Paradoks ulang tahun: apa itu, dan bagaimana menjelaskannya

Bayangkan kita bersama sekelompok orang, misalnya, di reuni keluarga, reuni kelas utama, atau sekadar minum-minum di bar. Katakanlah ada sekitar 25 orang.

Antara kebisingan dan percakapan dangkal, kami telah sedikit terputus dan kami mulai memikirkan tentang kami hal-hal dan, tiba-tiba, kami bertanya pada diri sendiri: berapa probabilitas bahwa di antara orang-orang ini ada dua orang yang berulang tahun hari yang sama?

Paradoks ulang tahun adalah kebenaran matematika, bertentangan dengan insting kami, yang berpendapat bahwa sangat sedikit orang yang dibutuhkan karena ada kemungkinan yang hampir acak bahwa dua dari mereka memiliki hari ulang tahun yang sama. Mari kita coba memahami paradoks yang aneh ini dengan lebih teliti.

• Artikel terkait: "Kecerdasan logis-matematis: apa itu dan bagaimana kita bisa memperbaikinya?"

Paradoks ulang tahun

Paradoks ulang tahun adalah kebenaran matematis yang menetapkan bahwa dalam kelompok yang hanya terdiri dari 23 orang ada kemungkinan yang mendekati kebetulan, khususnya 50,7%,

bahwa setidaknya dua dari orang-orang itu memiliki hari ulang tahun yang sama. Popularitas pernyataan matematis ini disebabkan oleh fakta mengejutkan bahwa sangat sedikit yang diperlukan. orang memiliki peluang yang cukup pasti bahwa mereka akan memiliki kecocokan pada sesuatu yang beragam seperti ulang tahun.

Meskipun fakta matematis ini disebut paradoks, dalam arti sempit tidak demikian. Ini agak paradoks sejauh ternyata membuat penasaran, karena sangat bertentangan dengan akal sehat. Ketika seseorang ditanya berapa banyak orang yang menurut mereka diperlukan untuk mereka berdua berulang tahun pada hari yang sama, orang cenderung secara intuitif memberikan 183, yaitu setengah dari 365.

Pemikiran di balik nilai ini adalah bahwa dengan membagi dua jumlah hari dalam tahun biasa, diperoleh minimum yang diperlukan untuk kemungkinan mendekati 50%.

Namun, tidak mengherankan jika nilai setinggi itu diberikan saat mencoba menjawab pertanyaan ini, karena orang sering salah memahami masalah. Paradoks ulang tahun tidak merujuk pada probabilitas bahwa orang tertentu berulang tahun sehubungan dengan itu orang lain dalam kelompok, tetapi, seperti yang telah kami komentari, peluang bahwa dua orang dalam kelompok tersebut memiliki hari ulang tahun yang sama hari.

Penjelasan matematis dari fenomena tersebut

Untuk memahami kebenaran matematika yang mengejutkan ini, hal pertama yang harus dilakukan adalah mengingat bahwa ada banyak kemungkinan untuk menemukan pasangan yang memiliki tanggal lahir yang sama.

Sekilas, orang akan berpikir bahwa 23 hari, yaitu ulang tahun ke-23 anggota band, adalah terlalu kecil sebagian kecil dari kemungkinan jumlah hari yang berbeda, 365 hari dalam tahun nonkabisat, atau 366 hari dalam tahun kabisat, seolah mengharapkan pengulangan. Pemikiran ini memang akurat, tetapi hanya jika kita mengharapkan pengulangan pada hari tertentu. Artinya, dan seperti yang telah kami komentari, kami perlu mengumpulkan banyak orang sehingga akan ada satu kemungkinan lagi. atau kurang dari 50% dari salah satu anggota grup yang berulang tahun dengan diri kita sendiri, untuk menempatkan a contoh.

Namun, dalam paradoks ulang tahun, setiap pengulangan muncul. Artinya, berapa banyak orang yang dibutuhkan untuk dua orang di antara mereka yang berulang tahun pada hari yang sama, menjadi orang atau hari apa saja. Untuk memahaminya dan menunjukkannya secara matematis, Selanjutnya kita akan melihat secara lebih mendalam prosedur di balik paradoks tersebut.

• Anda mungkin tertarik pada: "12 keingintahuan tentang pikiran manusia"

Kemungkinan kemungkinan kecocokan

Bayangkan kita hanya memiliki dua orang di satu ruangan. Kedua orang ini, C1 dan C2, hanya dapat membentuk pasangan (C1=C2), yang dengannya kita hanya memiliki satu pasangan di mana ulang tahun yang berulang dapat terjadi. Entah mereka berulang tahun di hari yang sama, atau tidak berulang tahun yang sama, tidak ada alternatif lain..

