생일 역설: 그것이 무엇이며 그것을 설명하는 방법

예를 들어, 가족 모임, 초등학교 동창회 또는 단순히 바에서 술을 마시는 등 여러 사람과 함께 있다고 상상해 봅시다. 약 25명이 있다고 가정해 보겠습니다.

소음과 피상적인 대화 사이에서 우리는 약간의 연결이 끊어지고 우리의 생각에 대해 생각하기 시작했습니다. 그리고 갑자기 우리는 스스로에게 묻습니다. 이 사람들 중 두 사람의 생일이 같은 날일 확률은 얼마나 될까요? 같은 날?

생일 역설은 수학적 진실이다, 거의 무작위로 두 사람의 생일이 같은 확률이 있기 위해 극소수의 사람이 필요하다고 주장하는 우리의 본능과는 반대로. 이 기묘한 역설을 더 철저하게 이해하려고 노력합시다.

• 관련 기사: "논리-수학 지능: 무엇이고 어떻게 개선할 수 있습니까?"

생일 역설

생일 패러독스는 단지 23명으로 구성된 그룹에서 우연에 가까운 확률, 특히 50.7%가 있다는 것을 확립하는 수학적 진실입니다. 그 중 적어도 두 사람의 생일이 같다는 것을. 이 수학적 진술이 인기 있는 이유는 필요한 것이 너무 적다는 놀라운 사실 때문입니다. 사람들은 생일처럼 다양한 일에 성냥을 가질 수 있는 꽤 확실한 기회를 갖게 됩니다.

이 수학적 사실을 역설이라고 부르지만 엄밀한 의미에서는 그렇지 않습니다. 호기심으로 판명되는 한 오히려 역설입니다., 상식에 어긋나기 때문입니다. 두 사람의 생일이 같은 날이면 몇 명이 필요하다고 생각하느냐고 물으면 사람들은 직관적으로 183, 즉 365의 절반을 주는 경향이 있다.

이 값의 이면에 있는 생각은 평년의 일수를 반으로 줄임으로써 50%에 가까운 확률이 있는 데 필요한 최소값을 얻는다는 것입니다.

하지만, 이 질문에 답하려고 할 때 그렇게 높은 가치가 주어지는 것은 놀라운 일이 아닙니다., 사람들은 종종 문제를 오해하기 때문입니다. 생일 패러독스는 특정인의 생일이 있을 확률을 말하는 것이 아닙니다. 그룹의 다른 사람이지만, 우리가 언급했듯이 그룹의 두 사람이 같은 생일을 가질 가능성이 있습니다. 낮.

현상의 수학적 설명

이 놀라운 수학적 사실을 이해하기 위해 가장 먼저 해야 할 일은 생일이 같은 커플을 찾을 가능성이 많다는 점을 명심하는 것입니다.

언뜻 보면 밴드 멤버들의 23번째 생일인 23일이 가능한 개별 날짜 수의 너무 작은 부분, 비윤년의 365일, 윤년의 366일, 반복을 예상하는 것처럼. 이 생각은 실제로 정확하지만 특정 날짜에 반복될 것으로 예상되는 경우에만 해당됩니다. 즉, 이미 언급했듯이 많은 사람들을 모아야 하나의 가능성이 더 있습니다. 그룹 구성원 중 50% 이하가 생일을 함께 보내는 경우 예.

그러나 생일 역설에서는 모든 반복이 발생합니다. 즉, 그 사람 중 두 사람이 생일을 같은 날에 가지려면 몇 명의 사람이 필요합니까? 그것을 이해하고 수학적으로 보여주기 위해, 다음으로 역설 뒤에 있는 절차를 더 깊이 살펴보겠습니다..

• 다음 항목에 관심이 있을 수 있습니다. "인간의 마음에 관한 12가지 궁금증"

가능한 일치 가능성

한 방에 두 사람만 있다고 상상해 봅시다. 이 두 사람, C1과 C2는 커플(C1=C2)만 형성할 수 있으며, 그 중 반복 생일이 발생할 수 있는 커플은 한 커플뿐입니다. 생일이 같거나, 생일이 다르거나, 다른 대안이 없습니다..

