Le paradoxe de l'anniversaire: qu'est-ce que c'est et comment l'expliquer

Imaginons que nous soyons avec un groupe de personnes, par exemple, lors d'une réunion de famille, d'une réunion de classe primaire, ou tout simplement en train de prendre un verre dans un bar. Disons qu'il y a environ 25 personnes.

Entre le bruit et les conversations superficielles, on s'est un peu déconnecté et on a commencé à réfléchir à notre choses et, du coup, on se demande: quelle doit être la probabilité que parmi ces personnes deux personnes aient leur anniversaire le même jour?

Le paradoxe de l'anniversaire est une vérité mathématique, contrairement à notre instinct, qui veut qu'il faille très peu de personnes pour qu'il y ait une probabilité quasi aléatoire que deux d'entre elles aient le même anniversaire. Essayons de mieux comprendre ce curieux paradoxe.

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Le paradoxe de l'anniversaire

Le paradoxe de l'anniversaire est une vérité mathématique qui établit que dans un groupe de seulement 23 personnes, il existe une probabilité proche du hasard, en particulier 50,7 %,

qu'au moins deux de ces personnes ont le même anniversaire. La popularité de cet énoncé mathématique est due au fait surprenant qu'il en faut si peu. les gens ont une chance assez certaine d'avoir des matchs sur quelque chose d'aussi varié qu'un anniversaire.

Bien que ce fait mathématique soit appelé un paradoxe, au sens strict il ne l'est pas. C'est plutôt un paradoxe dans la mesure où il s'avère curieux, car c'est tout à fait contraire au bon sens. Lorsqu'on demande à quelqu'un combien de personnes il faut pour qu'ils fêtent leur anniversaire le même jour, les gens ont tendance à donner intuitivement 183, c'est-à-dire la moitié de 365.

L'idée derrière cette valeur est qu'en divisant par deux le nombre de jours d'une année ordinaire, on obtient le minimum nécessaire pour qu'il y ait une probabilité proche de 50 %.

Cependant, il n'est pas surprenant que des valeurs aussi élevées soient données en essayant de répondre à cette question, puisque les gens comprennent souvent mal le problème. Le paradoxe de l'anniversaire ne fait pas référence aux probabilités qu'une personne spécifique ait un anniversaire par rapport à un autre dans le groupe, mais, comme nous l'avons commenté, les chances que deux personnes du groupe aient le même anniversaire jour.

Explication mathématique du phénomène

Pour comprendre cette surprenante vérité mathématique, la première chose à faire est de garder à l'esprit qu'il existe de nombreuses possibilités pour trouver des couples qui ont le même anniversaire.

A première vue, on pourrait penser que 23 jours, c'est-à-dire le 23e anniversaire des membres du groupe, est trop petite fraction du nombre possible de jours distincts, 365 jours d'une année non bissextile, ou 366 dans les années bissextiles, comme pour s'attendre à des répétitions. Cette pensée est en effet exacte, mais seulement si nous nous attendons à une répétition un jour particulier. C'est-à-dire, et comme nous l'avons déjà commenté, nous aurions besoin de rassembler beaucoup de monde pour qu'il y ait une possibilité de plus ou moins près de 50% d'un des membres du groupe ayant un anniversaire avec nous, pour mettre un exemple.

Cependant, dans le paradoxe de l'anniversaire, des répétitions surviennent. C'est-à-dire combien de personnes sont nécessaires pour que deux de ces personnes fêtent leur anniversaire le même jour, étant la personne ou les jours. Pour le comprendre et le montrer mathématiquement, Ensuite, nous verrons plus en profondeur la procédure derrière le paradoxe.

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Possibilité de correspondance éventuelle

Imaginons que nous n'ayons que deux personnes dans une pièce. Ces deux personnes, C1 et C2, ne pouvaient former qu'un couple (C1=C2), avec lequel nous n'avons qu'un seul couple dans lequel un anniversaire à répétition peut survenir. Soit ils ont leur anniversaire le même jour, soit ils n'ont pas le même anniversaire, il n'y a pas d'autres alternatives..

