Paradoks rojstnega dne: kaj je to in kako ga razložiti

Predstavljajmo si, da smo s skupino ljudi, na primer na družinskem srečanju, srečanju v razredu ali preprosto na pijači v baru. Recimo, da je približno 25 ljudi.

Med hrupom in površnimi pogovori smo se nekoliko odklopili in začeli razmišljati o svojih stvari in nenadoma se vprašamo: kakšna mora biti verjetnost, da imata med temi ljudmi dve osebi rojstni dan isti dan?

Paradoks rojstnega dne je matematična resnica, v nasprotju z našim instinktom, ki pravi, da je potrebnih zelo malo ljudi, da obstaja skoraj naključna verjetnost, da imata dva od njih isti rojstni dan. Poskusimo podrobneje razumeti ta čudni paradoks.

• Sorodni članek: "Logično-matematična inteligenca: kaj je to in kako jo lahko izboljšamo?"

Paradoks rojstnega dne

Paradoks rojstnega dne je matematična resnica, ki dokazuje, da je v skupini samo 23 ljudi verjetnost skoraj naključna, natančneje 50,7 %. da imata vsaj dve od teh oseb isti rojstni dan. Priljubljenost te matematične izjave je posledica presenetljivega dejstva, da jih je potrebnih tako malo. ljudje imajo precej gotovo možnost, da bodo imeli tekme na nekaj tako pestrega, kot je rojstni dan.

Čeprav se to matematično dejstvo imenuje paradoks, v strogem smislu to ni. To je precej paradoks, če se izkaže za radovednega, saj je precej v nasprotju z zdravo pametjo. Ko nekoga vprašajo, koliko ljudi misli, da je potrebnih, da imata oba rojstni dan na isti dan, ljudje intuitivno navedejo 183, to je polovico od 365.

Misel za to vrednostjo je, da s prepolovitvijo števila dni v običajnem letu dobimo najmanjšo potrebno verjetnost, da je verjetnost blizu 50 %.

vendar ni presenetljivo, da so pri poskusu odgovora na to vprašanje podane tako visoke vrednosti, saj ljudje pogosto napačno razumejo problem. Paradoks rojstnega dne se ne nanaša na verjetnosti, da ima določena oseba rojstni dan glede na drugi v skupini, vendar, kot smo komentirali, je verjetnost, da imata katera koli dva človeka v skupini isti rojstni dan dan.

Matematična razlaga pojava

Da bi razumeli to presenetljivo matematično resnico, morate najprej upoštevati, da obstaja veliko možnosti za iskanje parov, ki imajo isti rojstni dan.

Na prvi pogled bi človek pomislil, da je 23 dni, torej 23. rojstni dan članov zasedbe. premajhen delček možnega števila ločenih dni, 365 dni neprestopnega leta oziroma 366 v prestopnih letih, kot da bi pričakovali ponovitve. To razmišljanje je sicer pravilno, vendar le, če pričakujemo ponovitev na določen dan. Se pravi, in kot smo že komentirali, bi morali zbrati veliko ljudi, da bi bila še ena možnost več. ali manj blizu 50 % enega od članov skupine, ki ima rojstni dan z nami, če primer.

Vendar pa se v paradoksu rojstnega dne pojavijo kakršne koli ponovitve. To pomeni, koliko ljudi je potrebnih, da imata dva od teh ljudi rojstni dan na isti dan, ne glede na osebo ali dneve. Da bi to razumeli in matematično prikazali, Nato bomo podrobneje videli postopek za paradoksom.

• Morda vas zanima: "12 zanimivosti o človeškem umu"

Možnost morebitnega ujemanja

Predstavljajmo si, da imamo v sobi samo dve osebi. Ti dve osebi, C1 in C2, bi lahko tvorili le par (C1=C2), pri katerem imamo le en par, pri katerem lahko pride do ponovnega rojstnega dne. Ali imata rojstni dan na isti dan ali pa nimata istega rojstnega dneva, druge možnosti ni..

