Bursdagsparadokset: hva det er, og hvordan forklare det

La oss forestille oss at vi er sammen med en gruppe mennesker, for eksempel på en familiegjenforening, en primærklassegjenforening, eller bare ta en drink i en bar. La oss si at det er rundt 25 personer.

Mellom støyen og de overfladiske samtalene har vi koblet oss litt ut og vi har begynt å tenke på våre ting, og plutselig spør vi oss selv: hva må være sannsynligheten for at to personer har bursdag på den samme dagen?

Bursdagsparadokset er en matematisk sannhet, i motsetning til vårt instinkt, som hevder at det trengs svært få mennesker for at det skal være en nesten tilfeldig sannsynlighet for at to av dem har samme bursdag. La oss prøve å forstå dette merkelige paradokset mer grundig.

• Relatert artikkel: "Logisk-matematisk intelligens: hva er det og hvordan kan vi forbedre det?"

Bursdagsparadokset

Bursdagsparadokset er en matematisk sannhet som slår fast at i en gruppe på bare 23 personer er det en sannsynlighet nær tilfeldighetene, nærmere bestemt 50,7 %, at minst to av disse personene har samme bursdag

. Populariteten til dette matematiske utsagnet skyldes det overraskende faktum at så få er nødvendige. folk skal ha en ganske sikker sjanse for at de vil ha fyrstikker på noe så variert som en bursdag.

Selv om dette matematiske faktum kalles et paradoks, er det i streng forstand ikke det. Det er snarere et paradoks i den grad det viser seg å være nysgjerrig, siden det er ganske i strid med sunn fornuft. Når noen blir spurt om hvor mange personer de tror det skal til for at de to skal ha bursdag på samme dag, pleier folk intuitivt å gi 183, det vil si halvparten av 365.

Tanken bak denne verdien er at ved å halvere antall dager i et ordinært år, oppnås det minimum som er nødvendig for at det skal være en sannsynlighet nær 50 %.

Derimot, det er ikke overraskende at så høye verdier gis når du prøver å svare på dette spørsmålet, siden folk ofte misforstår problemet. Bursdagsparadokset viser ikke til sannsynlighetene for at en bestemt person har bursdag med hensyn til en annen i gruppen, men, som vi har kommentert, sjansene for at to personer i gruppen har samme bursdag dag.

Matematisk forklaring av fenomenet

For å forstå denne overraskende matematiske sannheten, er det første du må gjøre å huske på at det er mange muligheter for å finne par som har samme bursdag.

Ved første øyekast skulle man tro at 23 dager, det vil si 23-årsdagen til bandmedlemmene, er for liten brøkdel av mulig antall forskjellige dager, 365 dager av et ikke-skuddår, eller 366 i skuddår, som for å forvente gjentakelser. Denne tenkningen er riktignok nøyaktig, men bare hvis vi forventer en gjentakelse på en bestemt dag. Det vil si, og som vi allerede har kommentert, ville vi trenge å samle mange mennesker slik at det ville være en mulighet til eller mindre nær 50 % av et av medlemmene i gruppen som har bursdag med oss ​​selv, for å sette en eksempel.

Men i bursdagsparadokset oppstår eventuelle repetisjoner. Det vil si hvor mange personer som trengs for at to av disse personene skal ha bursdag på samme dag, er personen eller dagene noen. For å forstå det og vise det matematisk, Deretter skal vi se mer i dybden prosedyren bak paradokset.

• Du kan være interessert i: "12 kuriositeter om menneskesinnet"

Mulighet for mulig match

La oss forestille oss at vi bare har to personer i et rom. Disse to personene, C1 og C2, kunne bare danne et par (C1=C2), som vi bare har ett par der en gjentatt fødselsdag kan forekomme. Enten de har bursdag samme dag, eller så har de ikke samme bursdag, det er ingen andre alternativer..

For å oppgi dette matematisk, har vi følgende formel:

(Antall personer x mulige kombinasjoner)/2 = muligheter for mulig tilfeldighet.

I dette tilfellet vil dette være:

(2 x 1)/2 = 1 sjanse for en mulig kamp

Hva skjer hvis det er tre i stedet for to? Kampsjansene går opp til tre, takket være det faktum at tre par kan dannes mellom disse tre personene (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Matematisk representert har vi:

(3 personer X 2 mulige kombinasjoner)/2 = 3 sjanser for en mulig kamp

Med fire er det seks muligheter som de sammenfaller mellom dem:

(4 personer X 3 mulige kombinasjoner)/2 = 6 sjanser for en mulig kamp

Hvis vi går opp til ti personer, har vi mange flere muligheter:

(10 personer X 9 mulige kombinasjoner)/2 = 45

Med 23 personer er det (23×22)/2 = 253 forskjellige par, hver og en av dem en kandidat for at deres to medlemmer skal ha bursdag på samme dag, noe som gir seg selv bursdagsparadokset og har flere muligheter for å ha en bursdagssammentreff.

sannsynlighetsestimering

Vi skal beregne hva som er sannsynligheten for at en gruppe med størrelse n av personer to av dem, uansett hva de er, har bursdag samme dag. For dette spesifikke tilfellet skal vi forkaste skuddår og tvillinger, forutsatt at det er 365 bursdager som har samme sannsynlighet.

Ved å bruke Laplaces regel og kombinatorikk

Først må vi beregne sannsynligheten for at n personer har forskjellig fødselsdag. Det vil si at vi regner ut sannsynligheten motsatt av det som står i bursdagsparadokset. For dette, Vi må ta hensyn til to mulige hendelser når vi vurderer beregningene.