이 사실을 수학적으로 표현하기 위해 다음 공식이 있습니다.

(인원 x 가능한 조합)/2 = 가능한 일치 가능성.

이 경우 다음과 같습니다.

(2 x 1)/2 = 일치 가능성 1회

두 사람 대신 세 사람이 있으면 어떻게 됩니까? 경기 기회는 3번까지 올라갑니다., 이 세 사람 사이에 세 쌍이 형성될 수 있다는 사실 덕분에(C1=C2; Cl=C3; C2=C3). 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다.

(3명 X 가능한 조합 2개)/2 = 가능한 일치 가능성 3개

4개의 경우 서로 일치할 수 있는 6가지 가능성이 있습니다.

(4명 X 가능한 조합 3개)/2 = 가능한 일치 가능성 6개

10명까지 올라가면 더 많은 가능성이 있습니다.

(10명 X 9가지 가능한 조합)/2 = 45

23명으로 (23×22)/2 = 253 커플, 두 멤버가 같은 날 생일을 맞을 후보로 각자 자신에게 생일 패러독스를 부여하고 생일이 일치할 가능성을 더 높인다.

확률 추정

우리는 크기가 n인 그룹이 그들 중 두 명일 확률이 얼마인지 계산할 것입니다., 그들이 무엇이든 같은 날에 생일을 보내십시오. 이 특정 사례의 경우 동일한 확률을 가진 365개의 생일이 있다고 가정하고 윤년과 쌍둥이를 버릴 것입니다.

라플라스의 법칙과 조합론을 사용하여

먼저 n명의 생일이 다를 확률을 계산해야 합니다. 즉, 우리는 생일 역설에 명시된 것과 반대의 확률을 계산합니다. 이를 위해 계산을 고려할 때 두 가지 가능한 이벤트를 고려해야 합니다..

이벤트 A = {같은 날 생일을 맞은 두 사람} 사건 A에 보완: A^c = {두 사람이 생일을 같은 날에 축하하지 않음}

5명으로 구성된 그룹(n=5)을 특별한 경우로 가정해 보겠습니다.

가능한 경우의 수를 계산하기 위해 다음 공식을 사용합니다.

일 년 ^n

1년이 365일이라는 점을 고려하면 생일축하가 가능한 경우의 수는 다음과 같다.

365^5 = 6,478 × 10^12

우리가 선택한 첫 번째 사람은 1년 365일 중 어느 날에 태어났을지 모릅니다. 다음 사람은 남은 364일 중 하루 안에 태어났을 수 있습니다., 그리고 다음 중 다음은 나머지 363일 중 하나에서 태어 났을 수 있습니다.

이것으로부터 다음 계산을 따른다: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6,303 × 10^12, 이는 다음과 같이 주어진다. 결과는 동일하게 태어난 5명의 그룹에 두 사람이 없는 경우의 수입니다. 낮.

라플라스의 법칙을 적용하면 다음과 같이 계산됩니다.

P (A^c) = 유리한 경우/가능한 경우 = 6.303 / 6.478 = 0.973

이것은 5명 중 2명의 생일이 같은 날이 아닐 확률은 97.3%. 이 데이터를 통해 우리는 두 사람의 생일이 같은 날일 가능성을 얻을 수 있어 보완 가치를 얻을 수 있습니다.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0.973 = 0.027

따라서 5명으로 구성된 그룹에서 2명의 생일이 같은 날일 확률은 2.7%에 불과하다는 사실을 알 수 있다.

이것을 이해하면 샘플의 크기를 변경할 수 있습니다.. n명의 모임에서 적어도 두 사람의 생일이 같을 확률은 다음 공식을 사용하여 얻을 수 있습니다.

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

n이 23인 경우, 적어도 두 사람이 같은 날에 기념일을 맞이할 확률은 0.51입니다.

