Técnicas de contagem: tipos, como usá-los e exemplos

O mundo da matemática, tão fascinante quanto é complicado, mas talvez graças à sua complexidade possamos lidar com o dia a dia de forma mais eficaz e eficiente.

As técnicas de contagem são métodos matemáticos que nos permitem saber quantas combinações ou opções diferentes existem dos elementos dentro de um mesmo grupo de objetos.

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Estas técnicas permitem acelerar de uma forma muito significativa sabendo quantas maneiras diferentes existem para fazer sequências ou combinações de objetos, sem perder a paciência nem a sanidade. Vamos dar uma olhada em quais são e quais são os mais usados.

Técnicas de contagem: o que são?

As técnicas de contagem são estratégias matemáticas utilizadas em probabilidade e estatísticas que permitem determinar o número total de resultados que podem existir fazendo combinações dentro de um conjunto ou conjuntos de objetos. Esses tipos de técnicas são usados ​​quando é praticamente impossível ou muito pesado fazer combinações de diferentes elementos manualmente e saber quantos deles são possíveis.

Este conceito será entendido mais facilmente através de um exemplo. Se você tem quatro cadeiras, uma amarela, uma vermelha, uma azul e uma verde, quantas combinações de três delas podem ser dispostas lado a lado?

Esse problema poderia ser resolvido fazendo-o manualmente, pensando em combinações como azul, vermelho e amarelo; azul, amarelo e vermelho; vermelho, azul e amarelo, vermelho, amarelo e azul... Mas isso pode exigir muita paciência e tempo, e para isso usaríamos técnicas de contagem, para este caso é necessária uma permutação.

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Os cinco tipos de técnicas de contagem

As principais técnicas de contagem são as cinco seguintes, embora não sejam os únicos, cada um com suas peculiaridades e utilizados de acordo com os requisitos para saber quantas combinações de conjuntos de objetos são possíveis.

Na verdade, este tipo de técnicas pode ser dividido em dois grupos, dependendo de sua complexidade, sendo um deles composto por o princípio multiplicativo e o princípio aditivo, e o outro, sendo constituído por combinações e permutações.

1. Princípio multiplicativo

Este tipo de técnica de contagem, juntamente com o princípio aditivo, permite uma compreensão fácil e prática de como funcionam esses métodos matemáticos.

Se um evento, vamos chamá-lo de N1, pode ocorrer de várias maneiras, e outro evento, N2, pode ocorrer de várias maneiras, então os eventos juntos podem ocorrer de maneiras N1 x N2.

Este princípio é utilizado quando a ação é sequencial, ou seja, é composta por eventos que ocorrem de forma ordenada, como a construção de uma casa, a escolha dos passos de dança em uma discoteca ou a ordem que será seguida para preparar um torta.

Por exemplo:

Em um restaurante, o cardápio é composto por um prato principal, um segundo e uma sobremesa. Para os pratos principais temos 4, para os segundos 5 e para as sobremesas 3.

Portanto, N1 = 4; N2 = 5 e N3 = 3.

Assim, as combinações oferecidas por este menu seriam 4 x 5 x 3 = 60

2. Princípio aditivo

Nesse caso, ao invés de multiplicar as alternativas para cada evento, o que acontece é que se somam as várias formas pelas quais elas podem ocorrer.

Isso significa que se a primeira atividade pode ocorrer de M maneiras, a segunda em N e a terceira L, então, de acordo com este princípio, seria M + N + L.

Por exemplo:

Queremos comprar chocolate, existem três marcas no supermercado: A, B e C.

O Chocolate A é comercializado em três sabores: preto, leite e branco, além de ter a opção sem ou com açúcar para cada um deles.

O Chocolate B é comercializado em três sabores, preto, leite ou branco, com opção de ter ou não avelãs e com ou sem açúcar.

O Chocolate C é vendido em três sabores, preto, leite e branco, com a opção de ter avelã, amendoim, caramelo ou amêndoa, mas todos com açúcar.

Com base nisso, a pergunta a ser respondida é: quantas variedades diferentes de chocolate podem ser compradas?

W = número de maneiras de selecionar o chocolate A.

Y = número de maneiras de selecionar o chocolate B.

Z = número de maneiras de selecionar o chocolate C.

O próximo passo é a multiplicação simples.

W = 3 x 2 = 6.

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 variedades diferentes de chocolate.

Para saber se se deve usar o princípio multiplicativo ou aditivo, a principal pista é se a atividade em questão Tem uma série de etapas a serem cumpridas, como era o caso do cardápio, ou são várias opções, como chocolate.

3. Permutações

Antes de entender como fazer as permutações, é importante entender a diferença entre uma combinação e uma permutação.

Uma combinação é um arranjo de elementos cuja ordem não é importante ou não altera o resultado final.

Por outro lado, em uma permutação, haveria um arranjo de vários elementos em que é importante levar em consideração sua ordem ou posição.

Em permutações, há n números de elementos diferentes e vários deles são selecionados, o que seria r.

A fórmula que seria usada seria a seguinte: nPr = n! / (N-r)!

Por exemplo:

Há um grupo de 10 pessoas e há um assento que acomoda apenas cinco, de quantas maneiras eles podem se sentar?

O seguinte seria feito:

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30.240 maneiras diferentes de ocupar o banco.

4. Permutações com repetição

Quando quiser saber o número de permutações em um conjunto de objetos, alguns dos quais são iguais, proceda da seguinte forma:

Tendo em conta que n são os elementos disponíveis, alguns deles repetidos.

Todos os itens n são selecionados.

A seguinte fórmula se aplica: = n! / N1! N2... nk!

Por exemplo:

Em um barco, podem ser hasteadas 3 bandeiras vermelhas, 2 amarelas e 5 verdes. Quantos sinais diferentes podem ser feitos levantando as 10 bandeiras que você tem?

10!/3!2!5! = 2.520 combinações de bandeiras diferentes.

5. Combinações

Em combinações, ao contrário do que aconteceu com as permutações, a ordem dos elementos não é importante.

A fórmula a ser aplicada é a seguinte: nCr = n! / (N-r)! R!

Por exemplo:

Um grupo de 10 pessoas quer limpar o bairro e está se preparando para formar grupos de 2 membros cada. Quantos grupos são possíveis?

Nesse caso, n = 10 e r = 2, aplicando-se assim a fórmula:

10C2 = 10! / (10-2)! 2! = 180 pares diferentes.

Referências bibliográficas:

• Brualdi, R. PARA. (2010), Introductory Combinatorics (5ª ed.), Pearson Prentice Hall.
• por Finetti, B. (1970). “Fundamentos lógicos e medição da probabilidade subjetiva”. Acta Psychologica.
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• Mazur, D. R. (2010), Combinatorics: A Guided Tour, Mathematical Association of America,
• Ryser, H. J. (1963), Combinatorial Mathematics, The Carus Mathematical Monographs 14, Mathematical Association of America.