Τεχνικές μέτρησης: τύποι, τρόπος χρήσης τους και παραδείγματα

Ο κόσμος των μαθηματικών, εξίσου συναρπαστικός είναι επίσης περίπλοκος, αλλά ίσως χάρη στην πολυπλοκότητά του μπορούμε να αντιμετωπίσουμε την καθημερινότητα πιο αποτελεσματικά και αποτελεσματικά.

Οι τεχνικές μέτρησης είναι μαθηματικές μέθοδοι που μας επιτρέπουν να γνωρίζουμε πόσους διαφορετικούς συνδυασμούς ή επιλογές υπάρχουν από τα στοιχεία μέσα στην ίδια ομάδα αντικειμένων.

• Προτεινόμενο άρθρο: "Ψυχομετρία: τι είναι και τι είναι υπεύθυνο;"

Αυτές οι τεχνικές καθιστούν δυνατή την επιτάχυνση με πολύ σημαντικό τρόπο γνωρίζοντας πόσους διαφορετικούς τρόπους υπάρχουν για να κάνετε ακολουθίες ή συνδυασμούς αντικειμένων, χωρίς να χάσετε υπομονή ή λογική. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε τι είναι και ποια είναι τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα.

Τεχνικές μέτρησης: τι είναι;

Οι τεχνικές μέτρησης είναι μαθηματικές στρατηγικές που χρησιμοποιούνται στην πιθανότητα και στα στατιστικά στοιχεία που επιτρέπουν τον προσδιορισμό του συνολικός αριθμός αποτελεσμάτων που μπορούν να υπάρχουν από την πραγματοποίηση συνδυασμών σε ένα σύνολο ή σετ από αντικείμενα. Αυτοί οι τύποι τεχνικών χρησιμοποιούνται όταν είναι πρακτικά αδύνατο ή πολύ βαρύ να γίνουν συνδυασμοί διαφορετικών στοιχείων χειροκίνητα και να γνωρίζουμε πόσα από αυτά είναι δυνατά.

Αυτή η ιδέα θα γίνει κατανοητή πιο εύκολα μέσω ενός παραδείγματος. Εάν έχετε τέσσερις καρέκλες, μία κίτρινη, μία κόκκινη, μία μπλε και μία πράσινη, πόσους συνδυασμούς τριών από αυτούς μπορούν να τακτοποιηθούν δίπλα-δίπλα;

Αυτό το πρόβλημα θα μπορούσε να επιλυθεί κάνοντάς το χειροκίνητα, σκεφτόμαστε συνδυασμούς όπως το μπλε, το κόκκινο και το κίτρινο. μπλε, κίτρινο και κόκκινο? κόκκινο, μπλε και κίτρινο, κόκκινο, κίτρινο και μπλε... Αλλά αυτό μπορεί να απαιτεί πολλή υπομονή και χρόνο, και για αυτό θα χρησιμοποιούσαμε τεχνικές μέτρησης, για αυτήν την περίπτωση είναι απαραίτητη η μεταβολή.

• Μπορεί να σας ενδιαφέρει να διαβάσετε: "Κανονική κατανομή: τι είναι, χαρακτηριστικά και παραδείγματα στα στατιστικά στοιχεία"

Οι πέντε τύποι τεχνικών μέτρησης

Οι κύριες τεχνικές μέτρησης είναι οι ακόλουθες πέντε, αν και δεν είναι τα μόνα, το καθένα με τις δικές του ιδιαιτερότητες και χρησιμοποιείται σύμφωνα με τις απαιτήσεις για να γνωρίζει πόσους συνδυασμούς συνόλων αντικειμένων είναι δυνατοί.

Στην πραγματικότητα, αυτός ο τύπος τεχνικών μπορεί να χωριστεί σε δύο ομάδες, ανάλογα με την πολυπλοκότητά τους, μια από τις οποίες αποτελείται η αρχή του πολλαπλασιασμού και η αρχή της πρόσθετης ύλης, και η άλλη, αποτελούνται από συνδυασμούς και παραλλαγές.