Da bi to dejstvo matematično izrazili, imamo naslednjo formulo:

(Št. ljudi x možne kombinacije)/2 = možnosti možnega naključja.

V tem primeru bi bilo to:

(2 x 1)/2 = 1 možnost možnega ujemanja

Kaj se zgodi, če so namesto dveh trije? Možnosti za ujemanje se povečajo na tri, zahvaljujoč dejstvu, da se med temi tremi ljudmi lahko oblikujejo trije pari (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Matematično predstavljeno imamo:

(3 osebe X 2 možni kombinaciji)/2 = 3 možnosti za možno ujemanje

S štirimi je šest možnosti, da sovpadajo med seboj:

(4 osebe X 3 možne kombinacije)/2 = 6 možnosti za možno ujemanje

Če gremo do deset ljudi, imamo veliko več možnosti:

(10 oseb X 9 možnih kombinacij)/2 = 45

Pri 23 osebah je (23×22)/2 = 253 različnih parov, vsak od njih je kandidat, da imata dva člana rojstni dan na isti dan, s čimer si ustvarita paradoks rojstnega dneva in več možnosti, da rojstni dan sovpada.

ocena verjetnosti

Izračunali bomo, kakšna je verjetnost, da bo skupina z velikostjo n ljudi dva izmed njih, karkoli sta, imata rojstni dan na isti dan. V tem posebnem primeru bomo zavrgli prestopna leta in dvojčke, ob predpostavki, da obstaja 365 rojstnih dni, ki imajo enako verjetnost.

Uporaba Laplaceovega pravila in kombinatorike

Najprej moramo izračunati verjetnost, da ima n ljudi različne rojstne dneve. To pomeni, da izračunamo verjetnost, nasprotno tisti, ki je navedena v paradoksu rojstnega dne. Za to, Pri izračunih moramo upoštevati dva možna dogodka.

Dogodek A = {dve osebi praznujeta rojstni dan na isti dan} Komplementarnost dogodka A: A^c = {dva človeka ne praznujeta rojstnega dne na isti dan}

Vzemimo kot poseben primer skupino s petimi ljudmi (n=5)

Za izračun števila možnih primerov uporabimo naslednjo formulo:

dni v letu^n

Ob upoštevanju, da ima običajno leto 365 dni, je število možnih primerov praznovanja rojstnih dni:

365^5 = 6,478 × 10^12

Prvi izmed ljudi, ki jih izberemo, se je morda rodil, kot je logično misliti, na katerega koli od 365 dni v letu. Naslednji se je morda rodil v enem od preostalih 364 dni, in naslednji od naslednjih se je lahko rodil v enem od preostalih 363 dni itd.

Iz tega sledi naslednji izračun: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6.303 × 10^12, kar daje kot rezultat je število primerov, ko v tej skupini 5 ni dveh oseb, ki sta se rodila enako dan.

Z uporabo Laplaceovega pravila bi izračunali:

P (A^c) = ugodni primeri/možni primeri = 6,303 / 6,478 = 0,973

To pomeni da možnost, da dve osebi v skupini 5 nimata rojstnega dne na isti dan, je 97,3 %. S temi podatki lahko pridobimo možnost, da imata dve osebi rojstni dan na isti dan, s čimer pridobimo komplementarno vrednost.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Tako iz tega izluščimo, da je možnost, da imata v skupini petih ljudi dva rojstni dan na isti dan, le 2,7 %.

Če to razumemo, lahko spremenimo velikost vzorca. Verjetnost, da imata vsaj dve osebi v skupini n ljudi isti rojstni dan, lahko dobimo z naslednjo formulo:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

V primeru, da je n 23, je verjetnost, da vsaj dva od teh ljudi praznujeta leto na isti dan, 0,51.

Razlog, zakaj je ta posebna velikost vzorca postala tako znana, je ta, da je z n = 23 obstaja celo verjetnost, da vsaj dve osebi praznujeta rojstni dan na isti dan.

