Urodzinowy paradoks: co to jest i jak to wyjaśnić

Wyobraźmy sobie, że jesteśmy z grupą ludzi, na przykład na zjeździe rodzinnym, zjeździe klasowym lub po prostu pijemy drinka w barze. Powiedzmy, że jest około 25 osób.

Pomiędzy hałasem a powierzchownymi rozmowami trochę się rozłączyliśmy i zaczęliśmy myśleć o naszym rzeczy i nagle zadajemy sobie pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród tych osób dwie osoby mają urodziny w dniu, w którym się urodziły tego samego dnia?

Urodzinowy paradoks jest matematyczną prawdą, w przeciwieństwie do naszego instynktu, który podpowiada, że ​​potrzeba bardzo niewielu osób, aby istniało niemal przypadkowe prawdopodobieństwo, że dwoje z nich ma urodziny tego samego dnia. Spróbujmy dokładniej zrozumieć ten ciekawy paradoks.

• Powiązany artykuł: „Inteligencja logiczno-matematyczna: co to jest i jak możemy ją poprawić?"

Urodzinowy paradoks

Paradoks urodzin to matematyczna prawda, która stwierdza, że ​​w grupie zaledwie 23 osób istnieje prawdopodobieństwo bliskie przypadkowi, konkretnie 50,7%, że co najmniej dwie z tych osób mają urodziny tego samego dnia

. Popularność tego matematycznego twierdzenia wynika z zaskakującego faktu, że tak niewiele jest potrzebnych. ludzi, aby mieli całkiem pewną szansę, że będą mieli mecze w coś tak różnorodnego, jak urodziny.

Chociaż ten fakt matematyczny nazywany jest paradoksem, w ścisłym tego słowa znaczeniu nim nie jest. Jest to raczej paradoks, o ile okazuje się ciekawy, ponieważ jest to całkowicie sprzeczne ze zdrowym rozsądkiem. Kiedy ktoś jest pytany, ile osób ich zdaniem potrzeba, aby oboje obchodzili urodziny tego samego dnia, ludzie intuicyjnie podają 183, czyli połowę z 365.

Myśl stojąca za tą wartością polega na tym, że zmniejszając o połowę liczbę dni w zwykłym roku, uzyskuje się minimum niezbędne do uzyskania prawdopodobieństwa bliskiego 50%.

Jednakże, nic dziwnego, że przy próbie odpowiedzi na to pytanie podaje się tak wysokie wartości, ponieważ ludzie często nie rozumieją problemu. Paradoks urodzinowy nie odnosi się do prawdopodobieństwa, w jakim dana osoba ma urodziny inna osoba w grupie, ale, jak już wspomnieliśmy, prawdopodobieństwo, że dowolne dwie osoby w grupie mają urodziny tego samego dnia dzień.

Matematyczne wyjaśnienie zjawiska

Aby zrozumieć tę zaskakującą prawdę matematyczną, pierwszą rzeczą do zrobienia jest pamiętać, że istnieje wiele możliwości znalezienia par, które mają urodziny tego samego dnia.

Na pierwszy rzut oka można by pomyśleć, że 23 dni, czyli 23. zbyt mały ułamek możliwej liczby odrębnych dni, 365 dni w roku nieprzestępnym lub 366 w roku przestępnym, jak gdyby spodziewając się powtórzeń. To myślenie jest rzeczywiście trafne, ale tylko wtedy, gdy spodziewamy się powtórki w określonym dniu. To znaczy, jak już komentowaliśmy, musielibyśmy zebrać wiele osób, aby istniała jeszcze jedna możliwość lub mniej blisko 50% jednego z członków grupy, który obchodzi urodziny razem z nami, mówiąc a przykład.

Jednak w urodzinowym paradoksie pojawiają się wszelkie powtórzenia. To znaczy, ile osób jest potrzebnych, aby dwie z tych osób miały urodziny tego samego dnia, będąc osobą lub dniami. Aby to zrozumieć i pokazać matematycznie, Następnie przyjrzymy się dokładniej procedurze stojącej za paradoksem.

