Sünnipäeva paradoks: mis see on ja kuidas seda seletada

Kujutagem ette, et oleme koos seltskonnaga näiteks perekokkutulekul, algklasside kokkutulekul või lihtsalt baaris jooki võtmas. Oletame, et seal on umbes 25 inimest.

Müra ja pealiskaudsete vestluste vahel oleme veidi katkenud ja hakanud mõtlema oma asju ja järsku küsime endalt: kui suur peab olema tõenäosus, et nende inimeste seas on kahel inimesel sünnipäev samal päeval?

Sünnipäeva paradoks on matemaatiline tõde, vastupidiselt meie sisetundele, mille kohaselt on vaja väga vähe inimesi, et peaaegu juhuslikult oleks kahel neist sama sünnipäev. Proovime seda kurioosset paradoksi põhjalikumalt mõista.

• Seotud artikkel: "Loogilis-matemaatiline intelligentsus: mis see on ja kuidas seda parandada?"

Sünnipäeva paradoks

Sünnipäevaparadoks on matemaatiline tõde, mis kinnitab, et kõigest 23 inimesest koosnevas grupis on tõenäosus, mis on lähedane juhusele, täpsemalt 50,7%. et vähemalt kahel neist inimestest on sama sünnipäev. Selle matemaatilise väite populaarsuse põhjuseks on üllatav tõsiasi, et nii vähe on vaja. inimestel on üsna kindel võimalus, et neil on nii mitmekesisel sündmusel nagu sünnipäev.

Kuigi seda matemaatilist fakti nimetatakse paradoksiks, ei ole see kitsas mõttes nii. See on pigem paradoks, kuivõrd uudishimulikuks osutub, kuna see on täiesti vastuolus terve mõistusega. Kui kelleltki küsitakse, kui palju inimesi nende arvates kulub selleks, et neil kahel samal päeval sünnipäev oleks, kipuvad inimesed intuitiivselt andma 183, st poole 365-st.

Selle väärtuse taga on mõte, et tavalise aasta päevade arvu poole võrra vähendamisel saadakse 50% lähedase tõenäosuse olemasoluks vajalik miinimum.

Kuid, pole üllatav, et sellele küsimusele vastates antakse nii kõrgeid väärtusi, kuna inimesed saavad probleemist sageli valesti aru. Sünnipäevaparadoks ei viita tõenäosusele, mille suhtes konkreetsel inimesel sünnipäev on rühmas teine, kuid nagu oleme kommenteerinud, on tõenäosus, et kahel grupi inimesel on sama sünnipäev päeval.

Nähtuse matemaatiline seletus

Selle üllatava matemaatilise tõe mõistmiseks tuleb esimese asjana meeles pidada, et sama sünnipäevaga paaride leidmiseks on palju võimalusi.

Esmapilgul võiks arvata, et 23 päeva ehk siis bändiliikmete 23. sünnipäev on liiga väike osa erinevate päevade võimalikust arvust, 365 päeva mitteliigaastast või 366 liigaaastatel, justkui ootaks kordusi. See mõtlemine on tõepoolest täpne, kuid ainult siis, kui eeldame, et see kordub konkreetsel päeval. See tähendab, ja nagu me juba kommenteerisime, peaksime koguma palju inimesi, et oleks veel üks võimalus või vähem ligi 50% mõnest grupi liikmest meiega koos sünnipäeva pidamas, kui öelda a näide.

Sünnipäevaparadoksis tekivad aga igasugused kordused. See tähendab, kui palju inimesi on vaja selleks, et kahel neist inimestest oleks samal päeval sünnipäev, olenemata sellest, kas inimene või päevad on mis tahes. Et seda mõista ja matemaatiliselt näidata, Järgmisena näeme põhjalikumalt paradoksi taga olevat protseduuri.

• Teid võivad huvitada: "12 uudishimu inimmõistuse kohta"

Võimaliku sobitamise võimalus

Kujutagem ette, et meil on toas ainult kaks inimest. Need kaks inimest, C1 ja C2, võiksid moodustada ainult paari (C1=C2), kellega meil on ainult üks paar, kus sünnipäev võib korduda. Kas neil on sünnipäev samal päeval või ei ole neil sama sünnipäev, muid alternatiive pole..

