Loendamistehnikad: tüübid, nende kasutamine ja näited

Matemaatikamaailm, sama põnev, on ka keeruline, kuid võib-olla tänu keerukusele saame igapäevaselt tulemuslikumalt ja tulemuslikumalt hakkama.

Loendamistehnikad on matemaatilised meetodid, mis võimaldavad meil teada, kui palju erinevaid kombinatsioone või valikuid on sama objektigrupi elementidel.

• Soovitatav artikkel: "Psühhomeetria: mis see on ja mille eest see vastutab?"

Need tehnikad võimaldavad kiirendada väga olulisel viisil, teades, kui palju on erinevaid esemeid järjestuste või kombinatsioonide valmistamiseks, kaotamata kannatlikkust või mõistust. Vaatame lähemalt, mis need on ja milliseid kasutatakse kõige rohkem.

Loendamistehnikad: mis need on?

Loendamistehnikad on tõenäosuses ja statistikas kasutatavad matemaatilised strateegiad, mis võimaldavad määrata hulga või komplektide kombinatsioonide loomise tulemuste koguarv objektid. Seda tüüpi tehnikaid kasutatakse siis, kui on praktiliselt võimatu või liiga raske teha erinevatest elementidest kombinatsioone käsitsi ja teada, kui palju neist on võimalik.

Seda mõistet saab lihtsamini mõista näite abil. Kui teil on neli tooli, üks kollane, üks punane, üks sinine ja üks roheline, siis mitu kombinatsiooni neist kolmest saab kõrvuti korraldada?

Selle probleemi saaks lahendada käsitsi tehes, mõeldes sellistele kombinatsioonidele nagu sinine, punane ja kollane; sinine, kollane ja punane; punane, sinine ja kollane, punane, kollane ja sinine... Kuid see võib nõuda palju kannatlikkust ja aega ning selleks kasutaksime loendamistehnikaid, selleks on vajalik permutatsioon.

• Võite olla huvitatud lugemisest: "Normaalne jaotus: mis see on, omadused ja näited statistikas"

Viis tüüpi loendamistehnikaid

Peamised loendamistehnikad on järgmised viis, ehkki mitte ainsad, millel kõigil on oma eripära ja mida kasutatakse vastavalt nõuetele, et teada saada, kui palju esemekomplektide kombinatsioone on võimalik.

Tegelikult võib seda tüüpi tehnikaid jagada vastavalt keerukusele kahte rühma, millest üks koosneb multiplikatiivne põhimõte ja aditiivne põhimõte ning teine, mis koosneb kombinatsioonidest ja permutatsioonid.

1. Korrutava printsiibi

Seda tüüpi loendamistehnika koos lisandprintsiibiga võimaldab hõlpsalt ja praktiliselt mõista, kuidas need matemaatilised meetodid toimivad.

Kui üks sündmus, nimetagem seda N1, võib toimuda mitmel viisil ja teine ​​sündmus, N2, võib esineda mitmel viisil, siis sündmused koos võivad toimuda N1 x N2 viisil.

Seda põhimõtet kasutatakse juhul, kui tegevus on järjestikune, see tähendab, et see koosneb sündmustest, mis toimuvad korrapäraselt, näiteks maja ehitamine, diskos tantsusammude valimine või järjekord, mida järgitakse a pirukas.

Näiteks:

Restoranis koosneb menüü pearoast, teisest ja magustoidust. Pearoogade jaoks on meil 4, sekunditeks 5 ja magustoitude puhul 3.

Niisiis, N1 = 4; N2 = 5 ja N3 = 3.

Seega oleksid selle menüü pakutavad kombinatsioonid 4 x 5 x 3 = 60

2. Lisandiprintsiip

Sel juhul juhtub iga sündmuse alternatiivide korrutamise asemel see, et lisatakse erinevad võimalused, kuidas need toimuvad.

See tähendab, et kui esimene tegevus võib toimuda M-viisil, teine ​​N-s ja kolmas L, siis selle põhimõtte kohaselt oleks see M + N + L.

