De verjaardagsparadox: wat het is en hoe het uit te leggen

Laten we ons voorstellen dat we met een groep mensen zijn, bijvoorbeeld op een familiereünie, een basisschoolreünie of gewoon een drankje drinken in een bar. Laten we zeggen dat er ongeveer 25 mensen zijn.

Tussen het lawaai en de oppervlakkige gesprekken door hebben we de verbinding een beetje verbroken en zijn we gaan nadenken over onze dingen en plotseling vragen we ons af: wat moet de kans zijn dat er onder deze mensen twee mensen jarig zijn dezelfde dag?

De verjaardagsparadox is een wiskundige waarheid, in tegenstelling tot ons instinct, dat stelt dat er maar heel weinig mensen nodig zijn om een ​​bijna willekeurige kans te hebben dat twee van hen dezelfde verjaardag hebben. Laten we proberen deze merkwaardige paradox grondiger te begrijpen.

• Gerelateerd artikel: "Logisch-wiskundige intelligentie: wat is het en hoe kunnen we het verbeteren?"

De verjaardagsparadox

De verjaardagsparadox is een wiskundige waarheid die stelt dat er in een groep van slechts 23 mensen een kans is die het toeval benadert, met name 50,7%,

dat minstens twee van die mensen dezelfde verjaardag hebben. De populariteit van deze wiskundige verklaring is te danken aan het verrassende feit dat er zo weinig nodig zijn. mensen een vrij zekere kans hebben dat ze lucifers zullen hebben op zoiets gevarieerds als een verjaardag.

Hoewel dit wiskundige feit een paradox wordt genoemd, is het dat in strikte zin niet. Het is eerder een paradox voor zover het merkwaardig blijkt te zijn, aangezien het nogal in strijd is met het gezond verstand. Als iemand wordt gevraagd hoeveel mensen er volgens hem nodig zijn om samen op dezelfde dag jarig te zijn, geven mensen intuïtief 183, dat wil zeggen de helft van 365.

De gedachte achter deze waarde is dat door het aantal dagen in een gewoon jaar te halveren, het minimum wordt verkregen dat nodig is voor een waarschijnlijkheid van bijna 50%.

Echter, het is niet verwonderlijk dat zulke hoge waarden worden gegeven bij het beantwoorden van deze vraag, omdat mensen het probleem vaak verkeerd begrijpen. De verjaardagsparadox verwijst niet naar de waarschijnlijkheid dat een bepaalde persoon jarig is een ander in de groep, maar, zoals we hebben opgemerkt, de kans dat twee mensen in de groep dezelfde verjaardag hebben dag.

Wiskundige verklaring van het fenomeen

Om deze verrassende wiskundige waarheid te begrijpen, is het eerste wat je moet doen in gedachten houden dat er veel mogelijkheden zijn om paren te vinden die dezelfde verjaardag hebben.

Op het eerste gezicht zou je denken dat 23 dagen, dat wil zeggen de 23ste verjaardag van de bandleden, een te kleine fractie van het mogelijke aantal verschillende dagen, 365 dagen van een niet-schrikkeljaar, of 366 in schrikkeljaren, alsof je herhalingen kunt verwachten. Deze gedachtegang klopt inderdaad, maar alleen als we op een bepaalde dag een herhaling verwachten. Dat wil zeggen, en zoals we al hebben opgemerkt, zouden we veel mensen moeten verzamelen, zodat er nog een mogelijkheid zou zijn of minder dicht bij 50% van een van de leden van de groep die met ons jarig is, om maar te zeggen voorbeeld.

In de verjaardagsparadox doen zich echter herhalingen voor. Dat wil zeggen, hoeveel mensen zijn er nodig om twee van die mensen op dezelfde dag jarig te laten zijn, ongeacht de persoon of dagen. Om het te begrijpen en wiskundig te tonen, Vervolgens gaan we dieper in op de procedure achter de paradox.

• Misschien ben je geïnteresseerd in: "12 curiosa over de menselijke geest"

Mogelijkheid van mogelijke match

Laten we ons voorstellen dat we slechts twee mensen in een kamer hebben. Deze twee personen, C1 en C2, konden maar een koppel vormen (C1=C2), waarmee we maar één koppel hebben waarin een herhalingsverjaardag kan voorkomen. Of ze zijn op dezelfde dag jarig, of ze zijn niet op dezelfde dag jarig, er zijn geen andere alternatieven..