1. Πολλαπλασιαστική αρχή

Αυτός ο τύπος τεχνικής μέτρησης, μαζί με την αρχή της πρόσθετης ύλης, επιτρέπει μια εύκολη και πρακτική κατανόηση του τρόπου λειτουργίας αυτών των μαθηματικών μεθόδων.

Εάν ένα συμβάν, ας το ονομάσουμε N1, μπορεί να συμβεί με διάφορους τρόπους και ένα άλλο συμβάν, N2, μπορεί να συμβεί με πολλούς τρόπους, τότε τα συμβάντα μαζί μπορούν να συμβούν με N1 x N2 τρόπους.

Αυτή η αρχή χρησιμοποιείται όταν η δράση είναι διαδοχική, δηλαδή αποτελείται από γεγονότα που συμβαίνουν με ομαλό τρόπο, όπως η κατασκευή ενός σπιτιού, η επιλογή των σκαλοπατιών σε μια ντίσκο ή η σειρά που θα ακολουθηθεί για την προετοιμασία πίτα.

Για παράδειγμα:

Σε ένα εστιατόριο, το μενού αποτελείται από ένα κυρίως πιάτο, ένα δεύτερο και επιδόρπιο. Για τα κύρια πιάτα έχουμε 4, για δευτερόλεπτα υπάρχουν 5 και για τα επιδόρπια υπάρχουν 3.

Έτσι, N1 = 4; N2 = 5 και N3 = 3.

Έτσι, οι συνδυασμοί που προσφέρονται από αυτό το μενού θα είναι 4 x 5 x 3 = 60

2. Αρχή της πρόσθετης ύλης

Σε αυτήν την περίπτωση, αντί να πολλαπλασιάζονται οι εναλλακτικές λύσεις για κάθε συμβάν, αυτό που συμβαίνει είναι ότι προστίθενται οι διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορούν να συμβούν.

Αυτό σημαίνει ότι εάν η πρώτη δραστηριότητα μπορεί να συμβεί με τρόπους M, η δεύτερη στο N και το τρίτο L, τότε, σύμφωνα με αυτήν την αρχή, θα ήταν M + N + L.

Για παράδειγμα:

Θέλουμε να αγοράσουμε σοκολάτα, υπάρχουν τρεις μάρκες στο σούπερ μάρκετ: A, B και C.

Η σοκολάτα Α πωλείται σε τρεις γεύσεις: μαύρο, γάλα και λευκό, εκτός από την επιλογή χωρίς ή με ζάχαρη για κάθε μία από αυτές.

Η σοκολάτα Β πωλείται σε τρεις γεύσεις, μαύρο, γάλα ή λευκό, με την επιλογή να έχετε φουντούκια ή όχι και με ή χωρίς ζάχαρη.

Η σοκολάτα C πωλείται σε τρεις γεύσεις, μαύρο, γάλα και λευκό, με την επιλογή να φουντούκια, φιστίκια, καραμέλα ή αμύγδαλα, αλλά όλα με ζάχαρη.

Με βάση αυτό, το ερώτημα που πρέπει να απαντηθεί είναι: πόσες διαφορετικές ποικιλίες σοκολάτας μπορούν να αγοραστούν;

W = αριθμός τρόπων επιλογής σοκολάτας Α.

Y = αριθμός τρόπων επιλογής της σοκολάτας Β.

Z = αριθμός τρόπων επιλογής της σοκολάτας C.

Το επόμενο βήμα είναι απλός πολλαπλασιασμός.

W = 3 x 2 = 6.

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 διαφορετικές ποικιλίες σοκολάτας.

Για να μάθετε αν θα χρησιμοποιήσετε την αρχή του πολλαπλασιασμού ή της πρόσθετης ύλης, η κύρια ένδειξη είναι αν η εν λόγω δραστηριότητα Έχει μια σειρά από βήματα που πρέπει να γίνουν, όπως συνέβη με το μενού, ή υπάρχουν πολλές επιλογές, όπως στην περίπτωση της σοκολάτας.