Pour énoncer ce fait mathématiquement, nous avons la formule suivante :

(Nb de personnes x combinaisons possibles)/2 = possibilités de coïncidence possible.

Dans ce cas, ce serait :

(2 x 1)/2 = 1 chance d'un match possible

Que se passe-t-il si au lieu de deux personnes il y en a trois? Les chances de match vont jusqu'à trois, grâce au fait que trois couples peuvent se former entre ces trois personnes (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Mathématiquement représenté nous avons :

(3 personnes X 2 combinaisons possibles)/2 = 3 chances d'un match possible

Avec quatre, il y a six possibilités qu'ils coïncident entre eux :

(4 personnes X 3 combinaisons possibles)/2 = 6 chances d'un match possible

Si nous montons jusqu'à dix personnes, nous avons beaucoup plus de possibilités :

(10 personnes X 9 combinaisons possibles)/2 = 45

Avec 23 personnes il y a (23×22)/2 = 253 couples différents, chacun d'eux étant candidat pour que leurs deux membres aient des anniversaires le même jour, se donnant le paradoxe de l'anniversaire et ayant plus de possibilités d'avoir une coïncidence d'anniversaire.

estimation de probabilité

Nous allons calculer quelle est la probabilité qu'un groupe de taille n de personnes dont deux, quels qu'ils soient, ont leur anniversaire le même jour. Pour ce cas précis, nous allons écarter les années bissextiles et les jumeaux, en supposant qu'il y a 365 anniversaires qui ont la même probabilité.

Utilisation de la règle de Laplace et de la combinatoire

Premièrement, nous devons calculer la probabilité que n personnes aient des anniversaires différents. Autrement dit, nous calculons la probabilité opposée à ce qui est indiqué dans le paradoxe de l'anniversaire. Pour ca, Nous devons prendre en compte deux événements possibles lors de l'examen des calculs.

Événement A = {deux personnes fêtent leur anniversaire le même jour} Complémentaire à l'événement A: A^c = {deux personnes ne fêtent pas leur anniversaire le même jour}

Prenons comme cas particulier un groupe de cinq personnes (n=5)

Pour calculer le nombre de cas possibles, nous utilisons la formule suivante :

jours de l'année^n

Sachant qu'une année normale compte 365 jours, le nombre de cas possibles de fêtes d'anniversaire est de :

365^5 = 6,478 × 10^12

La première des personnes que nous sélectionnons peut être née, comme il est logique de le penser, l'un des 365 jours de l'année. Le prochain est peut-être né dans l'un des 364 jours restants, et le suivant du suivant peut être né dans l'un des 363 jours restants, et ainsi de suite.

De cela découle le calcul suivant: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6 303 × 10^12, ce qui donne comme le résultat est le nombre de cas où il n'y a pas deux personnes dans ce groupe de 5 qui sont nées de la même façon jour.

En appliquant la règle de Laplace, on calculerait :

P (A^c) = cas favorables/cas possibles = 6,303 / 6,478 = 0,973

Cela signifie que les chances que deux personnes du groupe de 5 n'aient pas leur anniversaire le même jour sont de 97,3 %. Avec ces données, nous pouvons obtenir la possibilité que deux personnes aient leur anniversaire le même jour, obtenant la valeur complémentaire.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Ainsi, il en ressort que les chances que dans un groupe de cinq personnes, deux d'entre elles aient un anniversaire le même jour n'est que de 2,7%.

En comprenant cela, nous pouvons modifier la taille de l'échantillon. La probabilité qu'au moins deux personnes dans un groupe de n personnes aient le même anniversaire peut être obtenue à l'aide de la formule suivante :

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

Dans le cas où n vaut 23, la probabilité qu'au moins deux de ces personnes célèbrent des années le même jour est de 0,51.

La raison pour laquelle cette taille d'échantillon spécifique est devenue si célèbre est qu'avec n = 23 il y a une probabilité égale qu'au moins deux personnes fêtent l'anniversaire le même jour.

