O paradoxo do aniversário: o que é e como explicá-lo

Imaginemos que estamos com um grupo de pessoas, por exemplo, numa reunião de família, numa reunião de classe primária, ou simplesmente a beber um copo num bar. Digamos que haja cerca de 25 pessoas.

Entre o barulho e as conversas superficiais, nos desconectamos um pouco e começamos a pensar no nosso coisas e, de repente, nos perguntamos: qual deve ser a probabilidade de que entre essas pessoas duas pessoas façam aniversário no dia mesmo dia?

O paradoxo do aniversário é uma verdade matemática, ao contrário do nosso instinto, que afirma que são necessárias muito poucas pessoas para que haja uma probabilidade quase aleatória de que duas delas façam aniversário no mesmo dia. Vamos tentar entender esse curioso paradoxo mais profundamente.

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O paradoxo do aniversário

O paradoxo do aniversário é uma verdade matemática que estabelece que em um grupo de apenas 23 pessoas existe uma probabilidade próxima ao acaso, especificamente 50,7%,

que pelo menos duas dessas pessoas fazem aniversário no mesmo dia. A popularidade dessa afirmação matemática se deve ao fato surpreendente de que tão poucos são necessários. as pessoas tenham uma chance bastante certa de terem partidas em algo tão variado quanto um aniversário.

Embora esse fato matemático seja chamado de paradoxo, em sentido estrito não é. É antes um paradoxo na medida em que acaba por ser curioso, pois é totalmente contrária ao senso comum. Quando alguém é questionado sobre quantas pessoas eles acham que são necessárias para que os dois façam aniversário no mesmo dia, as pessoas tendem a dar intuitivamente 183, ou seja, metade de 365.

O pensamento por trás desse valor é que, ao reduzir pela metade o número de dias em um ano comum, obtém-se o mínimo necessário para que haja uma probabilidade próxima a 50%.

Porém, não é surpreendente que valores tão altos sejam dados ao tentar responder a esta pergunta, já que as pessoas muitas vezes não entendem o problema. O paradoxo do aniversário não se refere às probabilidades de que uma pessoa específica faça aniversário em relação a outro no grupo, mas, como comentamos, as chances de duas pessoas quaisquer no grupo fazerem aniversário no mesmo dia.

Explicação matemática do fenômeno

Para entender essa surpreendente verdade matemática, a primeira coisa a fazer é ter em mente que existem muitas possibilidades de encontrar casais que fazem aniversário no mesmo dia.

À primeira vista, alguém poderia pensar que 23 dias, ou seja, o 23º aniversário dos membros da banda, é uma fração muito pequena do número possível de dias distintos, 365 dias de um ano não bissexto, ou 366 em anos bissextos, como se esperasse repetições. Esse pensamento é realmente preciso, mas apenas se esperarmos uma repetição em um determinado dia. Ou seja, e como já comentamos, precisaríamos reunir muita gente para que houvesse mais uma possibilidade ou menos perto de 50% de um dos membros do grupo fazer aniversário conosco, para colocar um exemplo.

No entanto, no paradoxo do aniversário, surgem quaisquer repetições. Ou seja, quantas pessoas são necessárias para que duas dessas pessoas façam aniversário no mesmo dia, sendo a pessoa ou dias qualquer. Para entendê-lo e mostrá-lo matematicamente, A seguir veremos com mais profundidade o procedimento por trás do paradoxo.

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Possibilidade de possível correspondência

Vamos imaginar que temos apenas duas pessoas em uma sala. Estas duas pessoas, C1 e C2, só poderiam formar um casal (C1=C2), com o qual temos apenas um casal em que pode ocorrer a repetição do aniversário. Ou fazem aniversário no mesmo dia, ou não fazem aniversário no mesmo dia, não há outra alternativa..

Para enunciar este fato matematicamente, temos a seguinte fórmula:

(Nº de pessoas x combinações possíveis)/2 = possibilidades de coincidências possíveis.

Neste caso, isso seria:

(2 x 1)/2 = 1 chance de uma possível partida

O que acontece se em vez de duas pessoas houver três? As chances de jogo sobem para três, graças ao fato de que três pares podem ser formados entre essas três pessoas (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Representado matematicamente temos:

(3 pessoas X 2 combinações possíveis)/2 = 3 chances de uma possível combinação

Com quatro há seis possibilidades de que coincidam entre si:

(4 pessoas X 3 combinações possíveis)/2 = 6 chances de uma possível combinação

Se formos até dez pessoas, temos muito mais possibilidades:

(10 pessoas X 9 combinações possíveis)/2 = 45

Com 23 pessoas há (23×22)/2 = 253 casais diferentes, cada um deles um candidato para que seus dois membros façam aniversário no mesmo dia, dando-se o paradoxo do aniversário e tendo mais possibilidades de haver coincidência de aniversário.

estimativa de probabilidade

Vamos calcular qual é a probabilidade de um grupo de tamanho n de pessoas duas delas, sejam eles quais forem, fazem aniversário no mesmo dia. Para este caso específico, vamos descartar anos bissextos e gêmeos, assumindo que existem 365 aniversários com a mesma probabilidade.

Usando a regra de Laplace e combinatória

Primeiro, temos que calcular a probabilidade de que n pessoas tenham aniversários diferentes. Ou seja, calculamos a probabilidade oposta ao que é declarado no paradoxo do aniversário. Para isto, Devemos levar em consideração dois eventos possíveis ao considerar os cálculos.

