Doğum günü paradoksu: nedir ve nasıl açıklanır

Bir grup insanla birlikte olduğumuzu, örneğin bir aile toplantısında, ilkokul toplantısında ya da sadece bir barda içki içtiğimizi düşünelim. Diyelim ki yaklaşık 25 kişi var.

Gürültü ve yüzeysel konuşmalar arasında biraz koptuk ve kendi işimizi düşünmeye başladık. ve aniden kendimize soruyoruz: bu insanlar arasında iki kişinin doğum günü olma olasılığı nedir? aynı gün?

Doğum günü paradoksu matematiksel bir gerçektir, ikisinin aynı doğum gününe sahip olma olasılığının neredeyse rastgele olması için çok az kişiye ihtiyaç olduğunu savunan içgüdümüzün aksine. Bu ilginç paradoksu daha derinlemesine anlamaya çalışalım.

• İlgili yazı: "Mantıksal-matematiksel zeka: nedir ve onu nasıl geliştirebiliriz?"

Doğum günü paradoksu

Doğum günü paradoksu, sadece 23 kişilik bir grupta şansa yakın bir olasılık olduğunu, özellikle %50,7 olduğunu ortaya koyan matematiksel bir gerçektir. bu insanlardan en az ikisinin aynı doğum gününe sahip olması. Bu matematiksel ifadenin popülaritesi, çok azının gerekli olması şaşırtıcı gerçeğinden kaynaklanmaktadır. insanların doğum günü gibi çeşitli bir şeyle eşleşmeleri konusunda oldukça emin bir şansa sahip olmaları.

Bu matematiksel gerçek bir paradoks olarak adlandırılsa da, tam anlamıyla öyle değildir. Meraklı olduğu ortaya çıktığı sürece bu daha ziyade bir paradokstur., çünkü sağduyuya oldukça aykırıdır. Birisine, ikisinin aynı gün doğum günü olması için kaç kişinin gerektiğini düşündükleri sorulduğunda, insanlar sezgisel olarak 183, yani 365'in yarısını verme eğilimindedir.

Bu değerin arkasındaki düşünce, sıradan bir yıldaki gün sayısının yarıya indirilmesiyle, %50'ye yakın bir olasılığın olması için gereken minimum değerin elde edilmesidir.

Fakat, Bu soruya cevap aranırken bu kadar yüksek değerlerin verilmesi şaşırtıcı değil., çünkü insanlar sorunu genellikle yanlış anlıyor. Doğum günü paradoksu, belirli bir kişinin bir doğum gününe sahip olma olasılıklarına atıfta bulunmaz. ancak, daha önce de belirttiğimiz gibi, gruptaki herhangi iki kişinin aynı doğum gününe sahip olma olasılığı gün.

Fenomenin matematiksel açıklaması

Bu şaşırtıcı matematiksel gerçeği anlamak için yapılacak ilk şey, aynı doğum gününe sahip çiftleri bulmanın birçok olasılığının olduğunu akılda tutmaktır.

İlk bakışta 23 gün, yani grup üyelerinin 23. yaş günü gibi bir şey sanılabilir insan. olası farklı gün sayısının çok küçük bir kısmı, artık olmayan bir yılda 365 gün veya artık yıllarda 366 gün, sanki tekrarlar beklermiş gibi. Bu düşünce gerçekten doğrudur, ancak yalnızca belirli bir günde bir tekrar olmasını beklersek. Yani, zaten yorumladığımız gibi, bir olasılık daha olması için çok sayıda insan toplamamız gerekecek. grup üyelerinden birinin %50'ye yakın veya daha azının doğum günü bizimle olması, örnek.

Bununla birlikte, doğum günü paradoksunda herhangi bir tekrar ortaya çıkar. Yani, bu kişilerden ikisinin doğum gününün aynı gün olması için kişi veya herhangi bir gün olması için kaç kişiye ihtiyaç vardır. Bunu anlamak ve matematiksel olarak göstermek için, Daha sonra, paradoksun ardındaki prosedürü daha derinlemesine göreceğiz..

