Οι 13 τύποι μαθηματικών συναρτήσεων (και τα χαρακτηριστικά τους)

Τα μαθηματικά είναι ένας από τους πιο τεχνικούς και αντικειμενικούς επιστημονικούς κλάδους που υπάρχουν. Είναι το κύριο πλαίσιο από το οποίο άλλοι κλάδοι της επιστήμης είναι σε θέση να κάνουν μετρήσεις και να λειτουργούν με τις μεταβλητές του στοιχεία που μελετούν, με τέτοιο τρόπο που εκτός από μια πειθαρχία από μόνη της υποθέτει, μαζί με τη λογική, μία από τις βάσεις της γνώσης επιστημονικός.

Αλλά στα μαθηματικά μελετώνται πολύ διαφορετικές διαδικασίες και ιδιότητες, μεταξύ των οποίων η σχέση μεταξύ δύο μεγέθη ή τομείς που συνδέονται μεταξύ τους, στους οποίους επιτυγχάνεται ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα χάρη ή βασίζεται στην τιμή ενός στοιχείου σκυρόδεμα. Πρόκειται για την ύπαρξη μαθηματικών συναρτήσεων, οι οποίες δεν θα έχουν πάντα τον ίδιο τρόπο να επηρεάζουν ή να σχετίζονται μεταξύ τους.

Είναι εξαιτίας αυτού μπορούμε να μιλήσουμε για διαφορετικούς τύπους μαθηματικών συναρτήσεων, για τα οποία θα μιλήσουμε σε όλο αυτό το άρθρο.

• Σχετικό άρθρο: "14 μαθηματικά παζλ (και οι λύσεις τους)"

Λειτουργίες στα μαθηματικά: τι είναι;

Πριν συνεχίσετε να προσδιορίζετε τους κύριους τύπους μαθηματικών συναρτήσεων που υπάρχουν, προκύπτει από Είναι χρήσιμο να κάνουμε μια σύντομη εισαγωγή για να καταστήσουμε σαφές τι μιλάμε για όταν μιλάμε λειτουργίες.

Οι μαθηματικές συναρτήσεις ορίζονται ως τη μαθηματική έκφραση της σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών ή ποσοτήτων. Αυτές οι μεταβλητές συμβολίζονται από τα τελευταία γράμματα του αλφαβήτου, X και Y, και δίνονται αντίστοιχα τα ονόματα τομέα και κωδικού.

Αυτή η σχέση εκφράζεται με τέτοιο τρόπο ώστε να επιδιώκεται η ύπαρξη ισότητας μεταξύ των δύο αναλυθέντων συστατικών και γενικά υπονοεί ότι για κάθε μία από τις τιμές του Χ υπάρχει ένα μοναδικό αποτέλεσμα του Υ και το αντίστροφο (αν και υπάρχουν ταξινομήσεις συναρτήσεων που δεν συμμορφώνονται με αυτό απαίτηση).

Επίσης, αυτή η λειτουργία επιτρέπει τη δημιουργία αναπαράστασης με τη μορφή γραφήματος το οποίο με τη σειρά του επιτρέπει την πρόβλεψη της συμπεριφοράς μιας από τις μεταβλητές από την άλλη, καθώς και πιθανά όρια αυτής της σχέσης ή αλλαγές στη συμπεριφορά της εν λόγω μεταβλητής.

Όπως συμβαίνει όταν λέμε ότι κάτι εξαρτάται ή είναι συνάρτηση ενός άλλου κάτι (για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε ότι η βαθμολογία μας στις εξετάσεις μαθηματικών είναι συνάρτηση του αριθμού των ωρών που μελετάμε), όταν μιλάμε για μια μαθηματική συνάρτηση υποδεικνύουμε ότι η απόκτηση μιας συγκεκριμένης τιμής εξαρτάται από την αξία ενός άλλου συνδεδεμένου στο.

Στην πραγματικότητα, το ίδιο το προηγούμενο παράδειγμα είναι άμεσα εκφρασμένο με τη μορφή μιας μαθηματικής συνάρτησης (αν και στον πραγματικό κόσμο η σχέση είναι πολύ πιο περίπλοκη, δεδομένου ότι εξαρτάται πραγματικά από πολλούς παράγοντες και όχι μόνο από τον αριθμό των ωρών μελετημένος).

Κύριοι τύποι μαθηματικών συναρτήσεων

Εδώ σας παρουσιάζουμε μερικούς από τους κύριους τύπους μαθηματικών συναρτήσεων, ταξινομημένες σε διαφορετικές ομάδες ανάλογα με τη συμπεριφορά του και τον τύπο της σχέσης που δημιουργείται μεταξύ των μεταβλητών X και Y.

