טכניקות ספירה: סוגים, אופן השימוש בהן ודוגמאות

עולם המתמטיקה, בדיוק כמו מרתק הוא גם מסובך, אבל אולי בזכות המורכבות שלו אנו יכולים להתמודד עם היום יום בצורה יעילה ויעילה יותר.

טכניקות ספירה הן שיטות מתמטיות המאפשרות לנו לדעת כמה שילובים או אפשרויות שונות יש של האלמנטים בתוך אותה קבוצת אובייקטים.

• מאמר מומלץ: "פסיכומטרי: על מה ולמה הוא אחראי?"

טכניקות אלו מאפשרות להאיץ בצורה משמעותית ביותר בידיעה כמה דרכים שונות להכין רצפים או שילובים של אובייקטים, מבלי לאבד סבלנות או שפיות. בואו נסתכל מקרוב על מה הם ואילו הם הנפוצים ביותר.

טכניקות ספירה: מהן?

טכניקות ספירה הן אסטרטגיות מתמטיות המשמשות בהסתברות ובסטטיסטיקה המאפשרות לקבוע את המספר הכולל של התוצאות שיכולות להיות מביצוע שילובים בתוך קבוצה או קבוצות של חפצים. סוגים אלה של טכניקות משמשים כאשר זה כמעט בלתי אפשרי או כבד מדי ליצור שילובים של אלמנטים שונים באופן ידני ולדעת כמה מהם אפשריים.

מושג זה יובן ביתר קלות באמצעות דוגמא. אם יש לך ארבעה כסאות, אחד צהוב, אחד אדום, אחד כחול ואחד ירוק, כמה שילובים של שלושה מהם יכולים להיות מסודרים זה לצד זה?

ניתן לפתור בעיה זו על ידי ביצוע אותה באופן ידני תוך מחשבה על שילובים כגון כחול, אדום וצהוב; כחול, צהוב ואדום; אדום, כחול וצהוב, אדום, צהוב וכחול... אבל זה עשוי לדרוש הרבה סבלנות וזמן, ולשם כך נשתמש בטכניקות ספירה, במקרה זה יש צורך בתמורה.

• אולי אתה מעוניין לקרוא: "התפלגות נורמלית: מה זה, מאפיינים ודוגמאות בסטטיסטיקה"

חמשת סוגי טכניקות הספירה

טכניקות הספירה העיקריות הן חמש הבאות, אם כי לא היחידים, כל אחד עם המוזרויות שלו ומשמש על פי הדרישות כדי לדעת כמה שילובים של קבוצות אובייקטים אפשריים.

למעשה, ניתן לחלק סוג זה של טכניקות לשתי קבוצות, בהתאם למורכבותן, אחת מורכבת ממנה עיקרון הכפל ועקרון התוסף, והשני, מורכב משילובים ו תמורות.

1. עיקרון מכפל

סוג זה של טכניקת ספירה, יחד עם עקרון התוסף, מאפשרים הבנה קלה ומעשית של אופן פעולתן של שיטות מתמטיות אלה.

אם אירוע אחד, נקרא לזה N1, יכול להתרחש בכמה דרכים, ואירוע אחר, N2, יכול להתרחש בכמה שיותר אופנים, אז האירועים יחד יכולים להתרחש בדרכים N1 x N2.

עיקרון זה משמש כאשר הפעולה רצופה, כלומר היא מורכבת מאירועים המתרחשים בצורה מסודרת, כמו בניית בית, בחירת צעדי הריקוד בדיסקוטק או הסדר שיבוצע לפי הכנת א פַּאִי.

לדוגמה:

במסעדה התפריט מורכב ממנה עיקרית, מנה וקינוח. למנות עיקריות יש לנו 4, לשניות יש 5 ולקינוחים יש 3.

אז, N1 = 4; N2 = 5 ו- N3 = 3.

לפיכך, השילובים המוצעים על ידי תפריט זה יהיו 4 x 5 x 3 = 60

2. עיקרון תוסף

במקרה זה, במקום להכפיל את החלופות לכל אירוע, מה שקורה הוא שנוספים הדרכים השונות בהן הם יכולים להתרחש.

משמעות הדבר היא שאם הפעילות הראשונה יכולה להתרחש בדרכי M, השנייה ב- N והשלישית L, אז על פי עיקרון זה, זה יהיה M + N + L.

