A születésnapi paradoxon: mi ez, és hogyan magyarázzuk el

Képzeljük el, hogy egy csoporttal vagyunk, például egy családi összejövetelen, egy általános osztálytalálkozón, vagy egyszerűen csak iszunk egy italt egy bárban. Tegyük fel, hogy körülbelül 25 ember van.

A zaj és a felületes beszélgetések között kicsit elszakadtunk, és elkezdtünk gondolkodni dolgokat, és hirtelen feltesszük magunknak a kérdést: mennyi annak a valószínűsége, hogy ezek közül az emberek közül két embernek van születésnapja ugyanazon a napon?

A születésnapi paradoxon matematikai igazság, ellentétben az ösztönünkkel, amely szerint nagyon kevés emberre van szükség ahhoz, hogy szinte véletlenszerű legyen, hogy kettőjük születésnapja azonos. Próbáljuk meg alaposabban megérteni ezt a furcsa paradoxont.

• Kapcsolódó cikk: "Logikai-matematikai intelligencia: mi ez és hogyan fejleszthetjük?"

A születésnapi paradoxon

A születésnapi paradoxon egy matematikai igazság, amely megállapítja, hogy egy mindössze 23 fős csoportban közel van a véletlenhez, pontosabban 50,7% a valószínűsége. hogy legalább kettőnek ugyanaz a születésnapja

. Ennek a matematikai állításnak a népszerűsége annak a meglepő ténynek köszönhető, hogy ilyen kevésre van szükség. hogy az embereknek egészen biztos esélyük legyen arra, hogy valami olyan változatos meccsen lesznek, mint egy születésnap.

Bár ezt a matematikai tényt paradoxonnak nevezik, szigorú értelemben nem az. Ez inkább paradoxon, amennyiben érdekesnek bizonyul, mivel ez teljesen ellentétes a józan ésszel. Amikor valakit megkérdeznek, szerinte hány ember kell ahhoz, hogy kettejük születésnapja ugyanazon a napon legyen, az emberek hajlamosak intuitív módon 183-at adni, vagyis a 365 felét.

Ezen érték mögött az a gondolat áll, hogy egy átlagos év napjainak felére csökkentésével megkapjuk azt a minimumot, amely ahhoz szükséges, hogy az 50%-hoz közeli valószínűség legyen.

Azonban, nem meglepő, hogy ilyen magas értékeket adnak meg a kérdés megválaszolásakor, mivel az emberek gyakran félreértik a problémát. A születésnapi paradoxon nem utal arra, hogy egy adott személynek milyen valószínűséggel van születésnapja egy másikat a csoportban, de amint azt megjegyeztük, annak az esélye, hogy a csoportban bármely két embernek ugyanaz a születésnapja nap.

A jelenség matematikai magyarázata

Ennek a meglepő matematikai igazságnak a megértéséhez először észben kell tartanunk, hogy számos lehetőség van olyan párok megtalálására, akiknek azonos születésnapjuk van.

Első pillantásra azt hinné az ember, hogy a 23 nap, vagyis a zenekar tagjainak 23. születésnapja túl kicsi a töredéke a lehetséges különálló napok számának, 365 nap egy nem szökőévben, vagy 366 szökőévben, mintha ismétlődésekre számítana. Ez a gondolkodás valóban pontos, de csak akkor, ha egy adott napon ismétlődésre számítunk. Azaz, és ahogy már megjegyeztük, nagyon sok embert kellene összegyűjteni, hogy legyen még egy lehetőség vagy kevésbé közel 50%-a a csoport valamelyik tagjának saját magunkkal szülinapot, hogy a példa.

A születésnapi paradoxonban azonban előfordulhatnak ismétlések. Vagyis hány emberre van szükség ahhoz, hogy ezek közül kettőnek ugyanazon a napon legyen a születésnapja. Megérteni és matematikailag megmutatni, A továbbiakban részletesebben meglátjuk a paradoxon mögötti eljárást.

