Laskutekniikat: tyypit, niiden käyttö ja esimerkit

Matematiikan maailma, aivan yhtä kiehtova, on myös monimutkainen, mutta ehkä monimutkaisuutemme ansiosta voimme selviytyä päivittäisestä toiminnasta yhä tehokkaammin.

Laskentatekniikat ovat matemaattisia menetelmiä, joiden avulla voimme tietää, kuinka monta erilaista yhdistelmää tai vaihtoehtoa on saman objektiryhmän elementeissä.

• Suositeltava artikkeli: "Psykometria: mikä se on ja mistä se on vastuussa?"

Nämä tekniikat mahdollistavat nopeutumisen erittäin merkittävällä tavalla tietäen kuinka monta eri tapaa tehdä esineiden sekvenssejä tai yhdistelmiä menettämättä kärsivällisyyttä tai järkevyyttä. Katsotaanpa tarkemmin, mitä ne ovat ja mitkä ovat eniten käytettyjä.

Laskutekniikat: mitä ne ovat?

Laskentatekniikat ovat todennäköisyydessä ja tilastoissa käytettyjä matemaattisia strategioita, joiden avulla voidaan määrittää niiden tulosten kokonaismäärä, joita voi esiintyä yhdistelmien tekeminen joukon sisällä esineitä. Tämän tyyppisiä tekniikoita käytetään, kun on käytännössä mahdotonta tai liian raskasta tehdä yhdistelmiä eri elementeistä manuaalisesti ja tietää kuinka moni niistä on mahdollisia.

Tämä käsite ymmärretään helpommin esimerkin avulla. Jos sinulla on neljä tuolia, yksi keltainen, yksi punainen, yksi sininen ja yksi vihreä, kuinka monta yhdistelmää kolmesta niistä voidaan järjestää vierekkäin?

Tämä ongelma voitaisiin ratkaista tekemällä se manuaalisesti ajattelemalla yhdistelmiä, kuten sininen, punainen ja keltainen; sininen, keltainen ja punainen; punainen, sininen ja keltainen, punainen, keltainen ja sininen... Mutta tämä voi vaatia paljon kärsivällisyyttä ja aikaa, ja siihen käytämme laskentatekniikoita, tässä tapauksessa permutaatio on välttämätön.

• Saatat olla kiinnostunut lukemaan: "Normaali jakauma: mikä se on, ominaisuudet ja esimerkkejä tilastoissa"

Viisi tyyppistä laskentatekniikkaa

Tärkeimmät laskentatekniikat ovat seuraavat viisi, vaikkakaan ei ainoat, joilla kaikilla on omat erityispiirteensä ja joita vaatimusten mukaan käytetään tietämään kuinka monta esineesarjayhdistelmää on mahdollista.

Itse asiassa tämäntyyppiset tekniikat voidaan jakaa kahteen ryhmään niiden monimutkaisuuden mukaan, joista yksi koostuu - kertolasku- ja lisäysperiaate, ja toinen koostuu yhdistelmistä ja permutaatiot.

1. Kertomisen periaate

Tämäntyyppinen laskutekniikka yhdessä lisäaineperiaatteen kanssa antaa helpon ja käytännöllisen käsityksen näiden matemaattisten menetelmien toiminnasta.

Jos tapahtuma, kutsutaan sitä N1, voi tapahtua monin tavoin, ja toinen tapahtuma, N2, voi tapahtua niin monella tavalla, niin tapahtumat yhdessä voivat tapahtua N1 x N2-tavoin.

Tätä periaatetta käytetään, kun toiminta on peräkkäinen, ts. Se koostuu tapahtumista, jotka tapahtuvat järjestetyllä tavalla, kuten talon rakentaminen, tanssivaiheiden valitseminen diskossa tai järjestys, jota noudatetaan a piirakka.

Esimerkiksi:

Ravintolassa menu koostuu pääruokasta, toisesta ja jälkiruokasta. Pääruokia meillä on 4, sekunneina 5 ja jälkiruokia varten 3.

Joten N1 = 4; N2 = 5 ja N3 = 3.

Siten tämän valikon tarjoamat yhdistelmät olisivat 4 x 5 x 3 = 60

2. Lisäaineen periaate

Tässä tapauksessa jokaisen tapahtuman vaihtoehtojen kertomisen sijasta tapahtuu se, että lisätään eri tapoja, joilla ne voivat esiintyä.