• İlginizi çekebilir: "İnsan zihni hakkında 12 merak"

Olası eşleşme olasılığı

Bir odada sadece iki kişinin olduğunu düşünelim. Bu iki kişi, C1 ve C2, sadece bir çift (C1=C2) oluşturabilirler ve bu çiftle doğum gününün tekrarlanabileceği sadece bir çiftimiz olur. Ya aynı gün doğum günleri var ya da aynı gün doğum günleri yok, başka alternatif yok..

Bu gerçeği matematiksel olarak ifade etmek için aşağıdaki formüle sahibiz:

(Kişi sayısı x olası kombinasyonlar)/2 = olası tesadüf olasılıkları.

Bu durumda, bu olacaktır:

(2 x 1)/2 = 1 olası eşleşme şansı

İki kişi yerine üç kişi olursa ne olur? Maç şansı üçe kadar çıkıyor, bu üç kişi arasında üç çift oluşturulabilmesi sayesinde (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Matematiksel olarak temsil edilen elimizde:

(3 kişi X 2 olası kombinasyon)/2 = 3 olası eşleşme şansı

Dört ile aralarında çakışan altı olasılık vardır:

(4 kişi X 3 olası kombinasyon)/2 = 6 olası eşleşme şansı

On kişiye kadar çıkarsak, çok daha fazla olasılığımız var:

(10 kişi X 9 olası kombinasyon)/2 = 45

23 kişi ile (23×22)/2 = 253 farklı çift var, her biri iki üyesinin aynı gün doğum günü olması için aday, kendilerine doğum günü paradoksu veriyor ve doğum günü tesadüfü yaşama olasılıkları artıyor.

olasılık tahmini

n kişilik bir grubun iki kişiden oluşma olasılığının ne olduğunu hesaplayacağız., her ne iseler, doğum günleri aynı gün olsun. Bu özel durum için, aynı olasılığa sahip 365 doğum günü olduğunu varsayarak artık yılları ve ikizleri atacağız.

Laplace kuralını ve kombinatoriği kullanma

İlk olarak, n kişinin farklı doğum günlerine sahip olma olasılığını hesaplamalıyız. Yani doğum günü paradoksunda belirtilenin tam tersi olasılığı hesaplıyoruz. Bunun için, Hesaplamaları yaparken iki olası olayı dikkate almalıyız..

Etkinlik A = {iki kişi doğum günlerini aynı gün kutlar} A etkinliğini tamamlayıcı: A^c = {iki kişi doğum günlerini aynı gün kutlamaz}

Belirli bir durum olarak beş kişilik bir grubu ele alalım (n=5)

Olası vaka sayısını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanırız:

yılın günleri^n

Normal bir yılın 365 gün olduğu dikkate alındığında, doğum günü kutlamalarının olası vaka sayısı:

365^5 = 6,478 × 10^12

Seçtiğimiz insanlardan ilki, akla uygun olarak, yılın 365 gününden herhangi birinde doğmuş olabilir. Sonraki kalan 364 günün birinde doğmuş olabilir.ve bir sonraki, kalan 363 günden birinde doğmuş olabilir ve bu böyle devam eder.

Buradan şu hesaplama yapılır: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6,303 × 10^12, sonuç, o 5 kişilik grupta aynı şekilde doğmuş iki kişinin olmadığı durumların sayısıdır. gün.

Laplace kuralını uygulayarak şunu hesaplarız:

P (A^c) = olumlu durumlar/olası durumlar = 6,303 / 6,478 = 0,973

Bu şu demek 5 kişilik gruptaki iki kişinin aynı gün doğum günü olmama ihtimali %97.3. Bu verilerle iki kişinin doğum gününün aynı gün olması olasılığını, tamamlayıcı değeri elde edebiliriz.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Böylece, bundan beş kişilik bir grupta, ikisinin aynı gün doğum günü olma ihtimalinin sadece %2,7 olduğu çıkarılmıştır.

Bunu anlayarak, örneğin boyutunu değiştirebiliriz. n kişilik bir toplulukta en az iki kişinin aynı doğum gününe sahip olma olasılığı aşağıdaki formül kullanılarak elde edilebilir:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

n'nin 23 olması durumunda, bu insanlardan en az ikisinin aynı gün yılı kutlama olasılığı 0,51'dir.

Bu özel örneklem boyutunun bu kadar ünlü olmasının nedeni, n = 23 olmasıdır. en az iki kişinin doğum gününü aynı gün kutlama olasılığı çifttir..

