Tehnici de numărare: tipuri, modul de utilizare și exemple

Lumea matematicii, la fel de fascinantă este și ea complicată, dar poate, datorită complexității sale, putem face față zilnic mai eficient și mai eficient.

Tehnicile de numărare sunt metode matematice care ne permit să știm câte combinații sau opțiuni diferite există ale elementelor din același grup de obiecte.

• Articol recomandat: "Psihometrie: ce este și de ce este responsabil?"

Aceste tehnici fac posibilă accelerarea într-un mod foarte semnificativ știind câte moduri diferite există de a face secvențe sau combinații de obiecte, fără a pierde răbdarea sau sănătatea. Să aruncăm o privire mai atentă asupra a ceea ce sunt și care sunt cele mai utilizate.

Tehnici de numărare: ce sunt acestea?

Tehnicile de numărare sunt strategii matematice utilizate în probabilitate și statistici care permit determinarea numărul total de rezultate care pot proveni din realizarea de combinații într-un set sau seturi de obiecte. Aceste tipuri de tehnici sunt utilizate atunci când este practic imposibil sau prea greu să faci manual combinații de elemente diferite și să știi câte dintre ele sunt posibile.

Acest concept va fi înțeles mai ușor printr-un exemplu. Dacă aveți patru scaune, unul galben, unul roșu, unul albastru și unul verde, câte combinații de trei dintre ele pot fi aranjate una lângă alta?

Această problemă ar putea fi rezolvată făcând-o manual, gândindu-se la combinații precum albastru, roșu și galben; albastru, galben și roșu; roșu, albastru și galben, roșu, galben și albastru... Dar acest lucru poate necesita multă răbdare și timp, iar pentru asta am folosi tehnici de numărare, pentru acest caz este necesară o permutare.

• S-ar putea să fiți interesat să citiți: „Distribuție normală: ce este, caracteristici și exemple în statistici”

Cele cinci tipuri de tehnici de numărare

Principalele tehnici de numărare sunt următoarele cinci, deși nu sunt singurele, fiecare cu particularitățile sale și utilizate conform cerințelor pentru a ști câte combinații de seturi de obiecte sunt posibile.

De fapt, acest tip de tehnici pot fi împărțite în două grupuri, în funcție de complexitatea lor, una fiind formată din principiul multiplicativ și principiul aditiv, iar celălalt, fiind alcătuit din combinații și permutări.

1. Principiul multiplicativ

Acest tip de tehnică de numărare, împreună cu principiul aditiv, permite o înțelegere ușoară și practică a modului în care funcționează aceste metode matematice.

Dacă un eveniment, să-l numim N1, poate apărea în mai multe moduri, iar un alt eveniment, N2, poate apărea în tot atâtea moduri, atunci evenimentele împreună pot avea loc în moduri N1 x N2.

Acest principiu este utilizat atunci când acțiunea este secvențială, adică este alcătuită din evenimente care apar în mod ordonat, cum ar fi construirea unei case, alegerea pașilor de dans într-o discotecă sau ordinea care va fi urmată pentru a pregăti un plăcintă.

De exemplu:

Într-un restaurant, meniul constă dintr-un fel principal, un al doilea și desert. Pentru preparatele principale avem 4, pentru secunde sunt 5 și pentru deserturi sunt 3.

Deci, N1 = 4; N2 = 5 și N3 = 3.

Astfel, combinațiile oferite de acest meniu ar fi 4 x 5 x 3 = 60

2. Principiul aditiv

În acest caz, în loc să înmulțim alternativele pentru fiecare eveniment, ceea ce se întâmplă este că se adaugă diferitele moduri în care pot apărea.

Aceasta înseamnă că, dacă prima activitate poate avea loc în M moduri, a doua în N și a treia L, atunci, conform acestui principiu, ar fi M + N + L.

De exemplu:

Vrem să cumpărăm ciocolată, există trei mărci în supermarket: A, B și C.

Ciocolata A se vinde în trei arome: negru, lapte și alb, pe lângă faptul că are opțiunea fără sau cu zahăr pentru fiecare dintre ele.

Ciocolata B se vinde în trei arome, negru, lapte sau alb, cu opțiunea de a avea alune sau nu, și cu sau fără zahăr.

Ciocolata C se vinde în trei arome, negru, lapte și alb, cu opțiunea de a avea alune, arahide, caramel sau migdale, dar toate cu zahăr.

Pe baza acestui lucru, întrebarea la care trebuie răspuns este: câte soiuri diferite de ciocolată pot fi cumpărate?

W = numărul de moduri de selectare a ciocolatei A.

Y = numărul de modalități de a selecta ciocolata B.

Z = numărul de moduri de selectare a ciocolatei C.

Următorul pas este multiplicarea simplă.

L = 3 x 2 = 6.

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 de soiuri diferite de ciocolată.

Pentru a ști dacă se folosește principiul multiplicativ sau aditiv, principalul indiciu este dacă activitatea în cauză Are o serie de pași care trebuie parcurși, așa cum a fost cazul meniului, sau există mai multe opțiuni, cum este cazul ciocolatei.

3. Permutări

Înainte de a înțelege cum se fac permutările, este important să înțelegeți diferența dintre o combinație și o permutare.

O combinație este un aranjament de elemente a căror ordine nu este importantă sau nu modifică rezultatul final.

Pe de altă parte, într-o permutare, ar exista o dispunere a mai multor elemente în care este important să se țină seama de ordinea sau poziția lor.

În permutații, există n număr de elemente diferite și este selectat un număr dintre ele, care ar fi r.

Formula care ar fi folosită ar fi următoarea: nPr = n! / (N-r)!

De exemplu:

Există un grup de 10 persoane și există un scaun care poate încăpea doar cinci, în câte moduri pot sta?

S-ar face următoarele:

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30.240 moduri diferite de a ocupa banca.

4. Permutații cu repetare

Când doriți să cunoașteți numărul de permutări dintr-un set de obiecte, dintre care unele sunt aceleași, procedați după cum urmează:

Având în vedere că n sunt elementele disponibile, unele dintre ele se repetă.

Toate elementele n sunt selectate.

Se aplică următoarea formulă: = n! / N1! N2... nk!

De exemplu:

Pe o barcă, pot fi ridicate 3 steaguri roșii, 2 galbene și 5 verzi. Câte semnale diferite ar putea fi făcute prin ridicarea celor 10 steaguri pe care le aveți?

10!/3!2!5! = 2.520 combinații diferite de steaguri.

5. Combinații

În combinații, spre deosebire de ceea ce s-a întâmplat cu permutațiile, ordinea elementelor nu este importantă.

Formula care trebuie aplicată este următoarea: nCr = n! / (N-r)! R!

De exemplu:

Un grup de 10 persoane doresc să curețe cartierul și se pregătesc să formeze grupuri de câte 2 membri. Câte grupuri sunt posibile?

În acest caz, n = 10 și r = 2, aplicând astfel formula:

10C2 = 10! / (10-2)! 2! = 180 de perechi diferite.

Referințe bibliografice:

• Brualdi, R. LA. (2010), Introductory Combinatorics (ediția a 5-a), Pearson Prentice Hall.
• de Finetti, B. (1970). „Fundamente logice și măsurarea probabilității subiective”. Acta Psychologica.
• Hogg, R. V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introducere în statistica matematică (ediția a VI-a). Upper Saddle River: Pearson.
• Mazur, D. R. (2010), Combinatorics: A Guided Tour, Mathematical Association of America,
• Ryser, H. J. (1963), Matematica combinatorie, The Carus Mathematical Monographs 14, Mathematical Association of America.