Sayma teknikleri: türleri, nasıl kullanılacağı ve örnekler

Matematik dünyası, büyüleyici olduğu kadar karmaşıktır., ancak belki de karmaşıklığı sayesinde günden güne daha etkili ve verimli bir şekilde başa çıkabiliriz.

Sayma teknikleri, aynı nesne grubu içindeki elemanların kaç farklı kombinasyonu veya seçeneği olduğunu bilmemizi sağlayan matematiksel yöntemlerdir.

• Önerilen makale: "Psikometri: nedir ve neden sorumludur?"

Bu teknikler, nesnelerin dizilerini veya kombinasyonlarını yapmanın kaç farklı yolu olduğunu bilerek, sabrı veya akıl sağlığını kaybetmeden çok önemli bir şekilde hızlandırmayı mümkün kılar. Ne olduklarına ve en çok hangilerinin kullanıldığına daha yakından bakalım.

Sayma teknikleri: bunlar nelerdir?

Sayma teknikleri, olasılık ve istatistikte kullanılan matematiksel stratejilerdir. bir küme veya kümeler içindeki kombinasyonlardan elde edilebilecek toplam sonuç sayısı nesneler. Bu tür teknikler, farklı elementlerin kombinasyonlarını manuel olarak yapmanın ve kaç tanesinin mümkün olduğunu bilmenin pratik olarak imkansız veya çok ağır olduğu durumlarda kullanılır.

Bu kavram bir örnek üzerinden daha kolay anlaşılacaktır.. Bir sarı, bir kırmızı, bir mavi ve bir yeşil olmak üzere dört sandalyeniz varsa, bunlardan üçünün kaç kombinasyonu yan yana dizilebilir?

Mavi, kırmızı, sarı gibi kombinasyonlar düşünülerek manuel olarak bu sorun çözülebilirdi; mavi, sarı ve kırmızı; kırmızı, mavi ve sarı, kırmızı, sarı ve mavi... Ama bu çok sabır ve zaman gerektirebilir ve bunun için sayma tekniklerini kullanırdık, bu durumda bir permütasyon gereklidir.

• İlginizi çekebilir: "Normal dağılım: nedir, istatistikte özellikleri ve örnekleri"

Beş tür sayma tekniği

Ana sayma teknikleri aşağıdaki beş, her ne kadar tek olmasa da, her biri kendine özgü özelliklere sahip ve kaç tane nesne kümesi kombinasyonunun mümkün olduğunu bilmek için gereksinimlere göre kullanılıyor.

Aslında, bu tür teknikler, karmaşıklıklarına bağlı olarak, biri aşağıdakilerden oluşan iki gruba ayrılabilir: çarpım ilkesi ve toplama ilkesi, diğeri ise kombinasyonlardan oluşur ve permütasyonlar.

1. çarpım ilkesi

Bu tür sayma tekniği, toplama ilkesiyle birlikte, bu matematiksel yöntemlerin nasıl çalıştığının kolay ve pratik bir şekilde anlaşılmasını sağlar.

Bir olay, buna N1 diyelim, birkaç şekilde meydana gelebilir ve başka bir olay, N2, birçok şekilde meydana gelebilirse, olaylar birlikte N1 x N2 şekillerde meydana gelebilir.

Bu ilke, eylem sıralı olduğunda, yani düzenli bir şekilde meydana gelen olaylardan oluştuğunda kullanılır. bir evin inşası, diskoda dans adımlarının seçilmesi veya bir oyun hazırlamak için izlenecek sıra gibi. turta.

Örneğin:

Bir restoranda menü ana yemek, ikinci yemek ve tatlıdan oluşur. 4 ana yemek, 5 saniye ve 3 tatlımız var.

Böylece, N1 = 4; N2 = 5 ve N3 = 3.

Böylece bu menünün sunduğu kombinasyonlar 4 x 5 x 3 = 60 olur.

2. Katkı ilkesi

Bu durumda, her bir olay için alternatifleri çoğaltmak yerine, olabilecekleri çeşitli yollar eklenir.

Bu, eğer ilk aktivite M ​​yollarında, ikincisi N'de ve üçüncü L'de gerçekleşebilirse, bu prensibe göre M + N + L olacağı anlamına gelir.