Untuk menyatakan fakta ini secara matematis, kami memiliki rumus berikut:

(Jumlah orang x kemungkinan kombinasi)/2 = kemungkinan kemungkinan kebetulan.

Dalam hal ini, ini akan menjadi:

(2 x 1)/2 = 1 peluang kemungkinan pertandingan

Apa yang terjadi jika alih-alih dua orang ada tiga? Peluang pertandingan naik menjadi tiga, berkat fakta bahwa tiga pasangan dapat dibentuk di antara ketiga orang ini (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Diwakili secara matematis, kami memiliki:

(3 orang X 2 kemungkinan kombinasi)/2 = 3 peluang dari kemungkinan pertandingan

Dengan empat ada enam kemungkinan bahwa mereka bertepatan di antara mereka:

(4 orang X 3 kemungkinan kombinasi)/2 = 6 peluang kemungkinan pertandingan

Jika kita naik ke sepuluh orang, kita memiliki lebih banyak kemungkinan:

(10 orang X 9 kemungkinan kombinasi)/2 = 45

Dengan 23 orang terdapat (23×22)/2 = 253 pasangan yang berbeda, masing-masing dari mereka adalah kandidat untuk dua anggota mereka yang berulang tahun pada hari yang sama, memberi diri mereka paradoks ulang tahun dan memiliki lebih banyak kemungkinan untuk memiliki kebetulan ulang tahun.

estimasi probabilitas

Kita akan menghitung berapa probabilitas suatu kelompok dengan ukuran n terdiri dari dua orang, apapun mereka, berulang tahun di hari yang sama. Untuk kasus khusus ini, kita akan membuang tahun kabisat dan kembar, dengan asumsi ada 365 ulang tahun yang memiliki probabilitas yang sama.

Menggunakan aturan dan kombinatorika Laplace

Pertama, kita harus menghitung probabilitas bahwa n orang memiliki hari ulang tahun yang berbeda. Artinya, kami menghitung probabilitas yang berlawanan dengan apa yang dinyatakan dalam paradoks ulang tahun. Untuk ini, Kita harus memperhitungkan dua kemungkinan kejadian saat mempertimbangkan perhitungan.

Peristiwa A = {dua orang merayakan ulang tahunnya pada hari yang sama} Pelengkap acara A: A^c = {dua orang tidak merayakan ulang tahunnya pada hari yang sama}

Mari kita ambil kasus tertentu sebuah grup dengan lima orang (n=5)

Untuk menghitung jumlah kemungkinan kasus, kami menggunakan rumus berikut:

hari dalam setahun^n

Mengingat tahun normal terdiri dari 365 hari, banyaknya kasus perayaan ulang tahun yang mungkin adalah:

365^5 = 6,478 × 10^12

Orang pertama yang kami pilih mungkin lahir, seperti yang logis untuk dipikirkan, pada salah satu dari 365 hari dalam setahun. Yang berikutnya mungkin lahir di salah satu dari 364 hari yang tersisa, dan yang berikutnya mungkin lahir di salah satu dari 363 hari yang tersisa, dan seterusnya.

Dari sini ikuti perhitungan berikut: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6.303 × 10^12, yang menghasilkan sebagai hasilnya adalah jumlah kasus di mana tidak ada dua orang dalam kelompok 5 yang lahir sama hari.

Menerapkan aturan Laplace, kami akan menghitung:

P (A^c) = kasus yang menguntungkan/kemungkinan kasus = 6,303 / 6,478 = 0,973

Ini berarti bahwa peluang dua orang dalam kelompok 5 orang tidak berulang tahun pada hari yang sama adalah 97,3%. Dengan data ini, kita dapat memperoleh kemungkinan dua orang berulang tahun pada hari yang sama, memperoleh nilai komplementer.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Jadi, dari sini dapat disimpulkan bahwa peluang dalam suatu kelompok yang terdiri dari lima orang, dua di antaranya berulang tahun pada hari yang sama hanya 2,7%.

Memahami hal ini, kita dapat mengubah ukuran sampel. Probabilitas bahwa paling sedikit dua orang dalam suatu pertemuan yang terdiri dari n orang memiliki hari lahir yang sama dapat diperoleh dengan menggunakan rumus berikut:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

Dalam kasus n adalah 23, peluang paling sedikit dua orang merayakan tahun pada hari yang sama adalah 0,51.