Si nous augmentons à d'autres valeurs, par exemple 30 ou 50, nous avons des probabilités plus élevées de 0,71 et 0,97 respectivement, ou ce qui revient au même, 71 % et 97 %. Avec n = 70 on est quasiment assuré que deux d'entre eux coïncideront le jour de leur anniversaire, avec une probabilité de 0,99916 soit 99,9%

Utilisation de la règle de Laplace et de la règle du produit

Une autre façon pas si farfelue d'appréhender le problème est de le poser comme suit.

Imaginons que 23 personnes sont ensemble dans une pièce et nous voulons calculer les chances qu'elles ne partagent pas les anniversaires.

Supposons qu'il n'y ait qu'une seule personne dans la pièce. Les chances que tout le monde dans la pièce ait des anniversaires différents sont évidemment de 100 %, c'est-à-dire la probabilité 1. Fondamentalement, cette personne est seule, et comme personne d'autre n'est là, son anniversaire ne coïncide pas avec celui de quelqu'un d'autre.

Maintenant, une autre personne entre, et il y a donc deux personnes dans la pièce. Les chances qu'elle ait un anniversaire différent de celui de la première personne sont de 364/365, c'est 0,9973 ou 99,73 %.

Entrez un troisième. La probabilité qu'elle ait une date de naissance différente de celle des deux autres personnes entrées avant elle est de 363/365. La probabilité que tous les trois aient des anniversaires différents est de 364/365 fois 363/365, soit 0,9918.

Ainsi, les options pour 23 personnes ayant des anniversaires différents sont 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, ce qui donne 0,493.

En d'autres termes, il y a une probabilité de 49,3 % qu'aucune des personnes présentes n'ait son anniversaire le même jour et, par conséquent, inversement, en calculant la complémentaire de ce pourcentage, nous avons qu'il y a 50,7 % de chances qu'au moins deux d'entre eux partagent anniversaire

Contrairement au paradoxe de l'anniversaire, la probabilité que quelqu'un dans une pièce de n personnes anniversaire le même jour qu'une personne spécifique, par exemple, nous-mêmes au cas où nous serions là, est donné par la formule suivante.

1- (364/365)^n

Avec n = 23, cela donnerait une probabilité d'environ 0,061 (6%), nécessitant au moins n = 253 pour donner une valeur proche de 0,5 ou 50%.

Le paradoxe en réalité

Il existe de multiples situations dans lesquelles nous pouvons voir que ce paradoxe se réalise. Ici, nous allons mettre deux cas réels.

Le premier est celui des rois d'Espagne. En comptant du règne des Rois Catholiques de Castille et d'Aragon à celui de Felipe VI d'Espagne, nous avons 20 monarques légitimes. Parmi ces rois, on trouve, étonnamment, deux couples dont les anniversaires coïncident: Carlos II avec Carlos IV (11 novembre) et José I avec Juan Carlos I (5 janvier). La possibilité qu'il n'y ait eu qu'une seule paire de monarques avec le même anniversaire, en tenant compte du fait que n = 20, est

Un autre cas réel est celui de la grande finale de l'Eurovision 2019. Lors de la finale de cette année-là, tenue à Tel Aviv, Israël, 26 pays ont participé, dont 24 Ils ont envoyé soit des chanteurs solistes, soit des groupes où la figure du chanteur a joué un rôle particulier. Parmi eux, deux chanteurs ont coïncidé sur un anniversaire: le représentant d'Israël, Kobi Marimi et celui de Suisse, Luca Hänni, tous deux fêtant leur anniversaire le 8 octobre.

Références bibliographiques:

• Abramson, M.; Moser, W. SOIT. J (1970). "Plus de surprises d'anniversaire". Mensuel mathématique américain. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Bloom, d. (1973). "Un problème d'anniversaire". Mensuel mathématique américain. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkin, M.; Newmann, D. (1967). "Extensions de la Surprise d'Anniversaire". Journal de théorie combinatoire. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9