• Możesz być zainteresowany: "12 ciekawostek o ludzkim umyśle"

Możliwość ewentualnego dopasowania

Wyobraźmy sobie, że mamy tylko dwie osoby w pokoju. Te dwie osoby, C1 i C2, mogły stworzyć tylko parę (C1=C2), z którą mamy tylko jedną parę, w której mogą wystąpić powtórne urodziny. Albo mają urodziny tego samego dnia, albo nie mają tego samego dnia urodzin, nie ma innej alternatywy..

Aby wyrazić ten fakt matematycznie, mamy następujący wzór:

(Liczba osób x możliwe kombinacje)/2 = możliwości możliwego zbiegu okoliczności.

W tym przypadku byłoby to:

(2 x 1)/2 = 1 szansa na możliwe dopasowanie

Co się stanie, jeśli zamiast dwóch osób będą trzy? Szanse na mecz rosną do trzech, dzięki temu, że między tymi trzema osobami mogą powstać trzy pary (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Matematycznie reprezentowane mamy:

(3 osoby X 2 możliwe kombinacje)/2 = 3 szanse na możliwe dopasowanie

Z czterema istnieje sześć możliwości, które pokrywają się między nimi:

(4 osoby X 3 możliwe kombinacje)/2 = 6 szans na możliwe dopasowanie

Jeśli podejdziemy do dziesięciu osób, mamy o wiele więcej możliwości:

(10 osób X 9 możliwych kombinacji)/2 = 45

Przy 23 osobach mamy (23×22)/2 = 253 różne pary, każdy z nich jest kandydatem na to, aby ich dwaj członkowie mieli urodziny tego samego dnia, stwarzając sobie paradoks urodzinowy i mając więcej możliwości zbiegu urodzin.

oszacowanie prawdopodobieństwa

Zamierzamy obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że grupa o wielkości n osób będzie ich dwóch, kimkolwiek są, mają urodziny tego samego dnia. W tym konkretnym przypadku odrzucimy lata przestępne i bliźniacze, zakładając, że istnieje 365 urodzin o takim samym prawdopodobieństwie.

Korzystanie z reguły Laplace'a i kombinatoryki

Najpierw musimy obliczyć prawdopodobieństwo, że n osób ma różne daty urodzin. Oznacza to, że obliczamy prawdopodobieństwo odwrotne do tego, co podano w paradoksie urodzin. Dla tego, Rozważając obliczenia, musimy wziąć pod uwagę dwa możliwe zdarzenia.

Zdarzenie A = {dwie osoby obchodzą urodziny tego samego dnia} Uzupełnienie do wydarzenia A: A^c = {dwie osoby nie obchodzą urodzin tego samego dnia}

Weźmy jako szczególny przypadek grupę z pięcioma osobami (n=5)

Aby obliczyć liczbę możliwych przypadków, używamy następującego wzoru:

dni w roku^n

Biorąc pod uwagę, że zwykły rok ma 365 dni, liczba możliwych przypadków obchodów urodzin wynosi:

365^5 = 6,478 × 10^12

Pierwsza z wybranych przez nas osób mogła się urodzić, co jest logiczne, w dowolnym z 365 dni w roku. Następny mógł urodzić się w jednym z pozostałych 364 dni, a następny z następnych mógł urodzić się w jednym z pozostałych 363 dni i tak dalej.

Z tego wynika następujące obliczenie: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6303 × 10^12, co daje jako wynikiem jest liczba przypadków, w których w tej grupie 5 osób nie ma dwóch osób urodzonych tak samo dzień.

Stosując regułę Laplace'a obliczylibyśmy:

P(A^c) = przypadki korzystne/przypadki możliwe = 6,303 / 6,478 = 0,973

To znaczy że prawdopodobieństwo, że dwie osoby z grupy 5 osób nie będą miały urodzin tego samego dnia, wynosi 97,3%. Dzięki tym danym możemy uzyskać możliwość, aby dwie osoby obchodziły urodziny tego samego dnia, uzyskując wartość komplementarną.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Stąd wynika, że ​​prawdopodobieństwo, że w grupie pięciu osób dwie z nich mają urodziny tego samego dnia, wynosi tylko 2,7%.

Rozumiejąc to, możemy zmienić wielkość próbki. Prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie osoby w grupie n osób mają urodziny tego samego dnia, można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

W przypadku, gdy n wynosi 23, prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z tych osób świętują lata tego samego dnia, wynosi 0,51.