1. Αλγεβρικές συναρτήσεις

Οι αλγεβρικές συναρτήσεις νοούνται ως το σύνολο των τύπων μαθηματικών συναρτήσεων που χαρακτηρίζονται από την καθιέρωση μιας σχέσης της οποίας τα συστατικά είναι είτε monomials είτε πολυώνυμα, και του οποίου η σχέση αποκτάται μέσω της εκτέλεσης σχετικά απλών μαθηματικών πράξεων: αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, ενδυνάμωση ή ραδιενέργεια (χρήση ριζών). Σε αυτήν την κατηγορία μπορούμε να βρούμε πολλές τυπολογίες.

1.1. Άμεσες λειτουργίες

Οι ρητές συναρτήσεις εννοούνται ότι είναι όλοι αυτοί οι τύποι μαθηματικών συναρτήσεων των οποίων η σχέση μπορεί να αποκτηθεί άμεσα, απλά αντικαθιστώντας τον τομέα x με την αντίστοιχη τιμή. Με άλλα λόγια, είναι η λειτουργία στην οποία άμεσα βρίσκουμε μια εξίσωση μεταξύ της τιμής και μιας μαθηματικής σχέσης που επηρεάζεται από τον τομέα x.

1.2. Σιωπηρές λειτουργίες

Σε αντίθεση με τα προηγούμενα, στις σιωπηρές συναρτήσεις η σχέση μεταξύ τομέα και κωδικού τομέα δεν αποδεικνύεται άμεσα, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε διάφορους μετασχηματισμούς και μαθηματικές πράξεις για να βρείτε τον τρόπο με τον οποίο είναι x και y σχετίζομαι.

1.3. Πολυωνυμικές συναρτήσεις

Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις, μερικές φορές κατανοητές ως συνώνυμες με τις αλγεβρικές συναρτήσεις και μερικές φορές ως υποκατηγορία αυτών, αποτελούν το σύνολο τύπων μαθηματικών συναρτήσεων στις οποίες Για να αποκτήσετε τη σχέση μεταξύ τομέα και κωδικού τομέα, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε διάφορες λειτουργίες με πολυώνυμα διαφόρων βαθμών.

Οι γραμμικές ή πρώτου βαθμού συναρτήσεις είναι πιθανώς ο ευκολότερος τύπος λειτουργίας για επίλυση και είναι από τις πρώτες που πρέπει να μάθετε. Σε αυτά υπάρχει απλώς μια απλή σχέση στην οποία μια τιμή του x θα δημιουργήσει μια τιμή του y, και η γραφική του αναπαράσταση είναι μια γραμμή που πρέπει να κόψει τον άξονα συντεταγμένων σε κάποιο σημείο. Η μόνη παραλλαγή θα είναι η κλίση της εν λόγω γραμμής και το σημείο όπου τέμνεται ο άξονας, διατηρώντας πάντα τον ίδιο τύπο σχέσης.

Μέσα σε αυτά μπορούμε να βρούμε τις λειτουργίες ταυτότητας, στην οποία δίνεται απευθείας μια ταυτοποίηση μεταξύ τομέα και κωδικού τομέα με τέτοιο τρόπο ώστε και οι δύο τιμές να είναι πάντα οι ίδιες (y = x), οι γραμμικές συναρτήσεις (στις οποίες παρατηρούμε μόνο μια παραλλαγή του κλίση, y = mx) και τις συναφείς συναρτήσεις (στις οποίες μπορούμε να βρούμε αλλαγές στο σημείο αποκοπής του άξονα της τετμημένης και της κλίσης, y = mx + α).

Οι συναρτήσεις τετραγωνικού ή δευτέρου βαθμού είναι εκείνες που εισάγουν ένα πολυώνυμο στο οποίο ένα μονό μεταβλητή έχει μια μη γραμμική συμπεριφορά με την πάροδο του χρόνου (μάλλον, σε σχέση με το κωδικοποίηση). Από ένα συγκεκριμένο όριο, η συνάρτηση τείνει στο άπειρο σε έναν από τους άξονες. Η γραφική αναπαράσταση καθορίζεται ως παραβολή, και μαθηματικά εκφράζεται ως y = ax2 + bx + c.