Diğer değerlere, örneğin 30 veya 50'ye yükseltirsek, sırasıyla 0,71 ve 0,97 veya aynı olan, %71 ve %97 gibi daha yüksek olasılıklara sahibiz. n = 70 ile, 0,99916 veya %99,9 olasılıkla ikisinin doğum günlerine denk geleceği neredeyse garanti ediliyor.

Laplace kuralını ve çarpım kuralını kullanma

Sorunu anlamanın çok da zorlama olmayan başka bir yolu da sorunu şu şekilde ortaya koymaktır:.

23 kişinin bir odada birlikte olduğunu ve doğum günlerini paylaşmama şanslarını hesaplamak istediğimizi düşünelim.

Diyelim ki odada sadece bir kişi var. Odadaki herkesin farklı doğum günlerine sahip olma şansı açıkça %100'dür, yani olasılık 1'dir. Temel olarak, o kişi yalnızdır ve başka kimse olmadığı için doğum günleri kimseninkiyle çakışmaz.

Şimdi başka biri içeri giriyor ve bu nedenle odada iki kişi var. Birinci kişiden farklı bir doğum günü olma ihtimali 364/365, bu 0,9973 veya %99,73'tür.

Üçüncüyü girin. Kendisinden önce giren diğer iki kişiden farklı bir doğum gününe sahip olma olasılığı 363/365'tir. Üçünün de farklı doğum günlerine sahip olma olasılığı 364/365 çarpı 363/365 veya 0,9918'dir.

Yani farklı doğum günlerine sahip 23 kişinin seçenekleri 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, sonuç olarak 0,493.

Başka bir deyişle, orada bulunanlardan hiçbirinin aynı gün doğum günü olmama olasılığı %49,3'tür ve dolayısıyla tam tersi de geçerlidir. Bu yüzdenin tamamlayıcısını hesaplayarak, en az ikisinin paylaşma şansının %50,7 olduğunu buluruz. doğum günü

Doğum günü paradoksunun aksine, n kişilik bir odadaki herkesin doğum günü olma olasılığı belirli bir kişiyle aynı gün doğum günü, örneğin kendimizin orada olması durumunda, aşağıdaki formülle verilir.

1- (364/365)^n

n = 23 ile yaklaşık 0,061 olasılık (%6) verir ve %0,5 veya %50'ye yakın bir değer vermek için en az n = 253 gerekir.

Gerçekte paradoks

Bu paradoksun gerçekleştiğini görebileceğimiz birçok durum vardır. Burada iki gerçek vaka koyacağız.

Birincisi, İspanya krallarınınkidir.. Kastilya ve Aragon Katolik Hükümdarlarının hükümdarlığından İspanya Kralı VI. Felipe'nin saltanatına kadar sayarsak, 20 meşru hükümdarımız var. Bu krallar arasında, şaşırtıcı bir şekilde, doğum günlerine denk gelen iki çift buluyoruz: II. Carlos ile IV. Carlos (11 Kasım) ve José I, Juan Carlos I ile (5 Ocak). Aynı doğum gününe sahip yalnızca bir çift hükümdar olma olasılığı, n = 20 dikkate alındığında,

Bir başka gerçek örnek de 2019 Eurovision büyük finalidir.. Aynı yıl İsrail'in Tel Aviv kentinde düzenlenen finale 24'ü olmak üzere 26 ülke katıldı. Ya solo şarkıcılar ya da şarkıcı figürünün özel bir rol üstlendiği gruplar gönderdiler. Aralarında iki şarkıcı bir doğum gününe denk geldi: İsrail temsilcisi Kobi Marimi ve İsviçre temsilcisi Luca Hänni, her ikisi de 8 Ekim'de doğum günlerini kutluyor.

Bibliyografik referanslar:

• Abramson, M.; Moser, W. HERHANGİ BİRİ. J. (1970). "Daha Fazla Doğum Günü Sürprizleri". Amerikan Matematik Aylık. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• çiçek, d. (1973). "Bir Doğum Günü Sorunu". Amerikan Matematik Aylık. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkin, M.; Newman, D. (1967). "Doğum Günü Sürprizi Uzantıları". Kombinatoryal Teori Dergisi. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9