Dzimšanas dienas paradokss: kas tas ir un kā to izskaidrot

Iedomāsimies, ka esam kopā ar cilvēku grupu, piemēram, ģimenes salidojumā, sākumskolas salidojumā vai vienkārši iedzeram kādu dzērienu bārā. Pieņemsim, ka ir apmēram 25 cilvēki.

Starp troksni un virspusējām sarunām mēs esam mazliet atvienojušies un esam sākuši domāt par savu lietas, un pēkšņi mēs sev uzdodam jautājumu: kādai jābūt varbūtībai, ka starp šiem cilvēkiem diviem cilvēkiem ir dzimšanas diena tajā pašā dienā?

Dzimšanas dienas paradokss ir matemātiska patiesība, pretēji mūsu instinktam, kas uzskata, ka ir nepieciešams ļoti maz cilvēku, lai pastāvētu gandrīz nejauša varbūtība, ka diviem no viņiem ir vienāda dzimšanas diena. Mēģināsim izprast šo kuriozo paradoksu pamatīgāk.

• Saistīts raksts: "Loģiski matemātiskā inteliģence: kas tas ir un kā mēs to varam uzlabot?"

Dzimšanas dienas paradokss

Dzimšanas dienas paradokss ir matemātiska patiesība, kas nosaka, ka tikai 23 cilvēku grupā iespējamība ir tuvu nejaušībai, konkrēti 50,7%. ka vismaz diviem no šiem cilvēkiem ir vienāda dzimšanas diena

. Šī matemātiskā apgalvojuma popularitāte ir saistīta ar pārsteidzošu faktu, ka tik maz ir nepieciešami. cilvēkiem ir diezgan droša iespēja, ka viņiem būs tik daudzveidīgas spēles kā dzimšanas diena.

Lai gan šis matemātiskais fakts tiek saukts par paradoksu, tiešā nozīmē tas tā nav. Tas drīzāk ir paradokss, ciktāl tas izrādās ziņkārīgs, jo tas ir diezgan pretrunā veselajam saprātam. Kad kādam jautā, cik cilvēku, viņuprāt, ir nepieciešams, lai abiem būtu dzimšanas diena vienā dienā, cilvēki mēdz intuitīvi dot 183, tas ir, pusi no 365.

Šīs vērtības pamatā ir doma, ka, uz pusi samazinot dienu skaitu parastajā gadā, tiek iegūts minimums, kas nepieciešams, lai varbūtība būtu tuvu 50%.

tomēr nav pārsteidzoši, ka, mēģinot atbildēt uz šo jautājumu, tiek dotas tik augstas vērtības, jo cilvēki bieži vien pārprot problēmu. Dzimšanas dienas paradokss neattiecas uz varbūtību, ka konkrētai personai ir dzimšanas diena cits grupā, bet, kā jau esam komentējuši, pastāv iespēja, ka jebkuram diviem cilvēkiem grupā ir vienāda dzimšanas diena diena.

Parādības matemātiskais skaidrojums

Lai saprastu šo pārsteidzošo matemātisko patiesību, pirmā lieta, kas jādara, ir paturēt prātā, ka ir daudz iespēju atrast pārus, kuriem ir vienāda dzimšanas diena.

No pirmā acu uzmetiena varētu domāt, ka 23 dienas, tas ir, grupas dalībnieku 23. dzimšanas diena, ir pārāk maza daļa no iespējamā atšķirīgo dienu skaita, 365 dienas garajā gadā vai 366 garajā gadā, it kā gaidītu atkārtojumus. Šī domāšana patiešām ir precīza, bet tikai tad, ja mēs sagaidām atkārtošanos noteiktā dienā. Tā teikt, un, kā jau esam komentējuši, mums vajadzētu savākt daudz cilvēku, lai būtu vēl viena iespēja vai mazāk tuvu 50% kādam no grupas dalībniekiem ir dzimšanas diena ar mums pašiem, lai liktu a piemērs.

Tomēr dzimšanas dienas paradoksā rodas jebkādi atkārtojumi. Tas ir, cik cilvēku ir nepieciešams, lai diviem no šiem cilvēkiem dzimšanas diena būtu vienā un tajā pašā dienā. Lai to saprastu un parādītu matemātiski, Tālāk mēs padziļināti aplūkosim procedūru aiz paradoksa.

• Jūs varētu interesēt: "12 kuriozi par cilvēka prātu"

Iespējamā sakritības iespēja

Iedomāsimies, ka mums istabā ir tikai divi cilvēki. Šie divi cilvēki, C1 un C2, varētu izveidot tikai pāri (C1=C2), ar kuru mums ir tikai viens pāris, kurā var notikt atkārtota dzimšanas diena. Vai nu viņiem ir dzimšanas diena vienā dienā, vai arī viņiem nav viena un tā pati dzimšanas diena, citas alternatīvas nav..