Om dit feit wiskundig weer te geven, hebben we de volgende formule:

(Aantal mensen x mogelijke combinaties)/2 = mogelijkheden van mogelijk toeval.

In dit geval zou dit zijn:

(2 x 1)/2 = 1 kans op een mogelijke match

Wat gebeurt er als er in plaats van twee mensen drie zijn? Match kansen gaan tot drie, dankzij het feit dat er tussen deze drie personen drie paren kunnen worden gevormd (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Wiskundig weergegeven hebben we:

(3 personen X 2 mogelijke combinaties)/2 = 3 kansen op een mogelijke match

Met vier zijn er zes mogelijkheden dat ze onderling samenvallen:

(4 personen X 3 mogelijke combinaties)/2 = 6 kansen op een mogelijke match

Gaan we naar tien personen, dan hebben we nog veel meer mogelijkheden:

(10 personen X 9 mogelijke combinaties)/2 = 45

Met 23 personen zijn er (23×22)/2 = 253 verschillende koppels, elk van hen een kandidaat voor hun twee leden om op dezelfde dag jarig te zijn, waardoor ze zichzelf de verjaardagsparadox geven en meer mogelijkheden hebben om een ​​verjaardagstoeval te hebben.

kans schatting

We gaan berekenen wat de kans is dat een groep met grootte n van mensen twee van hen is, wat ze ook zijn, op dezelfde dag jarig zijn. Voor dit specifieke geval gaan we schrikkeljaren en tweelingen weggooien, ervan uitgaande dat er 365 verjaardagen zijn die dezelfde kans hebben.

De regel van Laplace en combinatoriek gebruiken

Eerst moeten we de kans berekenen dat n mensen verschillende verjaardagen hebben. Dat wil zeggen, we berekenen de kans die tegengesteld is aan wat wordt vermeld in de verjaardagsparadox. Voor deze, We moeten rekening houden met twee mogelijke gebeurtenissen bij het overwegen van de berekeningen.

Gebeurtenis A = {twee mensen vieren hun verjaardag op dezelfde dag} Aanvullend op het evenement A: A^c = {twee mensen vieren hun verjaardag niet op dezelfde dag}

Laten we als bijzonder geval een groep van vijf personen nemen (n=5)

Om het aantal mogelijke gevallen te berekenen, gebruiken we de volgende formule:

dagen van het jaar^n

Rekening houdend met het feit dat een normaal jaar 365 dagen heeft, is het aantal mogelijke gevallen van verjaardagsviering:

365^5 = 6,478 × 10^12

De eerste van de mensen die we selecteren, is, zoals logisch te denken, geboren op een van de 365 dagen van het jaar. De volgende kan geboren zijn in een van de resterende 364 dagen, en de volgende van de volgende kan zijn geboren in een van de resterende 363 dagen, enzovoort.

Hieruit volgt de volgende berekening: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6.303 × 10^12, wat geeft als resultaat is het aantal gevallen waarin er niet twee mensen in die groep van 5 zijn die hetzelfde zijn geboren dag.

Als we de regel van Laplace toepassen, zouden we berekenen:

P (A^c) = gunstige gevallen/mogelijke gevallen = 6,303 / 6,478 = 0,973

Dit betekent dat de kans dat twee mensen in de groep van 5 niet jarig zijn op dezelfde dag is 97,3%. Met deze gegevens kunnen we de mogelijkheid verkrijgen dat twee mensen op dezelfde dag jarig zijn, waardoor de complementaire waarde wordt verkregen.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Hieruit wordt dus afgeleid dat de kans dat in een groep van vijf mensen er twee op dezelfde dag jarig zijn slechts 2,7% is.

Als we dit begrijpen, kunnen we de grootte van de steekproef wijzigen. De kans dat ten minste twee mensen in een verzameling van n mensen dezelfde verjaardag hebben, kan worden verkregen met de volgende formule:

1- ((365x364x363x...(365-n+1))/365^n)

Als n 23 is, is de kans dat ten minste twee van die mensen op dezelfde dag hun verjaardag vieren 0,51.

