गिनती तकनीक: प्रकार, उनका उपयोग कैसे करें और उदाहरण

गणित की दुनिया जितनी आकर्षक है, उतनी ही जटिल भी है, लेकिन शायद इसकी जटिलता के कारण हम दिन-प्रतिदिन अधिक प्रभावी और कुशलता से सामना कर सकते हैं।

काउंटिंग तकनीक गणितीय तरीके हैं जो हमें यह जानने की अनुमति देते हैं कि वस्तुओं के एक ही समूह के तत्वों के कितने अलग संयोजन या विकल्प हैं।

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ये तकनीकें धैर्य या विवेक को खोए बिना, वस्तुओं के अनुक्रम या संयोजन बनाने के कितने अलग-अलग तरीके हैं, यह जानने के लिए बहुत महत्वपूर्ण तरीके से गति करना संभव बनाती हैं। आइए देखें कि वे क्या हैं और कौन से सबसे अधिक उपयोग किए जाते हैं।

गिनती तकनीक: वे क्या हैं?

काउंटिंग तकनीक गणितीय रणनीतियाँ हैं जिनका उपयोग संभाव्यता और आँकड़ों में किया जाता है जो निर्धारित करने की अनुमति देते हैं परिणामों की कुल संख्या जो. के सेट या सेट के भीतर संयोजन बनाने से हो सकती है वस्तुओं। इस प्रकार की तकनीकों का उपयोग तब किया जाता है जब विभिन्न तत्वों के संयोजन को मैन्युअल रूप से बनाना व्यावहारिक रूप से असंभव या बहुत भारी होता है और यह जानने के लिए कि उनमें से कितने संभव हैं।

इस अवधारणा को एक उदाहरण के द्वारा और आसानी से समझा जा सकेगा. यदि आपके पास चार कुर्सियाँ हैं, एक पीली, एक लाल, एक नीली और एक हरी, तो उनमें से तीन के कितने संयोजनों को साथ-साथ व्यवस्थित किया जा सकता है?

नीले, लाल और पीले जैसे संयोजनों के बारे में सोचकर, इसे मैन्युअल रूप से करने से इस समस्या को हल किया जा सकता है; नीला, पीला और लाल; लाल, नीला और पीला, लाल, पीला और नीला... लेकिन इसके लिए बहुत धैर्य और समय की आवश्यकता हो सकती है, और इसके लिए हम गिनती तकनीकों का उपयोग करेंगे, इस मामले में क्रमपरिवर्तन आवश्यक है।

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पांच प्रकार की गिनती तकनीक

मुख्य मतगणना तकनीक निम्नलिखित पाँच हैं, हालांकि केवल एक ही नहीं, प्रत्येक की अपनी विशिष्टताओं के साथ और यह जानने के लिए आवश्यकताओं के अनुसार उपयोग किया जाता है कि वस्तुओं के सेट के कितने संयोजन संभव हैं।

दरअसल, इस प्रकार की तकनीकों को उनकी जटिलता के आधार पर दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से एक का निर्माण किया जा रहा है गुणक सिद्धांत और योगात्मक सिद्धांत, और दूसरा, संयोजनों से बना है और क्रमपरिवर्तन।

1. गुणन सिद्धांत

इस प्रकार की गणना तकनीक, योगात्मक सिद्धांत के साथ, एक आसान और व्यावहारिक समझ की अनुमति देती है कि ये गणितीय तरीके कैसे काम करते हैं।

यदि एक घटना, मान लें कि इसे N1 कहते हैं, कई तरीकों से घटित हो सकती है, और दूसरी घटना, N2, कई तरह से घटित हो सकती है, तो घटनाएँ एक साथ N1 x N2 तरीकों से घटित हो सकती हैं।

इस सिद्धांत का उपयोग तब किया जाता है जब क्रिया अनुक्रमिक होती है, अर्थात यह उन घटनाओं से बनी होती है जो एक व्यवस्थित तरीके से घटित होती हैं, जैसे कि घर का निर्माण, डिस्को में डांस स्टेप्स चुनना या तैयार करने के लिए पालन किया जाने वाला क्रम पाई।

उदाहरण के लिए:

एक रेस्तरां में, मेनू में एक मुख्य पाठ्यक्रम, दूसरा और मिठाई शामिल है। मुख्य व्यंजनों के लिए हमारे पास 4, सेकंड के लिए 5 और डेसर्ट के लिए 3 हैं।

तो, N1 = 4; N2 = 5 और N3 = 3।

इस प्रकार, इस मेनू द्वारा प्रस्तुत संयोजन 4 x 5 x 3 = 60. होंगे

2. योजक सिद्धांत

इस मामले में, प्रत्येक घटना के लिए विकल्पों को गुणा करने के बजाय, क्या होता है कि वे विभिन्न तरीकों से जुड़ सकते हैं।

इसका अर्थ यह है कि यदि पहली गतिविधि M तरीके से हो सकती है, दूसरी N में और तीसरी L में हो सकती है, तो इस सिद्धांत के अनुसार, यह M + N + L होगी।

उदाहरण के लिए:

हम चॉकलेट खरीदना चाहते हैं, सुपरमार्केट में तीन ब्रांड हैं: ए, बी और सी।

चॉकलेट ए को तीन स्वादों में बेचा जाता है: काला, दूध और सफेद, इनमें से प्रत्येक के लिए बिना या चीनी के विकल्प होने के अलावा।

चॉकलेट बी तीन स्वादों में बेचा जाता है, काला, दूध या सफेद, हेज़लनट्स होने या न होने के विकल्प के साथ, और चीनी के साथ या बिना।

चॉकलेट सी तीन स्वादों में बेचा जाता है, काले, दूध और सफेद, हेज़लनट्स, मूंगफली, कारमेल या बादाम रखने के विकल्प के साथ, लेकिन सभी चीनी के साथ।

इसके आधार पर, इस प्रश्न का उत्तर दिया जाना है: चॉकलेट की कितनी अलग-अलग किस्में खरीदी जा सकती हैं?