Οι σταθερές συναρτήσεις είναι αυτές στις οποίες ένας μοναδικός πραγματικός αριθμός είναι ο καθοριστικός παράγοντας της σχέσης μεταξύ τομέα και κωδικού τομέα. Δηλαδή, δεν υπάρχει πραγματική παραλλαγή με βάση την τιμή και των δύο: ο κωδικός τομέας θα βασίζεται πάντα σε μια σταθερά και δεν υπάρχει μεταβλητή τομέα που μπορεί να εισαγάγει αλλαγές. Απλά, y = k.

• Μπορεί να σας ενδιαφέρει: "Dyscalculia: η δυσκολία στην εκμάθηση των μαθηματικών"

1.4. Ορθολογικές λειτουργίες

Οι ορθολογικές συναρτήσεις ονομάζονται το σύνολο συναρτήσεων στις οποίες η τιμή της συνάρτησης καθορίζεται από ένα πηλίκο μεταξύ μη μηδενικών πολυωνύμων. Σε αυτές τις συναρτήσεις, ο τομέας θα περιλαμβάνει όλους τους αριθμούς εκτός από αυτούς που ακυρώνουν τον παρονομαστή της διαίρεσης, οι οποίοι δεν θα επέτρεπαν τη λήψη μιας τιμής y.

Σε αυτόν τον τύπο συναρτήσεων, εμφανίζονται όρια γνωστά ως ασυμπτώματα, που θα ήταν ακριβώς αυτές οι τιμές στις οποίες δεν θα υπήρχε τιμή τομέα ή κωδικού τομέα (δηλαδή, όταν το y ή το x είναι ίσο με 0). Σε αυτά τα όρια, οι γραφικές παραστάσεις τείνουν στο άπειρο, χωρίς να αγγίζουν ποτέ τα εν λόγω όρια. Ένα παράδειγμα αυτού του τύπου συνάρτησης: y = √ ax

1.5. Παράλογες ή ριζικές λειτουργίες

Οι παράλογες συναρτήσεις ονομάζονται το σύνολο των συναρτήσεων στις οποίες εμφανίζεται μια λογική συνάρτηση εισάγεται σε μια ρίζα ή ρίζα (η οποία δεν χρειάζεται να είναι τετράγωνη, καθώς μπορεί να είναι κυβική ή με άλλη εκθέτης).

Για να μπορέσετε να το λύσετε Πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η ύπαρξη αυτής της ρίζας μας επιβάλλει ορισμένους περιορισμούς., για παράδειγμα το γεγονός ότι οι τιμές του x θα πρέπει πάντα να προκαλούν το αποτέλεσμα της ρίζας να είναι θετικό και μεγαλύτερο από ή ίσο με το μηδέν.

1.6. Λειτουργίες καθορισμένες κατά κομμάτι

Αυτοί οι τύποι συναρτήσεων είναι εκείνοι στους οποίους η αξία και αλλάζει τη συμπεριφορά της συνάρτησης, υπάρχουν δύο διαστήματα με μια πολύ διαφορετική συμπεριφορά με βάση την αξία του τομέα. Θα υπάρχει μια τιμή που δεν θα είναι μέρος αυτής, η οποία θα είναι η τιμή από την οποία διαφέρει η συμπεριφορά της συνάρτησης.

2. Υπερβατικές συναρτήσεις

Οι υπερβατικές συναρτήσεις ονομάζονται αυτές οι μαθηματικές αναπαραστάσεις σχέσεων μεταξύ ποσοτήτων που δεν μπορούν να ληφθούν μέσω αλγεβρικών πράξεων και για τις οποίες Είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί μια περίπλοκη διαδικασία υπολογισμού για να επιτευχθεί η σχέση της. Περιλαμβάνει κυρίως εκείνες τις λειτουργίες που απαιτούν τη χρήση παραγώγων, ολοκληρωμάτων, λογαρίθμων ή που έχουν έναν τύπο ανάπτυξης που αυξάνεται ή μειώνεται συνεχώς.

2.1. Εκθετικές συναρτήσεις

Όπως υποδηλώνει το όνομά του, οι εκθετικές συναρτήσεις είναι το σύνολο των συναρτήσεων που δημιουργούν μια σχέση μεταξύ τομέα και codomain στην οποία αναπτύσσεται μια σχέση ανάπτυξης σε εκθετικό επίπεδο, δηλαδή αυξάνεται η ανάπτυξη επιταχυνθηκε. η τιμή του x είναι ο εκθέτης, δηλαδή ο τρόπος με τον οποίο η τιμή της συνάρτησης ποικίλλει και αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου. Το απλούστερο παράδειγμα: y = ax

2.2. Λογαριθμικές συναρτήσεις

Ο λογάριθμος οποιουδήποτε αριθμού είναι αυτός ο εκθέτης που θα χρειαστεί να ανυψώσει τη βάση που χρησιμοποιείται για να ληφθεί ο συγκεκριμένος αριθμός. Έτσι, οι λογαριθμικές συναρτήσεις είναι εκείνες στις οποίες χρησιμοποιούμε τον αριθμό που θα ληφθεί με μια συγκεκριμένη βάση ως τομέα. Είναι η αντίθετη και αντίστροφη περίπτωση της εκθετικής συνάρτησης.

