Tecniche di conteggio: tipi, come usarli ed esempi

Il mondo della matematica, altrettanto affascinante, è anche complicato, ma forse grazie alla sua complessità possiamo affrontare la quotidianità in modo più efficace ed efficiente.

Le tecniche di conteggio sono metodi matematici che ci permettono di sapere quante diverse combinazioni o opzioni ci sono degli elementi all'interno dello stesso gruppo di oggetti.

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Queste tecniche permettono di velocizzare in maniera molto significativa sapendo quanti modi diversi esistono per realizzare sequenze o combinazioni di oggetti, senza perdere la pazienza o la sanità mentale. Diamo un'occhiata più da vicino a cosa sono e quali sono le più utilizzate.

Tecniche di conteggio: cosa sono?

Le tecniche di conteggio sono strategie matematiche utilizzate in probabilità e statistica che consentono di determinare il numero totale di risultati che possono derivare dalla creazione di combinazioni all'interno di un insieme o di insiemi di oggetti. Questi tipi di tecniche vengono utilizzate quando è praticamente impossibile o troppo pesante effettuare manualmente combinazioni di elementi diversi e sapere quanti di essi sono possibili.

Questo concetto sarà compreso più facilmente attraverso un esempio. Se hai quattro sedie, una gialla, una rossa, una blu e una verde, quante combinazioni di tre di esse possono essere affiancate?

Questo problema potrebbe essere risolto facendolo manualmente, pensando a combinazioni come blu, rosso e giallo; blu, giallo e rosso; rosso, blu e giallo, rosso, giallo e blu... Ma questo potrebbe richiedere molta pazienza e tempo, e per questo useremmo tecniche di conteggio, per questo caso è necessaria una permutazione.

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I cinque tipi di tecniche di conteggio

Le principali tecniche di conteggio sono le seguenti cinque, anche se non gli unici, ognuno con le proprie peculiarità e utilizzati secondo le esigenze per sapere quante combinazioni di insiemi di oggetti sono possibili.

In realtà, questo tipo di tecniche si possono dividere in due gruppi, a seconda della loro complessità, uno dei quali è composto da il principio moltiplicativo e il principio additivo, e l'altro, essendo costituito da combinazioni e permutazioni.

1. Principio moltiplicativo

Questo tipo di tecnica di conteggio, insieme al principio additivo, permette una comprensione facile e pratica di come funzionano questi metodi matematici.

Se un evento, chiamiamolo N1, può verificarsi in diversi modi e un altro evento, N2, può verificarsi in altrettanti modi, allora gli eventi insieme possono verificarsi in N1 x N2 modi.

Questo principio viene utilizzato quando l'azione è sequenziale, cioè è costituita da eventi che si verificano in modo ordinato, come la costruzione di una casa, la scelta dei passi di danza in discoteca o l'ordine che verrà seguito per preparare un torta.

Per esempio:

In un ristorante il menù è composto da un primo, un secondo e un dolce. Per i secondi ne abbiamo 4, per i secondi 5 e per i dolci 3.

Quindi, N1 = 4; N2 = 5 e N3 = 3.

Pertanto, le combinazioni offerte da questo menu sarebbero 4 x 5 x 3 = 60

2. Principio additivo

In questo caso, invece di moltiplicare le alternative per ogni evento, succede che si sommano i vari modi in cui possono verificarsi.

Ciò significa che se la prima attività può verificarsi in M ​​modi, la seconda in N e la terza L, allora, secondo questo principio, sarebbe M + N + L.

Per esempio:

Vogliamo comprare cioccolato, al supermercato ci sono tre marche: A, B e C.

Il cioccolato A è venduto in tre gusti: nero, latte e bianco, oltre ad avere l'opzione senza o con zucchero per ciascuno di essi.

Il cioccolato B è venduto in tre gusti, nero, latte o bianco, con o senza nocciole, con o senza zucchero.

Il cioccolato C è venduto in tre gusti, nero, latte e bianco, con la possibilità di avere nocciole, arachidi, caramello o mandorle, ma tutti con lo zucchero.

Sulla base di questo, la domanda a cui rispondere è: quante diverse varietà di cioccolato si possono acquistare?

W = numero di modi per selezionare il cioccolato A.

Y = numero di modi per selezionare il cioccolato B.

Z = numero di modi per selezionare il cioccolato C.

Il passo successivo è la semplice moltiplicazione.

L = 3 x 2 = 6.

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 diverse varietà di cioccolato.

Per sapere se utilizzare il principio moltiplicativo o additivo, l'indizio principale è se l'attività in questione Ha una serie di passaggi da eseguire, come nel caso del menu, oppure ci sono diverse opzioni, come nel caso del cioccolato.

3. permutazioni

Prima di capire come eseguire le permutazioni, è importante capire la differenza tra una combinazione e una permutazione.

Una combinazione è una disposizione di elementi il ​​cui ordine non è importante o non cambia il risultato finale.

D'altra parte, in una permutazione, ci sarebbe una disposizione di più elementi in cui è importante tener conto del loro ordine o posizione.

Nelle permutazioni, ci sono n numero di elementi diversi e ne viene selezionato un numero, che sarebbe r.

La formula che verrebbe utilizzata sarebbe la seguente: nPr = n! / (N-r)!

Per esempio:

C'è un gruppo di 10 persone e c'è un posto che può contenere solo cinque persone, in quanti modi possono sedersi?

Si farebbe quanto segue:

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30.240 modi diversi di occupare la banca.

4. Permutazioni con ripetizione

Quando vuoi conoscere il numero di permutazioni in un insieme di oggetti, alcuni dei quali sono uguali, procedi come segue:

Tenendo conto che n sono gli elementi disponibili, alcuni ripetuti.

Tutti gli elementi n sono selezionati.

Vale la seguente formula: = n! / N1! N2... nk!

Per esempio:

Su una barca possono essere issate 3 bandiere rosse, 2 gialle e 5 verdi. Quanti segnali diversi potrebbero essere fatti alzando le 10 bandiere che hai?

10!/3!2!5! = 2.520 diverse combinazioni di bandiere.

5. Combinazioni

Nelle combinazioni, a differenza di quanto accadeva con le permutazioni, l'ordine degli elementi non è importante.

La formula da applicare è la seguente: nCr = n! / (N-r)! R!

Per esempio:

Un gruppo di 10 persone vuole ripulire il quartiere e si prepara a formare gruppi di 2 membri ciascuno Quanti gruppi sono possibili?

In questo caso, n = 10 e r = 2, quindi, applicando la formula:

10C2 = 10! / (10-2)! 2! = 180 coppie diverse.

Riferimenti bibliografici:

• Brualdi, R. PER. (2010), Combinatoria introduttiva (5a ed.), Pearson Prentice Hall.
• di Finetti, B. (1970). "Fondamenti logici e misurazione della probabilità soggettiva". Acta Psicologica.
• Hogg, R. V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introduzione alla statistica matematica (6a ed.). Fiume della sella superiore: Pearson.
• Mazur, D. r. (2010), Combinatoria: una visita guidata, Associazione matematica d'America,
• Ryser, H. J. (1963), Combinatorial Mathematics, The Carus Mathematical Monographs 14, Mathematical Association of America.