Örneğin:

Çikolata almak istiyoruz, süpermarkette üç marka var: A, B ve C.

Çikolata A, her biri için şekersiz veya şekerli seçeneklere ek olarak siyah, sütlü ve beyaz olmak üzere üç çeşit olarak satılmaktadır.

Çikolata B, fındıklı veya şekersiz, şekerli ve şekersiz seçenekleriyle siyah, sütlü veya beyaz olmak üzere üç çeşit olarak satılmaktadır.

Çikolata C, fındık, fıstık, karamel veya badem seçenekleriyle siyah, sütlü ve beyaz olmak üzere üç çeşitte satılmaktadır, ancak hepsi şekerlidir.

Buna göre cevaplanması gereken soru şudur: Kaç çeşit çikolata alınabilir?

W = çikolata A'yı seçme yollarının sayısı.

Y = çikolata B'yi seçme yollarının sayısı.

Z = çikolatayı seçme yollarının sayısı C.

Bir sonraki adım basit çarpmadır.

W = 3 x 2 = 6.

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 farklı çikolata çeşidi.

Çarpım ilkesini mi yoksa toplama ilkesini mi kullanacağınızı bilmek için asıl ipucu, söz konusu etkinliğin olup olmadığıdır. Menüde olduğu gibi gerçekleştirilmesi gereken bir dizi adım vardır veya çikolatada olduğu gibi birkaç seçenek vardır.

3. permütasyonlar

Permütasyonların nasıl yapıldığını anlamadan önce, kombinasyon ve permütasyon arasındaki farkı anlamak önemlidir.

Kombinasyon, sırası önemli olmayan veya nihai sonucu değiştirmeyen öğelerin bir düzenlemesidir.

Öte yandan, bir permütasyonda, sıralarını veya konumlarını hesaba katmanın önemli olduğu birkaç öğenin bir düzenlemesi olacaktır.

Permütasyonlarda, n sayıda farklı eleman vardır ve bunlardan r olan bir dizi seçilir.

Kullanılacak formül şu şekilde olacaktır: nPr = n! / (N-r)!

Örneğin:

10 kişilik bir grup var ve sadece beş kişinin sığabileceği bir koltuk var, kaç farklı şekilde oturabilirler?

Aşağıdakiler yapılacaktı:

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30.240 bankayı işgal etmenin farklı yolları.

4. Tekrarlı permütasyonlar

Bazıları aynı olan bir dizi nesnedeki permütasyon sayısını bilmek istediğinizde, aşağıdaki gibi ilerlersiniz:

n'nin mevcut öğeler olduğu göz önüne alındığında, bazıları tekrarlandı.

Tüm öğeler n seçilir.

Aşağıdaki formül geçerlidir: = n! / N1!N2... nk!

Örneğin:

Teknede 3 kırmızı, 2 sarı ve 5 yeşil bayrak çekilebilir. Sahip olduğunuz 10 bayrağı kaldırarak kaç farklı sinyal verilebilir?

10!/3!2!5! = 2.520 farklı bayrak kombinasyonu.

5. kombinasyonlar

Kombinasyonlarda, permütasyonlardan farklı olarak, elemanların sırası önemli değildir.

Uygulanacak formül şu şekildedir: nCr = n! / (N-r)!R!

Örneğin:

10 kişilik bir grup mahalleyi temizlemek istiyor ve her biri 2 kişilik gruplar oluşturmaya hazırlanıyor Kaç grup olabilir?

Bu durumda, n = 10 ve r = 2, böylece aşağıdaki formül uygulanır:

10C2 = 10! / (10-2)!2! = 180 farklı çift.

Bibliyografik referanslar:

• Brualdi, R. İÇİN. (2010), Giriş Kombinatorikleri (5. baskı), Pearson Prentice Hall.
• tarafından Finetti, B. (1970). "Mantıksal temeller ve öznel olasılığın ölçümü". Acta Psychological.
• Hog, R. V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Matematiksel İstatistiklere Giriş (6. baskı). Yukarı Eyer Nehri: Pearson.
• Mazur, D. R. (2010), Kombinatorics: Rehberli Bir Tur, Amerika Matematik Derneği,
• Rize, H. J. (1963), Kombinatoryal Matematik, The Carus Mathematical Monographs 14, Mathematical Association of America.