Alasan mengapa ukuran sampel spesifik ini menjadi begitu terkenal adalah karena dengan n = 23 bahkan ada kemungkinan bahwa setidaknya dua orang merayakan ulang tahun pada hari yang sama.

Jika kita meningkatkan ke nilai lain, misalnya 30 atau 50, kita memiliki probabilitas lebih tinggi masing-masing 0,71 dan 0,97, atau sama, 71% dan 97%. Dengan n = 70 kita hampir dapat menjamin bahwa dua dari mereka akan bertepatan pada hari ulang tahunnya, dengan probabilitas 0,99916 atau 99,9%

Menggunakan aturan Laplace dan aturan produk

Cara lain yang tidak terlalu mengada-ada untuk memahami masalahnya adalah dengan mengajukannya sebagai berikut.

Mari kita bayangkan 23 orang bersama-sama dalam satu ruangan dan kami ingin menghitung peluang bahwa mereka tidak berbagi hari ulang tahun.

Misalkan hanya ada satu orang di ruangan itu. Kemungkinan setiap orang di ruangan itu akan memiliki hari ulang tahun yang berbeda jelas 100%, yaitu probabilitas 1. Pada dasarnya, orang itu sendirian, dan karena tidak ada orang lain di sana, ulang tahunnya tidak bertepatan dengan ulang tahun orang lain.

Sekarang orang lain masuk, dan karena itu ada dua orang di ruangan itu. Kemungkinan dia memiliki ulang tahun yang berbeda dari orang pertama adalah 364/365, ini adalah 0,9973 atau 99,73%.

Masukkan sepertiga. Peluang bahwa dia memiliki tanggal lahir yang berbeda dari dua orang lainnya, yang masuk sebelum dia, adalah 363/365. Peluang ketiganya memiliki tanggal lahir yang berbeda adalah 364/365 dikali 363/365, atau 0,9918.

Jadi, pilihan untuk 23 orang yang berbeda tanggal lahirnya adalah 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, menghasilkan 0,493.

Dengan kata lain, ada kemungkinan 49,3% bahwa tidak satu pun dari mereka yang hadir berulang tahun pada hari yang sama dan, oleh karena itu, sebaliknya, menghitung komplementer dari persentase itu kita memiliki kemungkinan 50,7% bahwa setidaknya dua dari mereka berbagi hari ulang tahun

Berbeda dengan paradoks ulang tahun, probabilitas bahwa siapa pun di sebuah ruangan terdiri dari n orang ulang tahun pada hari yang sama dengan orang tertentu, misalnya, diri kita sendiri seandainya kita ada di sana, diberikan oleh rumus berikut.

1- (364/365)^n

Dengan n = 23 akan memberikan probabilitas sekitar 0,061 (6%), membutuhkan setidaknya n = 253 untuk memberikan nilai mendekati 0,5 atau 50%.

Paradoks dalam kenyataan

Ada banyak situasi di mana kita dapat melihat bahwa paradoks ini terpenuhi. Di sini kita akan menempatkan dua kasus nyata.

Yang pertama adalah raja-raja Spanyol. Terhitung dari masa pemerintahan Raja Katolik Castile dan Aragon hingga Felipe VI dari Spanyol, kami memiliki 20 raja yang sah. Di antara raja-raja ini, secara mengejutkan kami menemukan dua pasangan yang bertepatan pada hari ulang tahunnya: Carlos II dengan Carlos IV (11 November) dan José I dengan Juan Carlos I (5 Januari). Kemungkinan bahwa hanya ada satu pasang raja dengan tanggal lahir yang sama, mengingat n = 20, adalah

Kasus nyata lainnya adalah grand final Eurovision 2019. Di final tahun itu, yang diadakan di Tel Aviv, Israel, 26 negara berpartisipasi, 24 di antaranya Mereka mengirim penyanyi solo atau grup di mana sosok penyanyi mengambil peran khusus. Di antara mereka, dua penyanyi bertepatan pada hari ulang tahunnya: perwakilan Israel, Kobi Marimi dan penyanyi dari Swiss, Luca Hänni, keduanya merayakan ulang tahun mereka pada 8 Oktober.

Referensi bibliografi:

• Abramson, M.; Moser, W. SALAH SATU. J. (1970). "Lebih Banyak Kejutan Ulang Tahun". Bulanan Matematika Amerika. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Bloom, d. (1973). "Masalah Ulang Tahun". Bulanan Matematika Amerika. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkin, M.; Newman, D. (1967). "Perpanjangan Kejutan Ulang Tahun". Jurnal Teori Kombinatorial. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9