3. Παραλλαγές

Πριν κατανοήσετε πώς να κάνετε τις παραλλαγές, είναι σημαντικό να κατανοήσετε τη διαφορά μεταξύ ενός συνδυασμού και μιας παραλλαγής.

Ένας συνδυασμός είναι μια διάταξη στοιχείων των οποίων η σειρά δεν είναι σημαντική ή δεν αλλάζει το τελικό αποτέλεσμα.

Από την άλλη πλευρά, σε μια παραλλαγή, θα υπήρχε μια διάταξη πολλών στοιχείων στα οποία είναι σημαντικό να ληφθεί υπόψη η σειρά ή η θέση τους.

Στις παραλλαγές, υπάρχει n αριθμός διαφορετικών στοιχείων και ένας αριθμός από αυτούς επιλέγεται, που θα ήταν r.

Ο τύπος που θα χρησιμοποιηθεί θα ήταν ο ακόλουθος: nPr = n! / (N-r)!

Για παράδειγμα:

Υπάρχει μια ομάδα 10 ατόμων και υπάρχει ένα κάθισμα που μπορεί να χωρέσει μόνο πέντε, πόσοι τρόποι μπορούν να κάθονται;

Θα γίνουν τα εξής:

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30.240 διαφορετικοί τρόποι κατάληψης της τράπεζας.

4. Παραλλαγές με επανάληψη

Όταν θέλετε να μάθετε τον αριθμό των παραλλαγών σε ένα σύνολο αντικειμένων, μερικά από τα οποία είναι τα ίδια, προχωράτε ως εξής:

Λαμβάνοντας υπόψη ότι το n είναι τα διαθέσιμα στοιχεία, μερικά από αυτά επαναλαμβάνονται.

Όλα τα στοιχεία n είναι επιλεγμένα.

Ισχύει ο ακόλουθος τύπος: = n! / N1! N2... nk!

Για παράδειγμα:

Σε ένα σκάφος, μπορούν να ανυψωθούν 3 κόκκινες, 2 κίτρινες και 5 πράσινες σημαίες. Πόσα διαφορετικά σήματα θα μπορούσαν να γίνουν ανυψώνοντας τις 10 σημαίες που έχετε;

10!/3!2!5! = 2.520 διαφορετικοί συνδυασμοί σημαιών.

5. Συνδυασμοί

Σε συνδυασμούς, σε αντίθεση με αυτό που συνέβη με παραλλαγές, η σειρά των στοιχείων δεν είναι σημαντική.

Ο τύπος που πρέπει να εφαρμοστεί είναι ο εξής: nCr = n! / (N-r)! R!

Για παράδειγμα:

Μια ομάδα 10 ατόμων θέλει να καθαρίσει τη γειτονιά και ετοιμάζεται να σχηματίσει ομάδες των 2 μελών το καθένα. Πόσες ομάδες είναι δυνατές;

Σε αυτήν την περίπτωση, n = 10 και r = 2, επομένως, εφαρμόζοντας τον τύπο:

10C2 = 10! / (10-2)! 2! = 180 διαφορετικά ζεύγη.

Βιβλιογραφικές αναφορές:

• Brualdi, R. ΠΡΟΣ ΤΗΝ. (2010), Εισαγωγικό Συνδυαστικό (5η έκδοση), Pearson Prentice Hall.
• από τον Finetti, B. (1970). "Λογικές βάσεις και μέτρηση υποκειμενικής πιθανότητας". Acta Psychologica.
• Hogg, R. V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Εισαγωγή στη Μαθηματική Στατιστική (6η έκδοση). Ποταμός Upper Saddle: Pearson.
• Mazur, D. Ρ. (2010), Combinatorics: A Guided Tour, Mathematical Association of America,
• Ryser, Η. Ι. (1963), Συνδυαστικά Μαθηματικά, The Carus Mathematical Monographs 14, Mathematical Association of America.