Lai matemātiski noteiktu šo faktu, mums ir šāda formula:

(Cilvēku skaits x iespējamās kombinācijas)/2 = iespējamās sakritības iespējas.

Šajā gadījumā tas būtu:

(2 x 1)/2 = 1 iespējamās spēles iespēja

Kas notiek, ja divu cilvēku vietā ir trīs? Spēles iespējas palielinās līdz trim, pateicoties tam, ka starp šiem trim cilvēkiem var izveidoties trīs pāri (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Matemātiski mums ir:

(3 cilvēki X 2 iespējamās kombinācijas)/2 = 3 iespējamās spēles iespējas

Ar četrām ir sešas iespējas, kas starp tām sakrīt:

(4 cilvēki X 3 iespējamās kombinācijas)/2 = 6 iespējamās spēles iespējas

Ja mēs sasniedzam līdz desmit cilvēkiem, mums ir daudz vairāk iespēju:

(10 cilvēki X 9 iespējamās kombinācijas)/2 = 45

Ar 23 cilvēkiem ir (23×22)/2 = 253 dažādi pāri, katrs no viņiem ir kandidāts uz diviem saviem biedriem, lai dzimšanas dienas būtu vienā dienā, radot sev dzimšanas dienas paradoksu un vairāk iespēju dzimšanas dienas sakritībai.

varbūtības novērtējums

Mēs aprēķināsim, kāda ir varbūtība, ka grupā ar lielumu n ir divi cilvēki, lai kādi tie būtu, dzimšanas diena ir tajā pašā dienā. Šajā konkrētajā gadījumā mēs atmetīsim garos gadus un dvīņus, pieņemot, ka ir 365 dzimšanas dienas, kurām ir tāda pati varbūtība.

Izmantojot Laplasa likumu un kombinatoriku

Pirmkārt, mums ir jāaprēķina varbūtība, ka n cilvēkiem ir dažādas dzimšanas dienas. Tas ir, mēs aprēķinām varbūtību, kas ir pretēja dzimšanas dienas paradoksā norādītajam. Priekš šī, Veicot aprēķinus, mums jāņem vērā divi iespējamie notikumi.

Pasākums A = {divi cilvēki svin savu dzimšanas dienu vienā dienā} Papildinājums notikumam A: A^c = {divas personas nesvin dzimšanas dienas vienā dienā}

Pieņemsim kā konkrētu gadījumu grupu ar pieciem cilvēkiem (n=5)

Lai aprēķinātu iespējamo gadījumu skaitu, mēs izmantojam šādu formulu:

gada dienas^n

Ņemot vērā, ka parastajā gadā ir 365 dienas, iespējamo dzimšanas dienas svinību gadījumu skaits ir:

365^5 = 6,478 × 10^12

Pirmais no mūsu izvēlētajiem cilvēkiem, iespējams, ir dzimis, kā tas ir loģiski domāt, jebkurā no 365 gada dienām. Nākamais varētu būt dzimis kādā no atlikušajām 364 dienām, un nākamais no nākamajiem var būt dzimis kādā no atlikušajām 363 dienām utt.

No tā izriet šāds aprēķins: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6303 × 10^12, kas iegūst kā Rezultāts ir to gadījumu skaits, kad šajā 5 grupā nav divu vienādi dzimušu cilvēku diena.

Piemērojot Laplasa likumu, mēs aprēķinātu:

P (A^c) = labvēlīgi gadījumi/iespējamie gadījumi = 6,303 / 6,478 = 0,973

Tas nozīmē ka iespēja, ka diviem cilvēkiem 5 cilvēku grupā dzimšanas dienas nebūs vienā dienā, ir 97,3%.. Izmantojot šos datus, mēs varam iegūt iespēju diviem cilvēkiem dzimšanas dienu svinēt vienā dienā, iegūstot papildu vērtību.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Tādējādi no tā izriet, ka iespēja, ka piecu cilvēku grupā diviem no viņiem dzimšanas diena ir vienā dienā, ir tikai 2,7%.

To saprotot, mēs varam mainīt izlases lielumu. Varbūtību, ka vismaz diviem cilvēkiem n cilvēku sapulcē ir vienāda dzimšanas diena, var iegūt, izmantojot šādu formulu:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

Gadījumā, ja n ir 23, varbūtība, ka vismaz divi no šiem cilvēkiem svin gadus vienā un tajā pašā dienā, ir 0,51.

Iemesls, kāpēc šis konkrētais izlases lielums ir kļuvis tik slavens, ir tāpēc, ka ar n = 23 pastāv vienmērīga varbūtība, ka vienā dienā dzimšanas dienu svin vismaz divi cilvēki.