Selle fakti matemaatiliseks kinnitamiseks on meil järgmine valem:

(Inimeste arv x võimalikud kombinatsioonid)/2 = võimaliku kokkulangevuse võimalused.

Sel juhul oleks see järgmine:

(2 x 1)/2 = 1 võimaliku matši võimalus

Mis juhtub, kui kahe inimese asemel on kolm? Mänguvõimalused ulatuvad kolmeni, tänu sellele, et nende kolme inimese vahel saab moodustada kolm paari (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Matemaatiliselt on meil esitatud:

(3 inimest X 2 võimalikku kombinatsiooni)/2 = 3 võimaliku kokkulangevuse võimalust

Nelja puhul on kuus võimalust, mis nende vahel kokku langevad:

(4 inimest X 3 võimalikku kombinatsiooni)/2 = 6 võimaliku sobitamise võimalust

Kui läheme kümnele inimesele, on meil palju rohkem võimalusi:

(10 inimest X 9 võimalikku kombinatsiooni)/2 = 45

23 inimesega on (23×22)/2 = 253 erinevat paari, igaüks neist kandideerib oma kahele liikmele samal päeval sünnipäevaks, andes endale sünnipäeva paradoksi ja omades rohkem võimalusi sünnipäeva kokkulangemiseks.

tõenäosuse hinnang

Me hakkame arvutama, kui suur on tõenäosus, et grupis, mille suurus on n, on kaks inimest, mis iganes nad ka poleks, on nende sünnipäev samal päeval. Selle konkreetse juhtumi puhul jätame liigaastad ja kaksikud kõrvale, eeldades, et on 365 sünnipäeva, millel on sama tõenäosus.

Laplace'i reegli ja kombinatoorika kasutamine

Esiteks peame arvutama tõenäosuse, et n inimesel on erinevad sünnipäevad. See tähendab, et me arvutame tõenäosuse, mis on vastupidine sünnipäeva paradoksis märgitule. Selle jaoks, Arvutuste tegemisel peame arvestama kahe võimaliku sündmusega.

Sündmus A = {kaks inimest tähistavad oma sünnipäeva samal päeval} Täiendab sündmust A: A^c = {kaks inimest ei tähista oma sünnipäeva samal päeval}

Võtame konkreetse juhtumina viieliikmelise rühma (n=5)

Võimalike juhtumite arvu arvutamiseks kasutame järgmist valemit:

aasta päevad^n

Arvestades, et tavalises aastas on 365 päeva, on võimalike sünnipäeva tähistamise juhtude arv:

365^5 = 6,478 × 10^12

Esimene meie valitud inimestest võis sündida, nagu on loogiline arvata, igal 365 päeval aastas. Järgmine võis sündida mõne ülejäänud 364 päeva jooksul, ja järgmine võib olla sündinud mõne ülejäänud 363 päeva jooksul jne.

Sellest tuleneb järgmine arvutus: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6303 × 10^12, mis annab kui Tulemuseks on nende juhtumite arv, kus selles 5-liikmelises rühmas ei ole kahte ühesugusena sündinud inimest päeval.

Rakendades Laplace'i reeglit, arvutaksime:

P (A^c) = soodsad juhtumid / võimalikud juhtumid = 6,303 / 6,478 = 0,973

See tähendab, et tõenäosus, et kahel inimesel 5-liikmelises grupis ei ole samal päeval sünnipäev, on 97,3%.. Nende andmetega saame võimaluse, et kahel inimesel on sünnipäev samal päeval, saades täiendava väärtuse.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Seega on sellest välja võetud, et tõenäosus, et viieliikmelises grupis on kahel samal päeval sünnipäev, on vaid 2,7%.

Sellest aru saades saame valimi suurust muuta. Tõenäosuse, et vähemalt kahel inimesel on n-liikmelisel koosviibimisel sama sünnipäev, saab arvutada järgmise valemiga:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

Kui n on 23, on tõenäosus, et vähemalt kaks neist inimestest tähistavad aastat samal päeval, 0,51.