Tämä tarkoittaa, että jos ensimmäinen aktiivisuus voi tapahtua M-tavalla, toinen N: ssä ja kolmas L, niin tämän periaatteen mukaan se olisi M + N + L.

Esimerkiksi:

Haluamme ostaa suklaata, supermarketissa on kolme tuotemerkkiä: A, B ja C.

Suklaata A myydään kolmessa makussa: musta, maito ja valkoinen, sen lisäksi, että jokaisella niistä on mahdollisuus ilman sokeria tai sokerin kanssa.

Suklaata B myydään kolmessa makussa, mustana, maitona tai valkoisena, vaihtoehtona olla hasselpähkinöitä tai ei, sokerin kanssa tai ilman.

Suklaata C myydään kolmessa makussa, mustana, maitona ja valkoisena, ja mahdollisuus saada hasselpähkinöitä, maapähkinöitä, karamellia tai manteleita, mutta kaikki sokerin kanssa.

Tämän perusteella on vastattava kysymykseen: kuinka monta eri suklaalajiketta voi ostaa?

W = tapojen määrä valita suklaa A.

Y = tapojen määrä valita suklaa B.

Z = tapojen määrä valita suklaa C.

Seuraava vaihe on yksinkertainen kertolasku.

L = 3 x 2 = 6.

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 erilaista suklaalajiketta.

Jos haluat tietää, käytetäänkö multiplikatiivista vai additiivista periaatetta, tärkein vihje on, onko kyseessä kyseinen toiminta Se on suoritettava useita vaiheita, kuten valikon tapauksessa, tai on olemassa useita vaihtoehtoja, kuten suklaan tapauksessa.

3. Permutaatiot

Ennen kuin ymmärrät miten permutaatiot tehdään, on tärkeää ymmärtää ero yhdistelmän ja permutaation välillä.

Yhdistelmä on elementtien järjestely, jonka järjestys ei ole tärkeä tai ei muuta lopputulosta.

Toisaalta permutaatiossa olisi useiden elementtien järjestely, jossa on tärkeää ottaa huomioon niiden järjestys tai sijainti.

Permutaatioissa on n lukumäärää erilaisia ​​elementtejä ja niistä valitaan joukko, joka olisi r.

Käytettävä kaava olisi seuraava: nPr = n! / (N-r)!

Esimerkiksi:

Siellä on 10 hengen ryhmä ja on paikka, johon mahtuu vain viisi, kuinka monella tavalla he voivat istua?

Tehdään seuraava:

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30240 erilaista tapaa miehittää pankki.

4. Permutaatiot toistolla

Kun haluat tietää objektijoukon permutaatioiden määrän, joista osa on samat, toimi seuraavasti:

Kun otetaan huomioon, että n on käytettävissä olevia elementtejä, jotkut niistä toistuvat.

Kaikki kohteet n on valittu.

Seuraava kaava pätee: = n! / N1! N2... nk!

Esimerkiksi:

Veneessä voidaan nostaa 3 punaista, 2 keltaista ja 5 vihreää lippua. Kuinka monta erilaista signaalia voitaisiin antaa nostamalla 10 lippua, jotka sinulla on?

10!/3!2!5! = 2520 erilaista lippuyhdistelmää.

5. Yhdistelmät

Yhdistelmissä, toisin kuin permutaatioilla tapahtui, elementtien järjestys ei ole tärkeä.

Käytettävä kaava on seuraava: nCr = n! / (N-r)! R!

Esimerkiksi:

10 hengen ryhmä haluaa siivota naapuruston ja valmistautuu muodostamaan ryhmät, joissa kussakin on 2 jäsentä. Kuinka monta ryhmää on mahdollista?

Tällöin n = 10 ja r = 2, jolloin käytetään kaavaa:

10C2 = 10! / (10-2)! 2! = 180 erilaista paria.

Bibliografiset viitteet:

• Brualdi, R. TO. (2010), Introductory Combinatorics (5. painos), Pearson Prentice Hall.
• kirjoittanut Finetti, B. (1970). "Loogiset perustelut ja subjektiivisen todennäköisyyden mittaus". Acta Psychologica.
• Hogg, R. V. Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Johdatus matemaattiseen tilastoon (6. painos). Yläsatulajoki: Pearson.
• Mazur, D. R. (2010), Combinatorics: Opastettu kierros, Amerikan matemaattinen yhdistys,
• Ryser, H. J. (1963), Combinatorial Mathematics, Carus Mathematical Monographs 14, Mathematical Association of America.