Powodem, dla którego ten konkretny rozmiar próbki stał się tak sławny, jest fakt, że n = 23 istnieje równe prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie osoby obchodzą urodziny tego samego dnia.

Jeśli zwiększymy do innych wartości, na przykład 30 lub 50, mamy wyższe prawdopodobieństwo odpowiednio 0,71 i 0,97, czyli co jest takie samo, 71% i 97%. Przy n = 70 mamy prawie gwarancję, że dwoje z nich zbiegnie się w dniu swoich urodzin, z prawdopodobieństwem 0,99916 lub 99,9%

Korzystanie z reguły Laplace'a i reguły iloczynu

Innym niezbyt naciąganym sposobem zrozumienia problemu jest postawienie go w następujący sposób.

Wyobraźmy sobie, że 23 osoby są razem w pokoju i chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że nie będą miały wspólnych urodzin.

Załóżmy, że w pokoju jest tylko jedna osoba. Szanse, że każdy w pokoju będzie miał inne urodziny, wynoszą oczywiście 100%, czyli prawdopodobieństwo 1. Zasadniczo ta osoba jest sama, a ponieważ nie ma nikogo innego, jej urodziny nie pokrywają się z urodzinami nikogo innego.

Teraz wchodzi kolejna osoba i dlatego w pokoju są dwie osoby. Szanse, że będzie miała inne urodziny niż pierwsza osoba, wynoszą 364/365, to jest 0,9973 lub 99,73%.

Wpisz trzeci. Prawdopodobieństwo, że ma inne urodziny niż pozostałe dwie osoby, które weszły przed nią, wynosi 363/365. Szanse, że wszyscy trzej mają inne urodziny, wynoszą 364/365 razy 363/365, czyli 0,9918.

Tak więc opcje dla 23 osób mających różne urodziny to 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, co daje 0,493.

Innymi słowy, istnieje 49,3% prawdopodobieństwo, że żaden z obecnych nie ma urodzin tego samego dnia, a zatem odwrotnie: obliczając komplementarność tego procentu mamy, że istnieje 50,7% szans, że co najmniej dwóch z nich podziela urodziny

W przeciwieństwie do paradoksu urodzin, prawdopodobieństwo, że ktoś w pokoju n osób urodziny tego samego dnia co konkretna osoba, na przykład my sami, jeśli tam jesteśmy, jest dana następującym wzorem.

1- (364/365)^ rz

Przy n = 23 dałoby to prawdopodobieństwo około 0,061 (6%), wymagając co najmniej n = 253, aby uzyskać wartość bliską 0,5 lub 50%.

Paradoks w rzeczywistości

Jest wiele sytuacji, w których widzimy, że ten paradoks się spełnia. Tutaj postawimy dwa rzeczywiste przypadki.

Pierwsza dotyczy królów Hiszpanii. Licząc od panowania katolickich monarchów Kastylii i Aragonii do panowania Filipa VI w Hiszpanii, mamy 20 prawowitych monarchów. Wśród tych królów znajdujemy, co zaskakujące, dwie pary, które zbiegają się w dniu urodzin: Karola II z Karolem IV (11 listopada) i José I z Juanem Carlosem I (5 stycznia). Możliwość, że była tylko jedna para monarchów z tymi samymi urodzinami, biorąc pod uwagę, że n = 20, jest

Innym prawdziwym przypadkiem jest wielki finał Eurowizji 2019. W tegorocznym finale, który odbył się w Tel Awiwie w Izraelu, wzięło udział 26 krajów, w tym 24 Wysyłali albo śpiewaków solowych, albo grupy, w których postać śpiewaka odgrywała szczególną rolę. Wśród nich dwóch śpiewaków zbiegło się z urodzinami: przedstawiciel Izraela Kobi Marimi i ten ze Szwajcarii Luca Hänni, obaj obchodzą urodziny 8 października.

Odniesienia bibliograficzne:

• Abramson, M.; Moser, W. ALBO. J. (1970). „Więcej niespodzianek urodzinowych”. Amerykański miesięcznik matematyczny. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Bloom, zm. (1973). „Problem urodzinowy”. Amerykański miesięcznik matematyczny. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkin, M.; Newmana, D. (1967). „Przedłużenie urodzinowej niespodzianki”. Dziennik teorii kombinatorycznej. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9