• Érdekelheti: "12 érdekesség az emberi elméről"

Lehetséges párosítás lehetősége

Képzeljük el, hogy csak ketten vagyunk egy szobában. Ez a két ember, C1 és C2, csak egy párt alkothatott (C1=C2), amivel csak egy párunk van, amelyben ismétlődő születésnap fordulhat elő. Vagy ugyanazon a napon van a születésnapjuk, vagy nem ugyanaz, nincs más alternatíva..

Ennek a ténynek a matematikai megállapításához a következő képlet áll rendelkezésünkre:

(Emberek száma x lehetséges kombinációk)/2 = a lehetséges egybeesés lehetőségei.

Ebben az esetben ez lenne:

(2 x 1)/2 = 1 esély egy esetleges mérkőzésre

Mi történik, ha két ember helyett három lesz? A mérkőzés esélyei háromra nőnek, köszönhetően annak, hogy e három ember között három pár alakulhat ki (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Matematikailag ábrázoltuk:

(3 fő X 2 lehetséges kombináció)/2 = 3 esély egy esetleges mérkőzésre

A négynél hat lehetőség van, amelyek egybeesnek közöttük:

(4 fő X 3 lehetséges kombináció)/2 = 6 esély egy esetleges mérkőzésre

Ha tíz főre megyünk, sokkal több lehetőségünk van:

(10 fő X 9 lehetséges kombináció)/2 = 45

23 fővel (23×22)/2 = 253 különböző pár van, mindegyikük jelölt a két tagjának, hogy ugyanazon a napon szülessen születésnapot, ezzel megadva maguknak a születésnapi paradoxont, és több lehetőségük van egy születésnapi egybeesésre.

valószínűségbecslés

Kiszámoljuk, mekkora a valószínűsége annak, hogy egy n méretű csoportban kettő van, bármi legyen is, ugyanazon a napon legyen a születésnapja. Ebben a konkrét esetben el fogjuk vetni a szökőéveket és az ikreket, feltételezve, hogy 365 születésnap van, amelyeknek azonos a valószínűsége.

Laplace-szabály és kombinatorika felhasználásával

Először is ki kell számolnunk annak valószínűségét, hogy n embernek más a születésnapja. Vagyis a születésnapi paradoxonban leírtakkal ellentétes valószínűséget számolunk. Ezért, A számítások során két lehetséges eseményt kell figyelembe vennünk.

A esemény = {két ember ugyanazon a napon ünnepli a születésnapját} Az A esemény kiegészítése: A^c = {két ember nem ünnepli a születésnapját ugyanazon a napon}

Vegyünk konkrét esetnek egy ötfős csoportot (n=5)

A lehetséges esetek számának kiszámításához a következő képletet használjuk:

az év napjai^n

Figyelembe véve, hogy egy átlagos év 365 napos, a születésnapi ünnepségek lehetséges esetei a következők:

365^5 = 6,478 × 10^12

Az általunk kiválasztott emberek közül az első megszülethetett, ahogy logikus is gondolni, az év 365 napjának bármelyikén. A következő a hátralévő 364 nap valamelyikében születhetett, a következő pedig a hátralévő 363 nap valamelyikében születhetett, és így tovább.

Ebből a következő számítás következik: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6303 × 10^12, ami a következőt adja: az eredmény azoknak az eseteknek a száma, amikor az 5 fős csoportban nincs két azonos születésű személy nap.

A Laplace-szabályt alkalmazva kiszámítjuk:

P (A^c) = kedvező esetek/lehetséges esetek = 6,303 / 6,478 = 0,973

Ez azt jelenti annak az esélye, hogy az 5 fős csoportból két embernek nem ugyanazon a napon lesz születésnapja 97,3%. Ezzel az adattal azt a lehetőséget kaphatjuk meg, hogy két embernek ugyanazon a napon legyen a születésnapja, megkapva a kiegészítő értéket.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Ebből tehát azt vonják ki, hogy annak az esélye, hogy egy ötfős csoportban kettőnek ugyanazon a napon van a születésnapja, mindössze 2,7%.

Ennek megértésével megváltoztathatjuk a minta méretét. Annak a valószínűsége, hogy egy n fős összejövetelen legalább két embernek azonos születésnapja van, a következő képlettel számítható ki:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

Abban az esetben, ha n 23, annak a valószínűsége, hogy ezek közül legalább kettő ugyanazon a napon ünnepli az évet, 0,51.

