დაბადების დღის პარადოქსი: რა არის ეს და როგორ ავხსნათ იგი

წარმოვიდგინოთ, რომ ჩვენ ვართ ადამიანთა ჯგუფთან ერთად, მაგალითად, ოჯახის გაერთიანებაზე, პირველადი კლასის გაერთიანებაზე, ან უბრალოდ ბარში ვსვამთ სასმელს. ვთქვათ, დაახლოებით 25 ადამიანია.

ხმაურსა და ზედაპირულ საუბრებს შორის ცოტა გავთიშეთ და დავიწყეთ ფიქრი ჩვენს შესახებ. რაღაცეებს ​​და უცებ საკუთარ თავს ვეკითხებით: რა უნდა იყოს იმის ალბათობა, რომ ამ ადამიანთა შორის ორ ადამიანს აქვს დაბადების დღე იგივე დღე?

დაბადების დღის პარადოქსი მათემატიკური ჭეშმარიტებააჩვენი ინსტინქტის საპირისპიროდ, რომელიც თვლის, რომ ძალიან ცოტა ადამიანია საჭირო იმისთვის, რომ არსებობდეს თითქმის შემთხვევითი ალბათობა იმისა, რომ ორ მათგანს ერთი და იგივე დაბადების დღე ჰქონდეს. შევეცადოთ უფრო დეტალურად გავიგოთ ეს კურიოზული პარადოქსი.

• დაკავშირებული სტატია: "ლოგიკურ-მათემატიკური ინტელექტი: რა არის და როგორ გავაუმჯობესოთ იგი?"

დაბადების დღის პარადოქსი

დაბადების დღის პარადოქსი არის მათემატიკური ჭეშმარიტება, რომელიც ადგენს, რომ მხოლოდ 23 კაციან ჯგუფში არის ალბათობა, რომელიც ახლოს არის შემთხვევით, კონკრეტულად 50,7%. რომ იმ ადამიანთაგან ორს მაინც ერთი და იგივე დაბადების დღე აქვს

. ამ მათემატიკური განცხადების პოპულარობა განპირობებულია გასაკვირი ფაქტით, რომ ძალიან ცოტაა საჭირო. ადამიანებს ჰქონდეთ საკმაოდ დარწმუნებული შანსი, რომ მათ ექნებათ მატჩები ისეთივე მრავალფეროვნებაზე, როგორიცაა დაბადების დღე.

მიუხედავად იმისა, რომ ამ მათემატიკურ ფაქტს პარადოქსს უწოდებენ, მკაცრი გაგებით ეს ასე არ არის. ეს საკმაოდ პარადოქსია, რამდენადაც კურიოზული აღმოჩნდება, რადგან ეს სრულიად ეწინააღმდეგება საღ აზრს. როდესაც ვინმეს ეკითხებიან, რამდენი ადამიანი ფიქრობს, რომ მათ ორს სჭირდება დაბადების დღე ერთსა და იმავე დღეს, ადამიანები ინტუიციურად აძლევენ 183-ს, ანუ 365-ის ნახევარს.

ამ მნიშვნელობის მიღმა არის მოსაზრება, რომ ჩვეულებრივ წელიწადში დღეების რაოდენობის განახევრებით, მიიღება მინიმუმი, რომელიც აუცილებელია 50%-მდე ალბათობის არსებობისთვის.

თუმცა, გასაკვირი არ არის, რომ ასეთი მაღალი ღირებულებები მოცემულია ამ კითხვაზე პასუხის გაცემის მცდელობისას, რადგან ადამიანებს ხშირად არასწორად ესმით პრობლემა. დაბადების დღის პარადოქსი არ ეხება იმის ალბათობას, რომ კონკრეტულ ადამიანს აქვს დაბადების დღე კიდევ ერთი ჯგუფში, მაგრამ, როგორც აღვნიშნეთ, შანსი იმისა, რომ ჯგუფში ნებისმიერ ორ ადამიანს აქვს ერთი და იგივე დაბადების დღე დღეს.

ფენომენის მათემატიკური ახსნა

ამ გასაკვირი მათემატიკური ჭეშმარიტების გასაგებად, პირველი, რაც უნდა გააკეთოთ, არის იმის გათვალისწინება, რომ ბევრი შესაძლებლობაა იპოვოთ წყვილები, რომლებსაც აქვთ იგივე დაბადების დღე.