Če povečamo na druge vrednosti, na primer 30 ali 50, imamo višje verjetnosti 0,71 oziroma 0,97 oziroma, kar je enako, 71 % oziroma 97 %. Z n = 70 smo skoraj zagotovljeni, da se bosta dva od njih ujemala na svoj rojstni dan, z verjetnostjo 0,99916 ali 99,9 %.

Uporaba Laplaceovega pravila in pravila produkta

Drug ne tako napet način razumevanja problema je, da ga postavimo na naslednji način.

Predstavljajmo si, da je 23 ljudi skupaj v sobi in želimo izračunati možnosti, da nimajo skupnih rojstnih dni.

Recimo, da je v sobi samo ena oseba. Možnosti, da bodo vsi v sobi imeli različne rojstne dneve, so očitno 100 %, to je verjetnost 1. V bistvu je ta oseba sama in ker ni nikogar drugega, njen rojstni dan ne sovpada z rojstnim dnem nikogar drugega.

Zdaj vstopi druga oseba, zato sta v sobi dve osebi. Verjetnost, da ima drugačen rojstni dan kot prva oseba, je 364/365, to je 0,9973 ali 99,73 %.

Vnesite tretjino. Verjetnost, da ima drugačen rojstni dan kot drugi dve osebi, ki sta vstopili pred njo, je 363/365. Kvota, da imajo vsi trije različne rojstne dneve, je 364/365 krat 363/365 ali 0,9918.

Torej so možnosti za 23 ljudi z različnimi rojstnimi dnevi 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, kar pomeni 0,493.

Povedano drugače, obstaja 49,3 % verjetnost, da nihče od prisotnih nima rojstnega dne na isti dan in torej obratno, če izračunamo komplementarnost tega odstotka, dobimo, da obstaja 50,7-odstotna verjetnost, da si vsaj dva od njih delita rojstni dan

V nasprotju s paradoksom rojstnega dne je verjetnost, da kdorkoli v sobi n oseb rojstni dan na isti dan kot določena oseba, na primer mi sami, če smo tam, je podana z naslednjo formulo.

1- (364/365)^n

Z n = 23 bi to dalo okoli 0,061 verjetnosti (6 %), kar bi zahtevalo vsaj n = 253, da bi dobili vrednost blizu 0,5 ali 50 %.

Paradoks v resnici

Obstaja več situacij, v katerih lahko vidimo, da je ta paradoks izpolnjen. Tukaj bomo predstavili dva resnična primera.

Prvi je tisti španskih kraljev. Če štejemo od vladavine katoliških monarhov Kastilje in Aragona do vladavine španskega Felipeja VI., imamo 20 zakonitih monarhov. Med temi kralji presenetljivo najdemo dva para, ki rojstna dneva sovpadata: Carlos II s Carlosom IV (11. november) in José I z Juanom Carlosom I (5. januar). Možnost, da je obstajal le en par monarhov z istim rojstnim dnem, ob upoštevanju, da je n = 20, je

Drug resničen primer je veliki finale Evrovizije 2019. V finalu tega leta, ki je potekal v Tel Avivu v Izraelu, je sodelovalo 26 držav, od tega 24 Poslali so bodisi solistične pevce bodisi skupine, kjer je lik pevca prevzel posebno vlogo. Med njimi sta na rojstni dan sovpadla dva pevca: izraelski predstavnik Kobi Marimi in švicarski Luca Hänni, ki rojstni dan praznujeta 8. oktobra.

Bibliografske reference:

• Abramson, M.; Moser, W. ALI. J. (1970). "Več rojstnodnevnih presenečenj". Ameriški matematični mesečnik. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Bloom, d. (1973). "Rojstnodnevna težava". Ameriški matematični mesečnik. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkin, M.; Newman, D. (1967). "Podaljški rojstnodnevnega presenečenja". Journal of Combinatorial Theory. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9