Ja mēs palielināsim līdz citām vērtībām, piemēram, 30 vai 50, mums ir lielāka varbūtība, attiecīgi 0,71 un 0,97, vai arī tas pats, 71% un 97%. Ja n = 70, mēs esam gandrīz garantēti, ka divi no tiem sakritīs viņu dzimšanas dienā ar varbūtību 0,99916 jeb 99,9%.

Izmantojot Laplasa likumu un produkta kārtulu

Vēl viens ne tik tālu izdomāts veids, kā izprast problēmu, ir to izvirzīt šādi.

Iedomāsimies, ka istabā ir kopā 23 cilvēki un mēs vēlamies aprēķināt iespēju, ka viņiem nav kopīgas dzimšanas dienas.

Pieņemsim, ka telpā ir tikai viens cilvēks. Iespējamība, ka visiem telpā esošajiem būs dažādas dzimšanas dienas, acīmredzami ir 100%, tas ir, iespējamība 1. Būtībā šī persona ir viena, un, tā kā tur neviena cita nav, viņa dzimšanas diena nesakrīt ar neviena cita dzimšanas dienu.

Tagad ienāk cits cilvēks, un tāpēc istabā ir divi cilvēki. Izredzes, ka viņas dzimšanas diena atšķiras no pirmās personas dzimšanas dienas, ir 364/365, tas ir 0,9973 jeb 99,73%.

Ievadiet trešo. Varbūtība, ka viņai ir savādāka dzimšanas diena nekā pārējiem diviem cilvēkiem, kuri ir ienākuši pirms viņas, ir 363/365. Izredzes, ka visiem trim ir dažādas dzimšanas dienas, ir 364/365 reiz 363/365 jeb 0,9918.

Tātad iespējas 23 personām, kurām ir dažādas dzimšanas dienas, ir 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, kā rezultātā 0,493.

Citiem vārdiem sakot, pastāv 49,3% varbūtība, ka nevienam no klātesošajiem dzimšanas diena nav tajā pašā dienā un līdz ar to otrādi, Aprēķinot šīs procentuālās daļas komplementaritāti, mēs iegūstam, ka pastāv 50,7% iespēja, ka vismaz divi no viņiem dalās dzimšanas diena

Atšķirībā no dzimšanas dienas paradoksa, varbūtība, ka ikviens telpā, kurā ir n personas dzimšanas diena tajā pašā dienā kā konkrētai personai, piemēram, mēs paši, ja esam tur, tiek dota pēc šādas formulas.

1- (364/365)^n

Ja n = 23, tas dotu aptuveni 0,061 varbūtību (6%), lai iegūtu vērtību, kas ir tuvu 0,5 vai 50%, vismaz n = 253.

Paradokss realitātē

Ir vairākas situācijas, kurās mēs varam redzēt, ka šis paradokss ir piepildījies. Šeit mēs ievietosim divus reālus gadījumus.

Pirmais ir Spānijas karaļi. Skaitot no Kastīlijas un Aragonas katoļu monarhu valdīšanas līdz Spānijas Felipes VI valdīšanas laikam, mums ir 20 likumīgi monarhi. Starp šiem karaļiem pārsteidzošā kārtā mēs atrodam divus pārus, kuru dzimšanas dienas sakrīt: Karloss II ar Karlosu IV (11. novembrī) un Hosē I ar Huanu Karlosu I (5. janvārī). Iespēja, ka bija tikai viens monarhu pāris ar vienādu dzimšanas dienu, ņemot vērā, ka n = 20, ir

Vēl viens reāls gadījums ir 2019. gada Eirovīzijas lielais fināls. Tā gada finālā, kas notika Telavivā, Izraēlā, piedalījās 26 valstis, no kurām 24 Viņi nosūtīja vai nu solo dziedātājus, vai grupas, kurās dziedātāja figūra ieņēma īpašu lomu. Tostarp divi dziedātāji sakrita dzimšanas dienā: Izraēlas pārstāvis Kobi Marimi un Šveices pārstāvis Luka Hänni, abi svin savu dzimšanas dienu 8. oktobrī.

Bibliogrāfiskās atsauces:

• Ābramsons, M.; Mozers, V. ARĪ. Dž. (1970). "Vairāk dzimšanas dienas pārsteigumu". Amerikas matemātikas ikmēneša izdevums. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Blūms, d. (1973). "Dzimšanas dienas problēma". Amerikas matemātikas ikmēneša izdevums. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkins, M.; Ņūmens, D. (1967). "Dzimšanas dienas pārsteiguma pagarinājumi". Kombinatoriskās teorijas žurnāls. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9