen.

Jetzt kommt eine andere Person herein und somit sind zwei Personen im Raum. Die Chancen, dass sie einen anderen Geburtstag hat als die erste Person, stehen 364/365, das sind 0,9973 oder 99,73 %.

Geben Sie einen dritten ein. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen anderen Geburtstag hat als die beiden anderen Personen, die vor ihr eingetreten sind, beträgt 363/365. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei unterschiedliche Geburtstage haben, beträgt 364/365 mal 363/365 oder 0,9918.

Die Optionen für 23 Personen mit unterschiedlichen Geburtstagen sind also 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, was 0,493 ergibt.

Anders ausgedrückt: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 49,3 % hat keiner der Anwesenden am selben Tag Geburtstag und somit umgekehrt, Wenn wir die Ergänzung dieses Prozentsatzes berechnen, haben wir eine Wahrscheinlichkeit von 50,7%, dass mindestens zwei von ihnen teilen Geburtstag

Im Gegensatz zum Geburtstagsparadoxon ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich jemand in einem Raum von n Personen befindet Geburtstag am selben Tag wie eine bestimmte Person, zum Beispiel wir selbst, falls wir dort sind, ist durch die folgende Formel gegeben.

1- (364/365)^n

Mit n = 23 würde es eine Wahrscheinlichkeit von etwa 0,061 (6 %) ergeben, was mindestens n = 253 erfordert, um einen Wert nahe 0,5 oder 50 % zu ergeben.

Das Paradoxe in der Realität

Es gibt mehrere Situationen, in denen wir sehen können, dass dieses Paradoxon erfüllt ist. Hier stellen wir zwei reale Fälle vor.

Die erste ist die der Könige von Spanien. Zählt man von der Herrschaft der Katholischen Könige von Kastilien und Aragon bis zu Felipe VI. von Spanien, haben wir 20 rechtmäßige Monarchen. Unter diesen Königen finden wir überraschenderweise zwei Paare, die an Geburtstagen zusammenfallen: Carlos II mit Carlos IV (11. November) und José I mit Juan Carlos I (5. Januar). Die Möglichkeit, dass es nur ein Monarchenpaar mit demselben Geburtstag gab, wenn man bedenkt, dass n = 20, ist

Ein weiterer echter Fall ist das große Finale der Eurovision 2019. Am Finale dieses Jahres, das in Tel Aviv, Israel, stattfand, nahmen 26 Länder teil, davon 24 Sie schickten entweder Solosänger oder Gruppen, in denen die Figur des Sängers eine besondere Rolle einnahm. Unter ihnen fielen zwei Sänger auf einen Geburtstag: der Vertreter Israels, Kobi Marimi, und der aus der Schweiz, Luca Hänni, die beide am 8. Oktober Geburtstag feierten.

Bibliographische Referenzen:

• Abramson, M.; Moser, W. ENTWEDER. J. (1970). "Weitere Geburtstagsüberraschungen". American Mathematical Monthly. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
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• Klamkin, M.; Neumann, D. (1967). "Erweiterungen der Geburtstagsüberraschung". Zeitschrift für kombinatorische Theorie. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9