डब्ल्यू = चॉकलेट ए चुनने के तरीकों की संख्या।

वाई = चॉकलेट बी चुनने के तरीकों की संख्या।

Z = चॉकलेट सी चुनने के तरीकों की संख्या।

अगला चरण सरल गुणा है।

डब्ल्यू = 3 x 2 = 6.

वाई = 3 x 2 x 2 = 12.

जेड = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 विभिन्न प्रकार की चॉकलेट।

यह जानने के लिए कि क्या गुणक या योगात्मक सिद्धांत का उपयोग करना है, मुख्य सुराग यह है कि क्या गतिविधि प्रश्न में है इसमें चरणों की एक श्रृंखला है, जैसा कि मेनू के मामले में था, या कई विकल्प हैं, जैसा कि चॉकलेट के मामले में है।

3. क्रमपरिवर्तन

क्रमपरिवर्तन कैसे करें, यह समझने से पहले, संयोजन और क्रमपरिवर्तन के बीच के अंतर को समझना महत्वपूर्ण है।

एक संयोजन तत्वों की एक व्यवस्था है जिसका क्रम महत्वपूर्ण नहीं है या अंतिम परिणाम नहीं बदलता है।

दूसरी ओर, क्रमचय में कई तत्वों की व्यवस्था होगी जिसमें उनके क्रम या स्थिति को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है।

क्रमपरिवर्तन में, विभिन्न तत्वों की संख्या n होती है और उनमें से कई का चयन किया जाता है, जो r होगा।

उपयोग किया जाने वाला सूत्र निम्नलिखित होगा: nPr = n! / (N-r)!

उदाहरण के लिए:

१० लोगों का एक समूह है और एक सीट है जो केवल पाँच बैठ सकती है, वे कितने तरीकों से बैठ सकते हैं?

निम्नलिखित किया जाएगा:

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30,240 बैंक पर कब्जा करने के विभिन्न तरीके।

4. दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन

जब आप वस्तुओं के एक सेट में क्रमपरिवर्तन की संख्या जानना चाहते हैं, जिनमें से कुछ समान हैं, तो आप निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं:

यह ध्यान में रखते हुए कि n उपलब्ध तत्व हैं, उनमें से कुछ दोहराए गए हैं।

सभी आइटम n चयनित हैं।

निम्न सूत्र लागू होता है: = n! / N1! N2... nk!

उदाहरण के लिए:

एक नाव पर 3 लाल, 2 पीले और 5 हरे झंडे फहराए जा सकते हैं। आपके पास जो 10 झंडे हैं, उन्हें उठाकर कितने अलग-अलग संकेत दिए जा सकते हैं?

10!/3!2!5! = २,५२० विभिन्न ध्वज संयोजन।

5. युग्म

संयोजनों में, क्रमपरिवर्तन के साथ जो हुआ उसके विपरीत, तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है।

लागू किया जाने वाला सूत्र निम्नलिखित है: nCr = n!/(N-r)!R!

उदाहरण के लिए:

10 लोगों का एक समूह पड़ोस को साफ करना चाहता है और प्रत्येक 2 सदस्यों के समूह बनाने की तैयारी कर रहा है। कितने समूह संभव हैं?

इस मामले में, n = 10 और r = 2, इस प्रकार, सूत्र लागू करना:

१०सी२ = १०!/(१०-२)!२! = १८० विभिन्न जोड़े।

ग्रंथ सूची संदर्भ:

• ब्रुआल्डी, आर। सेवा मेरे। (२०१०), इंट्रोडक्टरी कॉम्बिनेटरिक्स (५वां संस्करण), पियर्सन अप्रेंटिस हॉल।
• फिनेटी द्वारा, बी. (1970). "तार्किक नींव और व्यक्तिपरक संभावना का मापन"। एक्टा साइकोलॉजिका।
• हॉग, आर. वी।; क्रेग, एलन; मैककेन, जोसेफ डब्ल्यू। (2004). गणितीय सांख्यिकी का परिचय (छठा संस्करण)। अपर सैडल नदी: पियर्सन।
• मजूर, डी. आर (२०१०), कॉम्बिनेटरिक्स: ए गाइडेड टूर, मैथमैटिकल एसोसिएशन ऑफ अमेरिका,
• रायसर, एच। जे। (1963), कॉम्बिनेटोरियल मैथमेटिक्स, द कारस मैथमैटिकल मोनोग्राफ्स 14, मैथमैटिकल एसोसिएशन ऑफ अमेरिका।