이 특정 샘플 크기가 유명해진 이유는 n = 23이기 때문입니다. 적어도 두 사람이 같은 날 생일을 축하할 확률이 짝수입니다..

다른 값(예: 30 또는 50)으로 증가하면 확률이 각각 0.71 및 0.97 또는 동일하게 71% 및 97%로 높아집니다. n = 70일 때 우리는 0.99916 또는 99.9%의 확률로 그들 중 두 명이 생일에 일치할 것이라고 거의 보장합니다.

라플라스의 법칙과 곱의 법칙을 이용하여

문제를 이해하는 그리 멀지 않은 또 다른 방법은 다음과 같이 제기하는 것입니다..

23명의 사람들이 한 방에 함께 있고 그들이 생일을 공유하지 않을 확률을 계산하고 싶다고 상상해 봅시다.

방에 한 사람만 있다고 가정해 봅시다. 방에 있는 모든 사람의 생일이 다를 확률은 분명히 100%, 즉 확률 1입니다. 기본적으로 그 사람은 혼자이고 아무도 없기 때문에 생일이 다른 사람과 일치하지 않습니다.

이제 다른 사람이 들어오므로 방에 두 사람이 있습니다. 그녀의 생일이 첫 번째 사람과 다를 확률은 364/365입니다., 이것은 0.9973 또는 99.73%입니다.

3분의 1을 입력하세요. 자신보다 먼저 들어온 두 사람과 생일이 다를 확률은 363/365이다. 세 사람 모두 생일이 다를 확률은 364/365 곱하기 363/365, 즉 0.9918입니다.

따라서 생일이 다른 23명의 옵션은 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, 결과는 0.493입니다.

즉, 참석자 중 생일이 같은 날이 없을 확률이 49.3%이므로 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 그 백분율의 보완을 계산하면 적어도 두 사람이 공유할 확률이 50.7%입니다. 생일

생일 패러독스와는 대조적으로, n명의 방에 있는 누군가가 특정인과 생일이 같은 날, 예를 들어 우리가 그곳에 있을 경우, 다음 공식으로 주어진다.

1- (364/365)^n

n = 23인 경우 약 0.061 확률(6%)을 제공하며, 0.5 또는 50%에 가까운 값을 제공하려면 n = 253 이상이 필요합니다.

현실의 역설

이 역설이 충족되는 것을 볼 수 있는 여러 상황이 있습니다. 여기서 우리는 두 가지 실제 사례를 넣을 것입니다.

첫 번째는 스페인의 왕들입니다.. 카스티야와 아라곤의 카톨릭 군주부터 스페인의 펠리페 6세에 이르기까지 20명의 적법한 군주가 있습니다. 이 왕들 중에는 놀랍게도 생일이 일치하는 두 쌍의 커플이 있습니다. 카를로스 2세와 카를로스 4세(11월 11일), 호세 1세와 후안 카를로스 1세(1월 5일)입니다. n = 20이라는 점을 고려할 때 생일이 같은 군주가 한 쌍뿐일 가능성은 다음과 같습니다.

또 다른 실제 사례는 2019 Eurovision 그랜드 파이널입니다.. 그 해 결승전에는 이스라엘 텔아비브에서 26개국이 참가했는데 그 중 24개국이 그들은 솔로 가수 또는 가수의 모습이 특별한 역할을 맡은 그룹을 보냈습니다. 그 중 이스라엘 대표 코비 마리미와 스위스 대표 루카 하니 두 사람의 생일이 맞아 10월 8일 생일을 맞았다.

참고문헌:

• 에이브람슨, M.; 모저, W. 어느 하나. 제이. (1970). "더 많은 생일 서프라이즈". 미국 수학 월간. 77 (8): 856–858. 도이: 10.2307/2317022
• 블룸, 디. (1973). "생일 문제". 미국 수학 월간. 80 (10): 1141–1142. 도이: 10.2307/2318556
• 클램킨, M.; 뉴먼, D. (1967). "생일 서프라이즈의 확장". 조합론 저널. 3 (3): 279–282. 도이: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9