ერთი შეხედვით შეიძლება იფიქროს, რომ 23 დღე, ანუ ჯგუფის წევრების 23-ე დაბადების დღეა. ძალიან მცირე ნაწილი განსხვავებული დღეების შესაძლო რაოდენობისა, არანახტომი წლის 365 დღე, ან ნახტომი წლებში 366, თითქოს გამეორებას ელოდება. ეს აზროვნება მართლაც ზუსტია, მაგრამ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ჩვენ ველით განმეორებას კონკრეტულ დღეს. ანუ, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, დაგვჭირდება ბევრი ხალხის შეკრება, რომ კიდევ ერთი შესაძლებლობა იყოს ან ჯგუფის ერთ-ერთი წევრის 50%-ს, რომელსაც დაბადების დღე აქვს საკუთარ თავთან, რომ ვთქვათ ა მაგალითი.

თუმცა, დაბადების დღის პარადოქსში წარმოიქმნება ნებისმიერი გამეორება. ანუ რამდენი ადამიანია საჭირო იმისთვის, რომ ამ ადამიანებიდან ორს დაბადების დღე ჰქონდეს ერთსა და იმავე დღეს, ეს არის ის ადამიანი ან დღეები. რომ გავიგოთ და მათემატიკურად ვაჩვენოთ, შემდეგ უფრო ღრმად დავინახავთ პარადოქსის მიღმა არსებულ პროცედურას.

• შეიძლება დაგაინტერესოთ: "12 კურიოზი ადამიანის გონების შესახებ"

შესაძლო მატჩის შესაძლებლობა

წარმოვიდგინოთ, რომ ოთახში მხოლოდ ორი ადამიანი გვყავს. ამ ორ ადამიანს, C1 და C2, შეეძლო მხოლოდ წყვილის შექმნა (C1=C2), რომელთანაც მხოლოდ ერთი წყვილი გვყავს, რომელშიც შეიძლება განმეორებითი დაბადების დღე მოხდეს. ან დაბადების დღე აქვთ ერთ დღეს, ან არ აქვთ იგივე დაბადების დღე, სხვა ალტერნატივა არ არსებობს..

ამ ფაქტის მათემატიკურად დასაფიქსირებლად გვაქვს შემდეგი ფორმულა:

(ადამიანების რაოდენობა x შესაძლო კომბინაციები)/2 = შესაძლო დამთხვევის შესაძლებლობები.

ამ შემთხვევაში, ეს იქნება:

(2 x 1)/2 = 1 შესაძლო მატჩის შანსი

რა მოხდება, თუ ორი ადამიანის ნაცვლად სამი? მატჩის შანსები სამამდე იზრდება, იმის წყალობით, რომ ამ სამ ადამიანს შორის შეიძლება ჩამოყალიბდეს სამი წყვილი (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). მათემატიკურად წარმოდგენილი გვაქვს:

(3 ადამიანი X 2 შესაძლო კომბინაცია)/2 = შესაძლო მატჩის 3 შანსი

ოთხით, არსებობს ექვსი შესაძლებლობა, რომ ისინი ემთხვევა მათ შორის:

(4 ადამიანი X 3 შესაძლო კომბინაცია)/2 = შესაძლო მატჩის 6 შანსი

თუ ათ კაცამდე მივდივართ, კიდევ ბევრი შესაძლებლობა გვაქვს:

(10 ადამიანი X 9 შესაძლო კომბინაცია)/2 = 45

23 ადამიანთან ერთად არის (23×22)/2 = 253 განსხვავებული წყვილი, თითოეული მათგანი არის კანდიდატი, რომ მათი ორი წევრი ერთსა და იმავე დღეს ჰქონდეს დაბადების დღე, რაც საკუთარ თავს აძლევს დაბადების დღის პარადოქსს და აქვს დაბადების დღის დამთხვევის მეტი შესაძლებლობა.

ალბათობის შეფასება

ჩვენ ვაპირებთ გამოვთვალოთ რა არის ალბათობა იმისა, რომ ჯგუფი n ზომით ორი მათგანისგან შედგება, რაც არ უნდა იყვნენ, დაბადების დღე აქვთ იმავე დღეს. ამ კონკრეტული შემთხვევისთვის, ჩვენ ვაპირებთ ნახტომი წლებსა და ტყუპებს, ვივარაუდოთ, რომ არსებობს 365 დაბადების დღე, რომლებსაც აქვთ იგივე ალბათობა.

ლაპლასის წესისა და კომბინატორიკის გამოყენება

პირველ რიგში, ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ იმის ალბათობა, რომ n ადამიანს აქვს სხვადასხვა დაბადების დღე. ანუ, ჩვენ ვიანგარიშებთ ალბათობას იმის საპირისპიროდ, რაც მითითებულია დაბადების დღის პარადოქსში. Ამისთვის, გამოთვლების განხილვისას უნდა გავითვალისწინოთ ორი შესაძლო მოვლენა.