Põhjus, miks see konkreetne valimi suurus on nii kuulsaks saanud, on see, et n = 23 on isegi tõenäosus, et vähemalt kaks inimest tähistavad sünnipäeva samal päeval.

Kui me suurendame teisi väärtusi, näiteks 30 või 50, on meil suurem tõenäosus vastavalt 0,71 ja 0,97 või mis on sama, 71% ja 97%. Kui n = 70, oleme peaaegu garanteeritud, et kaks neist langevad kokku nende sünnipäevaga, tõenäosusega 0,99916 ehk 99,9%.

Laplace'i reegli ja tootereegli kasutamine

Veel üks mitte nii kaugeleulatuv viis probleemi mõistmiseks on esitada see järgmiselt.

Kujutagem ette, et 23 inimest on ühes toas koos ja me tahame välja arvutada tõenäosus, et nad ei jaga sünnipäevi.

Oletame, et ruumis on ainult üks inimene. Tõenäosus, et kõigil ruumis viibijatel on erinevad sünnipäevad, on ilmselgelt 100%, st tõenäosus 1. Põhimõtteliselt on see inimene üksi ja kuna kedagi teist seal pole, ei lange tema sünnipäev kellegi teise omaga kokku.

Nüüd astub sisse teine ​​inimene ja seetõttu on ruumis kaks inimest. Tõenäosus, et tema sünnipäev erineb esimesest inimesest, on 364/365, see on 0,9973 ehk 99,73%.

Sisestage kolmas. Tõenäosus, et tal on teistsugune sünnipäev kui kahel teisel enne teda sisenenud inimesel, on 363/365. Koefitsient, et kõigil kolmel on erinev sünnipäev, on 364/365 korda 363/365 ehk 0,9918.

Seega on 23 erineva sünnipäevaga inimese valikud 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, mille tulemuseks on 0,493.

Teisisõnu, on 49,3% tõenäosus, et ühelgi kohalolijatel ei ole samal päeval sünnipäev ja seega ka vastupidi, selle protsendi komplementaarsust arvutades on 50,7% tõenäosus, et vähemalt kaks neist jagavad sünnipäev

Erinevalt sünnipäeva paradoksist on tõenäosus, et keegi ruumis n inimest sünnipäev konkreetse inimesega samal päeval, näiteks meie ise, juhuks kui me seal viibime, on antud järgmise valemiga.

1- (364/365)^n

Kui n = 23, annaks see umbes 0,061 tõenäosuse (6%), mis nõuab vähemalt n = 253, et saada väärtus, mis on lähedane 0,5 või 50%.

Paradoks tegelikkuses

On mitmeid olukordi, kus näeme, et see paradoks on täidetud. Siin paneme kaks tõelist juhtumit.

Esimene on Hispaania kuningate oma. Arvestades Kastiilia ja Aragóni katoliku monarhide valitsemisajast kuni Hispaania Felipe VI valitsemiseni, on meil 20 seaduslikku monarhi. Nende kuningate hulgast leiame üllatuslikult kaks paari, kelle sünnipäevad langevad kokku: Carlos II koos Carlos IV-ga (11. november) ja José I koos Juan Carlos I-ga (5. jaanuar). Võimalus, et sama sünnipäevaga monarhe oli ainult üks paar, võttes arvesse, et n = 20, on

Teine tõsine juhtum on 2019. aasta Eurovisiooni suurfinaal. Selle aasta finaalis, mis peeti Iisraelis Tel Avivis, osales 26 riiki, neist 24 Nad saatsid kas soololauljaid või rühmitusi, kus laulja kuju sai erilise rolli. Nende hulgas sattusid sünnipäevale kaks lauljat: Iisraeli esindaja Kobi Marimi ja Šveitsist pärit Luca Hänni, kes mõlemad tähistavad oma sünnipäeva 8. oktoobril.

Bibliograafilised viited:

• Abramson, M.; Moser, W. KAS. J. (1970). "Veel sünnipäeva üllatusi". Ameerika matemaatika kuukiri. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Bloom, d. (1973). "Sünnipäeva probleem". Ameerika matemaatika kuukiri. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkin, M.; Newman, D. (1967). "Sünnipäevaüllatuse pikendused". Journal of Combinatorial Theory. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9