Az ok, amiért ez a konkrét mintanagyság olyan híressé vált, az az, hogy n = 23-mal páros a valószínűsége annak, hogy legalább ketten ugyanazon a napon ünneplik a születésnapot.

Ha más értékekre, például 30-ra vagy 50-re emelünk, nagyobb valószínűséggel kapunk 0,71 és 0,97, vagy ami ugyanennyi, 71% és 97%. n = 70 esetén szinte garantált, hogy kettő egybeesik a születésnapjával, 0,99916 vagy 99,9%-os valószínűséggel

A Laplace-szabály és a szorzatszabály használata

A probléma megértésének egy másik, nem túl távoli módja a következőképpen felvetni.

Képzeljük el, hogy 23 ember van együtt egy szobában, és ki akarjuk számolni annak esélyét, hogy nem osztoznak a születésnapokon.

Tegyük fel, hogy csak egy ember van a szobában. Nyilvánvalóan 100%-os annak az esélye, hogy a teremben mindenkinek más születésnapja lesz, azaz 1. Alapvetően az illető egyedül van, és mivel senki más nincs ott, a születésnapja nem esik egybe senki máséval.

Most egy másik személy lép be, ezért ketten vannak a szobában. 364/365 annak az esélye, hogy más születésnapja lesz, mint az első személyé, ez 0,9973 vagy 99,73%.

Adjon meg egy harmadikat. 363/365 annak a valószínűsége, hogy más születésnapja van, mint az előtte benevezett másik két személynek. Annak az esélye, hogy mindháromnak különböző születésnapja van, 364/365-szer 363/365, vagyis 0,9918.

Tehát 23 különböző születésnappal rendelkező személy számára 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, ami 0,493-at eredményez.

Más szóval, 49,3% a valószínűsége annak, hogy a jelenlévők közül senkinek nincs születésnapja ugyanazon a napon, és ezért fordítva, ennek a százaléknak a komplementerét számolva 50,7% az esélye annak, hogy legalább ketten osztoznak születésnap

A születésnapi paradoxonnal ellentétben annak a valószínűsége, hogy egy n fős szobában bárki születésnapja ugyanazon a napon, mint egy adott személy, például magunk, ha ott vagyunk, a következő képlet adja meg.

1- (364/365)^n

n = 23 esetén körülbelül 0,061 valószínűséget adna (6%), és legalább n = 253 szükséges ahhoz, hogy 0,5 vagy 50% közeli értéket adjon.

Paradoxon a valóságban

Számos szituációban láthatjuk, hogy ez a paradoxon teljesül. Itt két valós esetet fogunk felhozni.

Az első a spanyol királyoké. Kasztília és Aragónia katolikus uralkodóinak uralkodásától a spanyol VI. Felipéig számítva 20 törvényes uralkodónk van. E királyok között meglepő módon két olyan házaspárt találunk, akiknek egybeesik a születésnapja: II. Károly IV. Carlosszal (november 11.), I. José pedig I. Juan Carlosszal (január 5.). Annak a lehetősége, hogy csak egy pár uralkodónak volt azonos születésnapja, figyelembe véve, hogy n = 20,

Egy másik valós eset a 2019-es Eurovíziós döntő. Az izraeli Tel-Avivban megrendezett döntőben 26 ország vett részt, ebből 24 Szólóénekeseket vagy csoportokat küldtek, ahol az énekes alakja különleges szerepet kapott. Közülük két énekes egybeesett születésnapjával: Izrael képviselője, Kobi Marimi és a svájci Luca Hänni, mindketten október 8-án ünneplik születésnapjukat.

Bibliográfiai hivatkozások:

• Abramson, M.; Moser, W. BÁRMELYIK. J. (1970). "További születésnapi meglepetések". Amerikai Matematikai Havilap. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Bloom, d. (1973). "Születésnapi probléma". Amerikai Matematikai Havilap. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkin, M.; Newman, D. (1967). "A születésnapi meglepetés kiterjesztései". Journal of Combinatorial Theory. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9