ღონისძიება A = {ორი ადამიანი აღნიშნავს თავის დაბადების დღეს ერთ დღეს} A მოვლენის შემავსებელი: A^c = {ორი ადამიანი არ აღნიშნავს დაბადების დღეს ერთ დღეს}

კონკრეტულ შემთხვევად ავიღოთ ხუთი კაციანი ჯგუფი (n=5)

შესაძლო შემთხვევების რაოდენობის გამოსათვლელად ვიყენებთ შემდეგ ფორმულას:

წელიწადის დღეები^n

იმის გათვალისწინებით, რომ ნორმალურ წელს აქვს 365 დღე, დაბადების დღის აღნიშვნის შესაძლო შემთხვევებია:

365^5 = 6,478 × 10^12

ჩვენ მიერ შერჩეული ადამიანებიდან პირველი შეიძლება დაბადებული იყოს, როგორც ლოგიკურია ვიფიქროთ, წლის ნებისმიერ 365 დღეს. მომდევნო შეიძლება დაბადებული იყოს დარჩენილი 364 დღედან ერთ-ერთში, ხოლო მომდევნო შეიძლება დაბადებული იყოს დარჩენილი 363 დღიდან ერთ-ერთში და ა.შ.

აქედან გამომდინარეობს შემდეგი გამოთვლა: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6,303 × 10^12, რომელიც იძლევა როგორც შედეგი არის შემთხვევების რაოდენობა, როდესაც ამ 5 კაციან ჯგუფში არ არის ორი ადამიანი, რომლებიც ერთნაირი დაიბადა დღეს.

ლაპლასის წესის გამოყენებით, ჩვენ გამოვთვლით:

P (A^c) = ხელსაყრელი შემთხვევები / შესაძლო შემთხვევები = 6.303 / 6.478 = 0.973

Ეს ნიშნავს რომ შანსი იმისა, რომ 5-კაციან ჯგუფში ორ ადამიანს არ ჰქონდეს დაბადების დღე იმავე დღეს არის 97.3%.. ამ მონაცემებით, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ შესაძლებლობა, რომ ორ ადამიანს ჰქონდეს დაბადების დღე იმავე დღეს და მივიღოთ დამატებითი მნიშვნელობა.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0.973 = 0.027

ამრიგად, აქედან გამოდის, რომ შანსი იმისა, რომ ხუთკაციან ჯგუფში ორ მათგანს დაბადების დღე აქვს იმავე დღეს მხოლოდ 2,7%-ია.

ამის გაგებით, ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ ნიმუშის ზომა. ალბათობა იმისა, რომ სულ მცირე ორ ადამიანს n ადამიანთა შეკრებაში აქვს იგივე დაბადების დღე, შეიძლება მივიღოთ შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

იმ შემთხვევაში, თუ n არის 23, ალბათობა იმისა, რომ ამ ადამიანთაგან სულ მცირე ორი აღნიშნავს წლებს იმავე დღეს არის 0,51.

მიზეზი, რის გამოც ეს კონკრეტული ნიმუშის ზომა გახდა ასე ცნობილი, არის ის, რომ n = 23 არსებობს თანაბარი ალბათობა, რომ მინიმუმ ორი ადამიანი აღნიშნავს დაბადების დღეს იმავე დღეს.

თუ ჩვენ გავზრდით სხვა მნიშვნელობებს, მაგალითად 30 ან 50, გვაქვს უფრო მაღალი ალბათობა 0.71 და 0.97 შესაბამისად, ან რაც არის იგივე, 71% და 97%. n = 70-ით ჩვენ თითქმის გარანტირებული ვართ, რომ ორი მათგანი დაემთხვევა მათ დაბადების დღეს, ალბათობით 0,99916 ან 99,9%.

ლაპლასის წესისა და პროდუქტის წესის გამოყენება

პრობლემის გაგების კიდევ ერთი არც თუ ისე შორს მიმავალი გზაა მისი დაყენება შემდეგნაირად.

წარმოვიდგინოთ, რომ 23 ადამიანი ერთად არის ოთახში და გვინდა გამოვთვალოთ შანსები, რომ ისინი არ იზიარებენ დაბადების დღეს.