Näiteks:

Tahame osta šokolaadi, supermarketis on kolm kaubamärki: A, B ja C.

Šokolaadi A müüakse kolmes maitses: must, piim ja valge, lisaks sellele, et mõlemal neist on võimalus ilma suhkruta või koos suhkruga.

Šokolaadi B müüakse kolmes maitses, mustas, piimas või valges, võimalusega kas sarapuupähkleid või mitte, suhkruga või ilma.

Šokolaadi C müüakse kolmes maitses, mustas, piimas ja valges. Võimalik on sarapuupähkleid, maapähkleid, karamelli või mandleid, kuid kõik koos suhkruga.

Selle põhjal tuleb vastata küsimusele: mitu erinevat sorti šokolaadi saab osta?

W = šokolaadi A valimise viiside arv

Y = šokolaadi B valimise viiside arv

Z = šokolaadi C valimise viiside arv

Järgmine samm on lihtne korrutamine.

W = 3 x 2 = 6.

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 erinevat šokolaadisorti.

Selleks, et teada saada, kas kasutada korrutavat või lisanduvat printsiipi, on peamine vihje selles, kas tegemist on kõnealuse tegevusega Sellel tuleb läbi viia rida samme, nagu juhtus menüüga, või on mitu võimalust, näiteks šokolaad.

3. Permutatsioonid

Enne permutatsioonide mõistmise mõistmist on oluline mõista kombinatsiooni ja permutatsiooni erinevust.

Kombinatsioon on elementide paigutus, mille järjekord pole oluline või mis ei muuda lõpptulemust.

Teisalt oleks permutatsioonis paigutatud mitu elementi, milles on oluline arvestada nende järjekorda või asendit.

Permutatsioonides on n erinevat elementi ja neist valitakse arv, mis oleks r.

Kasutatav valem oleks järgmine: nPr = n! / (N-r)!

Näiteks:

Seal on 10-liikmeline rühm ja on iste, kuhu mahub ainult viis, mitu võimalust nad saavad istuda?

Tehakse järgmist:

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30 240 erinevat viisi panga hõivamiseks.

4. Permutatsioonid koos kordustega

Kui soovite teada objektide komplekti permutatsioonide arvu, millest mõned on samad, jätkate järgmiselt:

Võttes arvesse, et n on saadaolevad elemendid, kordasid mõned neist.

Valitud on kõik üksused n.

Kehtib järgmine valem: = n! / N1! N2... nk!

Näiteks:

Paadile saab heisata 3 punast, 2 kollast ja 5 rohelist lippu Kui palju erinevaid signaale saaks anda, kui tõstate 10 lippu, mis teil on?

10!/3!2!5! = 2520 erinevat lipukombinatsiooni.

5. Kombinatsioonid

Kombinatsioonides, erinevalt permutatsioonidega juhtunust, pole elementide järjestus oluline.

Rakendatav valem on järgmine: nCr = n! / (N-r)! R!

Näiteks:

10-liikmeline rühm soovib naabruskonda koristada ja valmistub moodustama 2-liikmelised rühmad. Mitu rühma on võimalik?

Sel juhul n = 10 ja r = 2, rakendades seega valemit:

10C2 = 10! / (10-2)! 2! = 180 erinevat paari.

Bibliograafilised viited:

• Brualdi, R. TO. (2010), sissejuhatav kombinatorika (5. trükk), Pearsoni prentice saal.
• autor: Finetti, B. (1970). "Subjektiivse tõenäosuse loogilised alused ja mõõtmine". Acta Psychologica.
• Hogg, R. V. Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Sissejuhatus matemaatilisse statistikasse (6. trükk). Ülemine sadulsõgi: Pearson.
• Mazur, D. R. (2010), Combinatorics: giidituur, Ameerika Matemaatikaühing,
• Ryser, H. J. (1963), kombinatoorne matemaatika, Caruse matemaatilised monograafiad 14, Ameerika matemaatikaühing.