जन्मदिन का विरोधाभास: यह क्या है और इसे कैसे समझाया जाए

आइए कल्पना करें कि हम लोगों के एक समूह के साथ हैं, उदाहरण के लिए, एक परिवार के पुनर्मिलन में, एक प्राथमिक कक्षा के पुनर्मिलन में, या बस एक बार में शराब पी रहे हैं। मान लीजिए कि लगभग 25 लोग हैं।

शोर और सतही बातचीत के बीच, हम थोड़ा डिस्कनेक्ट हो गए हैं और हम अपने बारे में सोचने लगे हैं चीजें और, अचानक, हम खुद से पूछते हैं: क्या संभावना होनी चाहिए कि इन लोगों में दो लोगों का जन्मदिन हो उसी दिन?

जन्मदिन का विरोधाभास एक गणितीय सत्य है, हमारी प्रवृत्ति के विपरीत, जो यह मानता है कि बहुत कम लोगों की आवश्यकता होती है, क्योंकि उनमें से दो का जन्मदिन एक ही होने की यादृच्छिक संभावना होती है। आइए इस जिज्ञासु विरोधाभास को और अच्छी तरह से समझने का प्रयास करें।

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जन्मदिन विरोधाभास

जन्मदिन का विरोधाभास एक गणितीय सत्य है जो यह स्थापित करता है कि सिर्फ 23 लोगों के समूह में संयोग के करीब संभावना है, विशेष रूप से 50.7%, कि उनमें से कम से कम दो लोगों का जन्मदिन एक ही हो. इस गणितीय कथन की लोकप्रियता आश्चर्यजनक तथ्य के कारण है कि इतने कम आवश्यक हैं। लोगों के पास एक निश्चित मौका है कि उनके पास जन्मदिन जैसी विविध चीज़ों पर मैच होंगे।

यद्यपि इस गणितीय तथ्य को एक विरोधाभास कहा जाता है, सख्त अर्थों में ऐसा नहीं है। बल्कि यह एक विरोधाभास है क्योंकि यह जिज्ञासु निकला, क्योंकि यह सामान्य ज्ञान के बिल्कुल विपरीत है। जब किसी से पूछा जाता है कि उन्हें लगता है कि उन दोनों का एक ही दिन जन्मदिन होने में कितने लोग लगते हैं, तो लोग सहज रूप से 183, यानी 365 का आधा देते हैं।

इस मूल्य के पीछे सोच यह है कि एक सामान्य वर्ष में दिनों की संख्या को आधा करके, वहाँ के लिए आवश्यक न्यूनतम 50% के करीब संभावना प्राप्त की जाती है।

हालाँकि, यह आश्चर्य की बात नहीं है कि इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करते समय इतने उच्च मूल्य दिए जाते हैं, चूंकि लोग अक्सर समस्या को गलत समझते हैं। जन्मदिन विरोधाभास उन संभावनाओं को संदर्भित नहीं करता है जिनके संबंध में किसी विशिष्ट व्यक्ति का जन्मदिन होता है समूह में एक और, लेकिन, जैसा कि हमने टिप्पणी की है, संभावना है कि समूह में किन्हीं दो लोगों का जन्मदिन एक ही हो दिन।

घटना की गणितीय व्याख्या

इस आश्चर्यजनक गणितीय सत्य को समझने के लिए सबसे पहले यह ध्यान रखें कि एक ही जन्मदिन वाले जोड़ों को खोजने की कई संभावनाएं हैं।

पहली नज़र में, कोई सोचेगा कि 23 दिन, यानी बैंड के सदस्यों का 23 वां जन्मदिन है अलग-अलग दिनों की संभावित संख्या का बहुत छोटा अंश, गैर-लीप वर्ष के 365 दिन, या लीप वर्ष में 366, जैसे कि पुनरावृत्ति की अपेक्षा करना। यह सोच वास्तव में सटीक है, लेकिन तभी जब हम किसी विशेष दिन दोहराने की उम्मीद करते हैं। यही कहना है, और जैसा कि हम पहले ही टिप्पणी कर चुके हैं, हमें बहुत से लोगों को इकट्ठा करने की आवश्यकता होगी ताकि एक और संभावना हो या समूह के किसी एक सदस्य के करीब 50% के पास खुद के साथ जन्मदिन है, एक डाल दें उदाहरण।

हालाँकि, जन्मदिन विरोधाभास में कोई भी दोहराव उत्पन्न होता है। यानी उन दो लोगों के लिए कितने लोगों की जरूरत है कि उनका जन्मदिन एक ही दिन हो, व्यक्ति या दिन कोई भी हो। इसे समझने और इसे गणितीय रूप से दिखाने के लिए, आगे हम विरोधाभास के पीछे की प्रक्रिया को और अधिक गहराई से देखेंगे.

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संभावित मैच की संभावना

आइए कल्पना करें कि हमारे पास एक कमरे में केवल दो लोग हैं। ये दो लोग, C1 और C2, केवल एक युगल बना सकते हैं (C1=C2), जिसके साथ हमारे पास केवल एक युगल है जिसमें एक बार-बार जन्मदिन हो सकता है। या तो उनका जन्मदिन एक ही दिन होता है, या उनका एक ही जन्मदिन नहीं होता, कोई अन्य विकल्प नहीं है।.