დავუშვათ, რომ ოთახში მხოლოდ ერთი ადამიანია. იმის შანსი, რომ ოთახში ყველას განსხვავებული დაბადების დღე ექნება, აშკარად 100%-ია, ანუ ალბათობა 1. ძირითადად, ეს ადამიანი მარტოა და რადგან სხვა არავინ არის, მათი დაბადების დღე არ ემთხვევა სხვის დაბადების დღეს.

ახლა სხვა ადამიანი შემოდის და ამიტომ ოთახში ორი ადამიანია. შანსები, რომ მას ჰქონდეს განსხვავებული დაბადების დღე, ვიდრე პირველი პირი არის 364/365, ეს არის 0.9973 ან 99.73%.

შეიყვანეთ მესამე. ალბათობა იმისა, რომ მას აქვს სხვა დაბადების დღე, ვიდრე მასზე ადრე შესულ ორ ადამიანს, არის 363/365. შანსები, რომ სამივეს განსხვავებული დაბადების დღე აქვს, არის 364/365 გამრავლებული 363/365, ანუ 0,9918.

ასე რომ, ვარიანტები 23 ადამიანისთვის, რომლებსაც აქვთ სხვადასხვა დაბადების დღე არის 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, რის შედეგადაც არის 0.493.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არის 49.3% ალბათობა იმისა, რომ არცერთს არ აქვს დაბადების დღე იმავე დღეს და, შესაბამისად, პირიქით, ამ პროცენტის შემავსებლის გამოთვლა გვაქვს, რომ არის 50.7% შანსი, რომ მათგან მინიმუმ ორი გაიზიაროს. დაბადების დღე

დაბადების დღის პარადოქსისგან განსხვავებით, იმის ალბათობა, რომ ვინმეს ოთახში n ადამიანი დაბადების დღე იმავე დღეს, როგორც კონკრეტული ადამიანი, მაგალითად, ჩვენ თვითონ, თუ იქ ვიქნებით, მოცემულია შემდეგი ფორმულით.

1- (364/365)^n

n = 23-ის შემთხვევაში, ის მისცემს დაახლოებით 0,061 ალბათობას (6%), მოითხოვს მინიმუმ n = 253 მნიშვნელობის მისაცემად 0,5-თან ან 50%-თან ახლოს.

პარადოქსი რეალობაში

არსებობს მრავალი სიტუაცია, როდესაც ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს პარადოქსი სრულდება. აქ ჩვენ ვაპირებთ დავაყენოთ ორი რეალური შემთხვევა.

პირველი არის ესპანეთის მეფეები. კასტილიისა და არაგონის კათოლიკე მონარქების მმართველობიდან დაწყებული ესპანეთის ფელიპე VI-ის მეფობამდე, ჩვენ გვყავს 20 ლეგიტიმური მონარქი. ამ მეფეებს შორის, გასაკვირად, გვხვდება ორი წყვილი, რომლებიც ემთხვევა დაბადების დღეებს: კარლოს II კარლოს IV-თან ერთად (11 ნოემბერი) და ხოსე I ხუან კარლოს I-სთან (5 იანვარი). იმის შესაძლებლობა, რომ არსებობდა მხოლოდ ერთი წყვილი მონარქი იმავე დაბადების დღეზე, იმის გათვალისწინებით, რომ n = 20, არის

კიდევ ერთი რეალური შემთხვევაა 2019 წლის ევროვიზიის დიდი ფინალი. იმ წლის ფინალში, რომელიც გაიმართა თელ-ავივში, ისრაელში, მონაწილეობდა 26 ქვეყანა, მათგან 24. გაგზავნეს ან სოლო მომღერლები ან ჯგუფები, სადაც მომღერლის ფიგურა განსაკუთრებულ როლს ასრულებდა. მათ შორის ორი მომღერალი დაემთხვა დაბადების დღეს: ისრაელის წარმომადგენელი კობი მარიმი და შვეიცარიელი ლუკა ჰანი, ორივე 8 ოქტომბერს აღნიშნავს დაბადების დღეს.

ბიბლიოგრაფიული ცნობები:

• აბრამსონი, მ. მოზერი, ვ. ან. ჯ. (1970). "სხვა დაბადების დღის სიურპრიზები". ამერიკული მათემატიკური ყოველთვიური. 77 (8): 856–858. დოი: 10.2307/2317022
• ბლუმი, დ. (1973). "დაბადების დღის პრობლემა". ამერიკული მათემატიკური ყოველთვიური. 80 (10): 1141–1142. დოი: 10.2307/2318556
• კლამკინი, მ. ნიუმენი, დ. (1967). "დაბადების სიურპრიზის გაგრძელება". კომბინატორული თეორიის ჟურნალი. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9