Techniques de comptage: types, comment les utiliser et exemples

Le monde des mathématiques, tout aussi fascinant est aussi compliqué, mais peut-être grâce à sa complexité, nous pouvons faire face au quotidien de manière plus efficace et efficiente.

Les techniques de comptage sont des méthodes mathématiques qui nous permettent de connaître le nombre de combinaisons ou d'options différentes d'éléments au sein d'un même groupe d'objets.

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Ces techniques permettent d'accélérer de manière très significative sachant combien il y a de manières différentes de faire des séquences ou des combinaisons d'objets, sans perdre patience ou raison. Regardons de plus près ce qu'ils sont et lesquels sont les plus utilisés.

Techniques de comptage: quelles sont-elles ?

Les techniques de comptage sont des stratégies mathématiques utilisées en probabilité et en statistique qui permettent de déterminer la nombre total de résultats pouvant provenir de combinaisons au sein d'un ou de plusieurs ensembles de objets. Ces types de techniques sont utilisées lorsqu'il est pratiquement impossible ou trop lourd de réaliser manuellement des combinaisons de différents éléments et de savoir combien d'entre eux sont possibles.

Ce concept sera compris plus facilement à travers un exemple. Si vous avez quatre chaises, une jaune, une rouge, une bleue et une verte, combien de combinaisons de trois d'entre elles peuvent être disposées côte à côte ?

Ce problème pourrait être résolu en le faisant manuellement, en pensant à des combinaisons telles que le bleu, le rouge et le jaune; bleu, jaune et rouge; rouge, bleu et jaune, rouge, jaune et bleu... Mais cela peut demander beaucoup de patience et de temps, et pour cela on utiliserait des techniques de comptage, pour ce cas une permutation est nécessaire.

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Les cinq types de techniques de comptage

Les principales techniques de comptage sont les cinq, bien que pas les seuls, chacun avec ses propres particularités et utilisé selon les exigences pour savoir combien de combinaisons d'ensembles d'objets sont possibles.

En fait, ce type de techniques peut être divisé en deux groupes, selon leur complexité, l'un étant constitué de le principe multiplicatif et le principe additif, et l'autre, étant fait de combinaisons et permutations.

1. Principe multiplicatif

Ce type de technique de comptage, associé au principe additif, permet une compréhension simple et pratique du fonctionnement de ces méthodes mathématiques.

Si un événement, appelons-le N1, peut se produire de plusieurs façons et qu'un autre événement, N2, peut se produire d'autant de façons, alors les événements ensemble peuvent se produire de N1 x N2 façons.

Ce principe est utilisé lorsque l'action est séquentielle, c'est-à-dire qu'elle est constituée d'événements qui se déroulent de manière ordonnée, comme la construction d'une maison, le choix des pas de danse dans une discothèque ou l'ordre qui sera suivi pour préparer un tarte.

Par exemple:

Dans un restaurant, le menu se compose d'un plat principal, d'un second et d'un dessert. Pour les plats principaux nous en avons 4, pour les secondes il y en a 5 et pour les desserts il y en a 3.

Donc, N1 = 4; N2 = 5 et N3 = 3.

Ainsi, les combinaisons proposées par ce menu seraient 4 x 5 x 3 = 60

2. Principe additif

Dans ce cas, au lieu de multiplier les alternatives pour chaque événement, ce qui se passe, c'est que les différentes manières dont elles peuvent se produire sont additionnées.

Cela signifie que si la première activité peut se dérouler de M ​​façons, la deuxième en N et la troisième L, alors, selon ce principe, ce serait M + N + L.

Par exemple:

Nous voulons acheter du chocolat, il y a trois marques au supermarché: A, B et C.

Le chocolat A est vendu en trois saveurs: noir, lait et blanc, en plus d'avoir l'option sans ou avec sucre pour chacun d'eux.

Le chocolat B se décline en trois parfums, noir, lait ou blanc, avec la possibilité d'avoir des noisettes ou non, et avec ou sans sucre.

Le chocolat C se décline en trois parfums, noir, lait et blanc, avec la possibilité d'avoir des noisettes, des cacahuètes, du caramel ou des amandes, mais le tout avec du sucre.

Sur cette base, la question à laquelle il faut répondre est: combien de variétés différentes de chocolat peut-on acheter ?

W = nombre de façons de sélectionner le chocolat A.

Y = nombre de façons de sélectionner le chocolat B.

Z = nombre de façons de sélectionner le chocolat C.

La prochaine étape est la multiplication simple.

L = 3 x 2 = 6.

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 variétés différentes de chocolat.

Pour savoir s'il faut utiliser le principe multiplicatif ou additif, le principal indice est de savoir si l'activité en question Il a une série d'étapes à effectuer, comme c'était le cas avec le menu, ou il y a plusieurs options, comme le chocolat.

3. Permutation

Avant de comprendre comment faire les permutations, il est important de comprendre la différence entre une combinaison et une permutation.

Une combinaison est un arrangement d'éléments dont l'ordre n'a pas d'importance ou ne change pas le résultat final.

En revanche, dans une permutation, il y aurait un agencement de plusieurs éléments dont il est important de prendre en compte leur ordre ou leur position.

Dans les permutations, il y a n nombre d'éléments différents et un certain nombre d'entre eux est sélectionné, ce qui serait r.

La formule qui serait utilisée serait la suivante: nPr = n!/(N-r)!

Par exemple:

Il y a un groupe de 10 personnes et il y a un siège qui ne peut en accueillir que cinq, de combien de façons peuvent-ils s'asseoir ?

Ce qui suit serait fait :

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30 240 façons différentes d'occuper la banque.

4. Permutations avec répétition

Lorsque vous voulez connaître le nombre de permutations dans un ensemble d'objets, dont certains sont les mêmes, vous procédez comme suit :

En tenant compte du fait que n sont les éléments disponibles, certains d'entre eux sont répétés.

Tous les éléments n sont sélectionnés.

La formule suivante s'applique: = n! / N1! N2... nk!

Par exemple:

3 drapeaux rouges, 2 jaunes et 5 verts peuvent être hissés sur un bateau Combien de signaux différents pourraient être émis en levant les 10 drapeaux que vous avez ?

10!/3!2!5! = 2 520 combinaisons de drapeaux différentes.

5. Combinaisons

Dans les combinaisons, contrairement à ce qui s'est passé avec les permutations, l'ordre des éléments n'a pas d'importance.

La formule à appliquer est la suivante: nCr = n! / (N-r)! R!

Par exemple:

Un groupe de 10 personnes souhaite nettoyer le quartier et se prépare à former des groupes de 2 membres chacun.Combien de groupes sont possibles ?

Dans ce cas, n = 10 et r = 2, donc en appliquant la formule :

10C2 = 10! / (10-2)! 2! = 180 paires différentes.

Références bibliographiques:

• Brualdi, R. À. (2010), Introductory Combinatorics (5e éd.), Pearson Prentice Hall.
• par Finetti, B. (1970). « Fondements logiques et mesure de la probabilité subjective ». Acta Psychologica.
• Hogg, R. V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introduction à la statistique mathématique (6e éd.). Rivière supérieure de la selle: Pearson.
• Mazur, D. R. (2010), Combinatorics: A Guided Tour, Mathematical Association of America,
• Ryser, H. J. (1963), Mathématiques combinatoires, The Carus Mathematical Monographs 14, Mathematical Association of America.