Η τιμή του x πρέπει πάντα να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν και να είναι διαφορετική από το 1 (αφού οποιοσδήποτε λογάριθμος με βάση 1 είναι ίσος με μηδέν). Η ανάπτυξη της συνάρτησης είναι όλο και λιγότερο όσο αυξάνεται η τιμή του x. Σε αυτήν την περίπτωση y = loga x

2.3. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Ένας τύπος συνάρτησης στην οποία η αριθμητική σχέση δημιουργείται μεταξύ των διαφορετικών στοιχείων που συνθέτουν ένα τρίγωνο ή μια γεωμετρική μορφή, και συγκεκριμένα τις σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ των γωνιών του α φιγούρα. Μέσα σε αυτές τις συναρτήσεις βρίσκουμε τον υπολογισμό του ημιτονοειδούς, συνημίτονου, εφαπτομένου, διαχωριστικού, συντεταγμένου και συντελεστού σε μια δεδομένη τιμή x.

Άλλη ταξινόμηση

Το σύνολο των τύπων μαθηματικών συναρτήσεων που εξηγήθηκαν προηγουμένως λαμβάνει υπόψη ότι για κάθε τιμή του Το domain αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή του κωδικού τομέα (δηλαδή, κάθε τιμή του x θα προκαλέσει μια συγκεκριμένη τιμή του Υ). Ωστόσο, και παρόλο που αυτό το γεγονός θεωρείται συνήθως βασικό και θεμελιώδες, η αλήθεια είναι ότι είναι δυνατόν να βρεθούν κάποια τύποι μαθηματικών συναρτήσεων στους οποίους μπορεί να υπάρχει κάποια απόκλιση ως προς την αντιστοιχία μεταξύ x και y. Συγκεκριμένα μπορούμε να βρούμε τους ακόλουθους τύπους συναρτήσεων.

1. Ενέσιμες λειτουργίες

Οι ενέσιμες συναρτήσεις ονομάζονται αυτός ο τύπος μαθηματικής σχέσης μεταξύ τομέα και κωδικού τομέα στον οποίο κάθε μία από τις τιμές του κωδικού συνδέεται μόνο με μία τιμή του τομέα. Δηλαδή, το x θα μπορεί να έχει μόνο μία τιμή για μια δεδομένη τιμή y ή μπορεί να μην έχει τιμή (δηλαδή, μια συγκεκριμένη τιμή του x ενδέχεται να μην έχει σχέση με το y).

2. Εκθετικές λειτουργίες

Οι επιθετικές λειτουργίες είναι όλες εκείνες στις οποίες κάθε ένα από τα στοιχεία ή τις τιμές του κωδικού τομέα (y) σχετίζεται με τουλάχιστον έναν από τους τομείς (x), αν και μπορεί να είναι περισσότερο. Δεν πρέπει απαραίτητα να είναι ενέσιμο (καθώς πολλές τιμές του x μπορούν να συσχετιστούν με το ίδιο y).

3. Δυναμικές συναρτήσεις

Ονομάζεται ως τέτοιος ο τύπος λειτουργίας στην οποία εμφανίζονται τόσο οι ενέσιμες όσο και οι εκθετικές ιδιότητες. Και συγκεκριμένα, υπάρχει μια μοναδική τιμή x για κάθε y, και όλες οι τιμές στον τομέα αντιστοιχούν σε μία στον κωδικό τομέα.

4. Μη ενέσιμες και μη εκθετικές λειτουργίες

Αυτοί οι τύποι συναρτήσεων υποδεικνύουν ότι υπάρχουν πολλές τιμές τομέα για έναν συγκεκριμένο κωδικό τομέα (δηλαδή διαφορετικές τιμές του x θα μας δώσουν το ίδιο y) καθώς και άλλες τιμές του y δεν συνδέονται με καμία τιμή x.

Βιβλιογραφικές αναφορές:

• Eves, Η. (1990). Θεμέλια και θεμελιώδεις έννοιες των μαθηματικών (3η έκδοση). Ντόβερ.
• Hazewinkel, Μ. εκδ. (2000). Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών. Kluwer Academic Publishers.