לדוגמה:

אנחנו רוצים לקנות שוקולד, יש בסופרמרקט שלושה מותגים: A, B ו- C.

שוקולד A נמכר בשלושה טעמים: שחור, חלב ולבן, בנוסף יש אפשרות בלי או עם סוכר לכל אחד מהם.

שוקולד B נמכר בשלושה טעמים, שחור, חלב או לבן, עם אפשרות של אגוזי לוז או לא, ועם או בלי סוכר.

שוקולד C נמכר בשלושה טעמים, שחור, חלב ולבן, עם אפשרות של אגוזי לוז, בוטנים, קרמל או שקדים, אך כולם עם סוכר.

על סמך זה, השאלה עליה יש לענות היא: כמה זנים שונים של שוקולד ניתן לקנות?

W = מספר הדרכים לבחירת שוקולד A.

Y = מספר הדרכים לבחירת השוקולד B.

Z = מספר הדרכים לבחירת השוקולד C.

השלב הבא הוא כפל פשוט.

W = 3 x 2 = 6.

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 זנים שונים של שוקולד.

כדי לדעת אם להשתמש בעקרון הכפל או התוסף, הרמז העיקרי הוא האם הפעילות המדוברת יש לו סדרה של צעדים לבצע, כמו שהיה בתפריט, או שיש כמה אפשרויות, כמו שקורה בשוקולד.

3. תמורות

לפני שמבינים כיצד לבצע את התמורות, חשוב להבין את ההבדל בין שילוב לתמורה.

שילוב הוא סידור של אלמנטים שהסדר שלהם לא חשוב או לא משנה את התוצאה הסופית.

מצד שני, בתמורה, יהיה סידור של כמה אלמנטים בהם חשוב לקחת בחשבון את הסדר או את עמדתם.

בתמורות יש n מספר אלמנטים שונים ונבחר מספר מהם, אשר יהיה r.

הנוסחה בה ישתמש תהיה הבאה: nPr = n! / (N-r)!

לדוגמה:

יש קבוצה של 10 אנשים ויש מושב שיכול להתאים רק לחמישה, כמה דרכים הם יכולים לשבת?

הדבר ייעשה:

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30,240 דרכים שונות לכבוש את הבנק.

4. תמורות עם חזרה

כאשר אתה רוצה לדעת את מספר התמורות בקבוצת אובייקטים, חלקם זהים, אתה ממשיך באופן הבא:

אם לוקחים בחשבון ש- n הם האלמנטים הזמינים, חלקם חוזרים על עצמם.

כל הפריטים n נבחרו.

הנוסחה הבאה חלה: = n! / N1! N2... nk!

לדוגמה:

על סירה ניתן להניף 3 דגלים אדומים, 2 צהובים ו -5 ירוקים. כמה אותות שונים ניתן להפיק באמצעות הנפת עשרת הדגלים שברשותך?

10!/3!2!5! = 2,520 שילובי דגלים שונים.

5. שילובים

בצירופים, בניגוד למה שקרה עם תמורות, סדר היסודות אינו חשוב.

הנוסחה המיושמת היא הבאה: nCr = n! / (N-r)! R!

לדוגמה:

קבוצה של 10 אנשים רוצה לנקות את השכונה ומתכוננת להקים קבוצות של 2 חברים כל אחת. כמה קבוצות אפשריות?

במקרה זה, n = 10 ו- r = 2, ובכך להחיל את הנוסחה:

10C2 = 10! / (10-2)! 2! = 180 זוגות שונים.

הפניות ביבליוגרפיות:

• ברואאלדי, ר. ל. (2010), קומבינטוריקה מקדימה (מהדורה חמישית), אולם פירסון פרנטיס.
• מאת Finetti, B. (1970). "יסודות לוגיים ומדידת הסתברות סובייקטיבית". Acta Psychologica.
• הוג, ר. ו. קרייג, אלן; מקיאן, ג'וזף וו. (2004). מבוא לסטטיסטיקה מתמטית (מהדורה 6). נהר האוכף העליון: פירסון.
• מזור, ד. ר. (2010), קומבינטוריקה: סיור מודרך, האגודה המתמטית של אמריקה,
• רייזר, ח. י. (1963), מתמטיקה קומבינטורית, המונוגרפיות המתמטיות של קרוס 14, האגודה המתמטית של אמריקה.