Hendelse A = {to personer feirer bursdagen sin på samme dag} Komplementært til arrangementet A: A^c = {to personer feirer ikke bursdager på samme dag}

La oss ta som et spesielt tilfelle en gruppe med fem personer (n=5)

For å beregne antall mulige tilfeller bruker vi følgende formel:

dager i året^n

Tatt i betraktning at et normalt år har 365 dager, er antallet mulige tilfeller av bursdagsfeiringer:

365^5 = 6,478 × 10^12

Den første av personene vi velger kan ha blitt født, som det er logisk å tro, på en av de 365 dagene i året. Den neste kan ha blitt født i løpet av en av de resterende 364 dagene, og den neste av de neste kan ha blitt født i en av de resterende 363 dagene, og så videre.

Fra dette følger følgende beregning: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6 303 × 10^12, som gir som resultat er antall tilfeller der det ikke er to personer i den gruppen på 5 som er født like dag.

Ved å bruke Laplaces regel vil vi beregne:

P (A^c) = gunstige tilfeller/mulige tilfeller = 6,303 / 6,478 = 0,973

Dette betyr at sjansene for at to personer i gruppen på 5 ikke har bursdag på samme dag er 97,3 %. Med disse dataene kan vi få muligheten for at to personer har bursdag på samme dag, og får komplementærverdien.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Dermed hentes det ut at sjansen for at i en gruppe på fem personer har to av dem bursdag samme dag er bare 2,7 %.

Når vi forstår dette, kan vi endre størrelsen på prøven. Sannsynligheten for at minst to personer i en samling på n personer har samme bursdag kan oppnås ved å bruke følgende formel:

1- ((365x364x363x...(365-n+1))/365^n)

I tilfelle n er 23, er sannsynligheten for at minst to av disse personene feirer år på samme dag 0,51.

Grunnen til at denne spesifikke prøvestørrelsen har blitt så kjent er fordi med n = 23 det er en jevn sannsynlighet for at minst to personer feirer bursdagen samme dag.

Hvis vi øker til andre verdier, for eksempel 30 eller 50, har vi høyere sannsynlighet på henholdsvis 0,71 og 0,97, eller det som er det samme, 71 % og 97 %. Med n = 70 er vi nesten garantert at to av dem vil falle sammen på fødselsdagen deres, med en sannsynlighet på 0,99916 eller 99,9 %

Bruker Laplaces regel og produktregelen

En annen ikke så langsøkt måte å forstå problemet på er å stille det som følger.

La oss tenke oss at 23 personer er sammen i et rom og vi ønsker å beregne sjansene for at de ikke deler bursdager.

Anta at det bare er én person i rommet. Sjansen for at alle i rommet har forskjellige bursdager er åpenbart 100 %, det vil si sannsynlighet 1. I utgangspunktet er den personen alene, og siden ingen andre er der, faller ikke bursdagen deres sammen med noen andres.

Nå kommer en annen person inn, og derfor er det to personer i rommet. Oddsen for at hun har en annen bursdag enn den første personen er 364/365, dette er 0,9973 eller 99,73 %.

Skriv inn en tredje. Sannsynligheten for at hun har en annen bursdag enn de to andre personene, som har meldt seg inn før henne, er 363/365. Oddsen for at alle tre har forskjellige bursdager er 364/365 ganger 363/365, eller 0,9918.

Så alternativene for 23 personer som har forskjellige bursdager er 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, noe som resulterer i 0,493.

Det er med andre ord 49,3 % sannsynlighet for at ingen av de tilstedeværende har bursdag samme dag, og derfor omvendt, ved å beregne komplementæren til den prosentandelen har vi at det er en 50,7 % sjanse for at minst to av dem deler fødselsdag

I motsetning til bursdagsparadokset er sannsynligheten for at noen i et rom på n person bursdag samme dag som en bestemt person, for eksempel oss selv i tilfelle vi er der, er gitt av følgende formel.

1- (364/365)^n

Med n = 23 vil det gi rundt 0,061 sannsynlighet (6%), og krever minst n = 253 for å gi en verdi nær 0,5 eller 50%.

Paradokset i virkeligheten

Det er flere situasjoner der vi kan se at dette paradokset er oppfylt. Her skal vi sette to reelle tilfeller.

Den første er den til kongene av Spania. Tellert fra regjeringen til de katolske monarkene i Castilla og Aragon til den til Felipe VI av Spania, har vi 20 legitime monarker. Blant disse kongene finner vi overraskende to par som faller sammen på bursdager: Carlos II med Carlos IV (11. november) og José I med Juan Carlos I (5. januar). Muligheten for at det bare var ett par monarker med samme fødselsdag, tatt i betraktning at n = 20, er

En annen virkelig sak er den store finalen i Eurovision i 2019. I finalen det året, holdt i Tel Aviv, Israel, deltok 26 land, hvorav 24 De sendte enten solosangere eller grupper hvor sangerskikkelsen tok en spesiell rolle. Blant dem falt to sangere sammen på en bursdag: representanten for Israel, Kobi Marimi og den fra Sveits, Luca Hänni, som begge feiret bursdagen sin 8. oktober.

Bibliografiske referanser:

• Abramson, M.; Moser, W. ENTEN. J. (1970). "Flere bursdagsoverraskelser". American Mathematical Monthly. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Bloom, d. (1973). "Et bursdagsproblem". American Mathematical Monthly. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkin, M.; Newman, D. (1967). "Utvidelser av bursdagsoverraskelsen". Journal of Combinatorial Theory. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9