De reden waarom deze specifieke steekproefomvang zo beroemd is geworden, is omdat met n = 23 er is een even grote kans dat minstens twee mensen op dezelfde dag jarig zijn.

Stijgen we naar andere waarden, bijvoorbeeld 30 of 50, dan hebben we hogere kansen van respectievelijk 0,71 en 0,97, of wat hetzelfde is, 71% en 97%. Met n = 70 zijn we er bijna zeker van dat twee van hen samenvallen op hun verjaardag, met een waarschijnlijkheid van 0,99916 of 99,9%

De regel van Laplace en de productregel gebruiken

Een andere niet zo vergezochte manier om het probleem te begrijpen, is door het als volgt te stellen.

Laten we ons voorstellen dat 23 mensen samen in een kamer zijn en we willen de kans berekenen dat ze geen verjaardag delen.

Stel dat er maar één persoon in de kamer is. De kans dat iedereen in de kamer verschillende verjaardagen heeft, is uiteraard 100%, dat wil zeggen kans 1. Kortom, die persoon is alleen, en aangezien er niemand anders is, valt hun verjaardag niet samen met die van iemand anders.

Nu komt er nog een persoon binnen, en dus zijn er twee mensen in de kamer. De kans dat ze een andere verjaardag heeft dan de eerste persoon is 364/365, dit is 0,9973 of 99,73%.

Voer een derde in. De kans dat ze een andere verjaardag heeft dan de andere twee personen die voor haar zijn binnengekomen, is 363/365. De kans dat ze alle drie verschillende verjaardagen hebben, is 364/365 keer 363/365, of 0,9918.

Dus de opties voor 23 mensen met verschillende verjaardagen zijn 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, resulterend in 0,493.

Met andere woorden, er is een kans van 49,3% dat geen van de aanwezigen op dezelfde dag jarig is en dus omgekeerd, door het complementaire van dat percentage te berekenen, hebben we dat er een kans van 50,7% is dat ten minste twee van hen delen verjaardag

In tegenstelling tot de verjaardagsparadox is de kans dat iemand in een kamer n persoon is op dezelfde dag jarig zijn als een specifiek persoon, bijvoorbeeld onszelf voor het geval we daar zijn, wordt gegeven door de volgende formule.

1- (364/365)^n

Met n = 23 zou het een waarschijnlijkheid van ongeveer 0,061 (6%) opleveren, waarbij ten minste n = 253 nodig is om een ​​waarde te geven die dicht bij 0,5 of 50% ligt.

De paradox in werkelijkheid

Er zijn meerdere situaties waarin we kunnen zien dat deze paradox wordt vervuld. Hier gaan we twee echte gevallen plaatsen.

De eerste is die van de koningen van Spanje. Gerekend vanaf de heerschappij van de katholieke vorsten van Castilië en Aragon tot die van Felipe VI van Spanje, hebben we 20 legitieme vorsten. Onder deze koningen vinden we, verrassend genoeg, twee paren die samenvallen op verjaardagen: Carlos II met Carlos IV (11 november) en José I met Juan Carlos I (5 januari). De mogelijkheid dat er slechts één paar monarchen met dezelfde verjaardag was, rekening houdend met het feit dat n = 20, is

Een ander echt geval is dat van de grote finale van het Eurovisie Songfestival 2019. Aan de finale van dat jaar, gehouden in Tel Aviv, Israël, deden 26 landen mee, waarvan 24 Ze stuurden solozangers of groepen waar de figuur van de zanger een speciale rol op zich nam. Onder hen vielen twee zangers samen op een verjaardag: de vertegenwoordiger van Israël, Kobi Marimi en die van Zwitserland, Luca Hänni, die beiden hun verjaardag vierden op 8 oktober.

Bibliografische referenties:

• Abramson, M.; Moser, W. OF. J. (1970). "Meer verjaardagsverrassingen". American Mathematical Monthly. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Bloei, ged. (1973). "Een verjaardagsprobleem". American Mathematical Monthly. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkin, M.; Newman, D. (1967). "Uitbreidingen van de verjaardagsverrassing". Journal of combinatorische theorie. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9