Evento A = {duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia} Complementar ao evento A: A^c = {duas pessoas não fazem aniversário no mesmo dia}

Tomemos como caso particular um grupo com cinco pessoas (n=5)

Para calcular o número de casos possíveis, usamos a seguinte fórmula:

dias do ano^n

Levando em consideração que um ano normal tem 365 dias, o número de casos possíveis de comemorações de aniversário é:

365^5 = 6,478 × 10^12

A primeira das pessoas que selecionamos pode ter nascido, como é lógico pensar, em qualquer um dos 365 dias do ano. O próximo pode ter nascido em um dos 364 dias restantes, e o próximo do próximo pode ter nascido em um dos 363 dias restantes, e assim por diante.

Disto segue o seguinte cálculo: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6.303 × 10^12, que dá como resultado é o número de casos em que não há duas pessoas naquele grupo de 5 que nasceram iguais dia.

Aplicando a regra de Laplace, calcularíamos:

P (A^c) = casos favoráveis/possíveis = 6,303 / 6,478 = 0,973

Isto quer dizer que as chances de duas pessoas do grupo de 5 não fazerem aniversário no mesmo dia são de 97,3%. Com esses dados, podemos obter a possibilidade de duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia, obtendo o valor complementar.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Assim, daí extrai-se que as chances de que em um grupo de cinco pessoas, duas delas façam aniversário no mesmo dia é de apenas 2,7%.

Compreendendo isso, podemos alterar o tamanho da amostra. A probabilidade de pelo menos duas pessoas em uma reunião de n pessoas fazerem aniversário no mesmo dia pode ser obtida usando a seguinte fórmula:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

Caso n seja 23, a probabilidade de pelo menos duas dessas pessoas comemorarem anos no mesmo dia é de 0,51.

A razão pela qual esse tamanho de amostra específico se tornou tão famoso é porque com n = 23 existe uma probabilidade igual de pelo menos duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia.

Se aumentarmos para outros valores, por exemplo 30 ou 50, temos probabilidades maiores de 0,71 e 0,97 respectivamente, ou o que dá no mesmo, 71% e 97%. Com n = 70, temos quase a garantia de que dois deles coincidirão no aniversário, com uma probabilidade de 0,99916 ou 99,9%

Usando a regra de Laplace e a regra do produto

Outra maneira não tão absurda de entender o problema é colocá-lo da seguinte maneira.

Vamos imaginar que 23 pessoas estão juntas em uma sala e queremos calcular as chances delas não fazerem aniversários em comum.

Suponha que haja apenas uma pessoa na sala. As chances de que todos na sala tenham aniversários diferentes são obviamente 100%, ou seja, probabilidade 1. Basicamente, essa pessoa está sozinha e, como não há mais ninguém, seu aniversário não coincide com o de mais ninguém.

Agora outra pessoa entra e, portanto, há duas pessoas na sala. As chances dela ter um aniversário diferente da primeira pessoa são 364/365, isso é 0,9973 ou 99,73%.

Insira um terceiro. A probabilidade de ela fazer aniversário diferente das outras duas pessoas, que entraram antes dela, é de 363/365. A probabilidade de que todos os três tenham aniversários diferentes é de 364/365 vezes 363/365, ou 0,9918.

Assim, as opções para 23 pessoas com aniversários diferentes são 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, resultando em 0,493.

Ou seja, há 49,3% de probabilidade de nenhum dos presentes fazer aniversário no mesmo dia e, portanto, vice-versa, calculando o complementar desse percentual temos que há 50,7% de chance de que pelo menos dois deles compartilhem aniversário

Em contraste com o paradoxo do aniversário, a probabilidade de que alguém em uma sala com n pessoas aniversário no mesmo dia de uma pessoa específica, por exemplo, nós mesmos caso estejamos lá, é dada pela seguinte fórmula.

1- (364/365)^n

Com n = 23 daria em torno de 0,061 probabilidade (6%), sendo necessário pelo menos n = 253 para dar um valor próximo a 0,5 ou 50%.

O paradoxo na realidade

Existem múltiplas situações em que podemos ver que esse paradoxo se cumpre. Aqui vamos colocar dois casos reais.

A primeira é a dos reis da Espanha. Contando desde o reinado dos Reis Católicos de Castela e Aragão até o de Felipe VI da Espanha, temos 20 monarcas legítimos. Entre esses reis encontramos, surpreendentemente, dois casais que coincidem em aniversários: Carlos II com Carlos IV (11 de novembro) e José I com Juan Carlos I (5 de janeiro). A possibilidade de haver apenas um par de monarcas com o mesmo aniversário, tendo em conta que n = 20, é

Outro caso real é o da grande final do Eurovision 2019. Na final daquele ano, disputada em Tel Aviv, Israel, participaram 26 países, 24 dos quais Enviavam cantores a solo ou grupos onde a figura do cantor assumia um papel especial. Entre eles, dois cantores coincidiram de aniversário: o representante de Israel, Kobi Marimi, e o da Suíça, Luca Hänni, ambos aniversariantes no dia 8 de outubro.

Referências bibliográficas:

• Abramson, M.; Moser, W. QUALQUER. j. (1970). "Mais surpresas de aniversário". Mensal Matemático Americano. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Flor, d. (1973). "Um problema de aniversário". Mensal Matemático Americano. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkin, M.; Newman, D. (1967). "Extensões da surpresa de aniversário". Jornal da teoria combinatória. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9