इस तथ्य को गणितीय रूप से व्यक्त करने के लिए, हमारे पास निम्न सूत्र है:

(लोगों की संख्या x संभावित संयोजन)/2 = संभावित संयोग की संभावनाएं।

इस मामले में, यह होगा:

(2 x 1)/2 = संभावित मैच का 1 मौका

क्या होगा अगर दो के बजाय तीन लोग हों? मैच की संभावनाएं तीन तक जाती हैं, इस तथ्य के लिए धन्यवाद कि इन तीन लोगों के बीच तीन जोड़े बन सकते हैं (Cl=C2; सीएल = सी 3; सी2=सी3). गणितीय रूप से प्रतिनिधित्व हमारे पास है:

(3 लोग X 2 संभावित संयोजन)/2 = संभावित मैच के 3 मौके

चार के साथ छह संभावनाएँ हैं कि वे उनके बीच मेल खाते हैं:

(4 लोग X 3 संभावित संयोजन)/2 = संभावित मैच के 6 मौके

यदि हम दस लोगों तक जाते हैं, तो हमारे पास और भी कई संभावनाएँ हैं:

(10 लोग X 9 संभावित संयोजन)/2 = 45

23 लोगों के साथ (23×22)/2 = 253 अलग-अलग जोड़े हैं, उनमें से प्रत्येक अपने दो सदस्यों के लिए एक ही दिन जन्मदिन होने के लिए एक उम्मीदवार है, खुद को जन्मदिन का विरोधाभास दे रहा है और जन्मदिन के संयोग होने की अधिक संभावनाएं हैं।

संभाव्यता अनुमान

हम गणना करने जा रहे हैं कि क्या संभावना है कि उनमें से दो लोगों के आकार n वाले समूहवे जो भी हैं, उनका जन्मदिन एक ही दिन होता है। इस विशिष्ट मामले के लिए, हम लीप वर्ष और जुड़वा बच्चों को छोड़ने जा रहे हैं, यह मानते हुए कि 365 जन्मदिन हैं जिनकी समान संभावना है।

लाप्लास के नियम और कॉम्बिनेटरिक्स का उपयोग करना

सबसे पहले, हमें संभावना की गणना करनी होगी कि n लोगों के अलग-अलग जन्मदिन हैं। यही है, हम जन्मदिन के विरोधाभास में बताई गई संभावना के विपरीत संभावना की गणना करते हैं। इसके लिए, गणनाओं पर विचार करते समय हमें दो संभावित घटनाओं को ध्यान में रखना चाहिए.

घटना A = {दो लोग अपना जन्मदिन एक ही दिन मनाते हैं} घटना A का पूरक: A^c = {दो लोग अपना जन्मदिन एक ही दिन नहीं मनाते हैं}

आइए एक विशेष मामले के रूप में पांच लोगों के साथ एक समूह लें (एन = 5)

संभावित मामलों की संख्या की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

वर्ष के दिन ^ एन

यह ध्यान में रखते हुए कि एक सामान्य वर्ष में 365 दिन होते हैं, जन्मदिन समारोह के संभावित मामलों की संख्या है:

365^5 = 6,478 × 10^12

हमारे द्वारा चुने गए लोगों में से पहले का जन्म वर्ष के 365 दिनों में से किसी भी दिन हुआ होगा, जैसा कि सोचना तर्कसंगत है। अगले का जन्म शेष 364 दिनों में से किसी एक में हो सकता है, और अगले का अगला जन्म शेष 363 दिनों में से किसी एक में हुआ हो, और इसी तरह आगे भी।

इससे निम्नलिखित गणना होती है: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6,303 × 10^12, जो इस प्रकार देता है परिणाम उन मामलों की संख्या है जहां 5 के उस समूह में दो लोग नहीं हैं जो समान पैदा हुए थे दिन।

लाप्लास के नियम को लागू करते हुए, हम गणना करेंगे:

P (A^c) = अनुकूल मामले/संभावित मामले = 6.303 / 6.478 = 0.973

इस का मतलब है कि 5 के समूह में दो लोगों के एक ही दिन जन्मदिन नहीं होने की संभावना 97.3% है. इस डेटा के साथ, हम एक ही दिन दो लोगों के जन्मदिन होने की संभावना प्राप्त कर सकते हैं, पूरक मूल्य प्राप्त कर सकते हैं।

पी(ए) = 1 - पी(ए^सी) = 1 - 0.973 = 0.027

इस प्रकार, इससे यह पता चलता है कि पांच लोगों के समूह में, उनमें से दो का एक ही दिन जन्मदिन होने की संभावना केवल 2.7% है।

इसे समझकर हम नमूने के आकार को बदल सकते हैं. संभावना है कि एन लोगों की एक सभा में कम से कम दो लोगों का एक ही जन्मदिन है, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

मामले में n 23 है, संभावना है कि उनमें से कम से कम दो लोग एक ही दिन वर्ष मनाते हैं 0.51 है।

यह विशिष्ट नमूना आकार इतना प्रसिद्ध क्यों हो गया है क्योंकि n = 23 के साथ एक समान संभावना है कि कम से कम दो लोग एक ही दिन जन्मदिन मनाएं.

यदि हम अन्य मूल्यों में वृद्धि करते हैं, उदाहरण के लिए 30 या 50, तो हमारे पास क्रमशः 0.71 और 0.97 की उच्च संभावनाएं हैं, या जो समान है, 71% और 97%। n = 70 के साथ हम लगभग गारंटी देते हैं कि उनमें से दो अपने जन्मदिन पर 0.99916 या 99.9% की संभावना के साथ मेल खाएंगे

लाप्लास के नियम और उत्पाद नियम का उपयोग करना

समस्या को समझने का एक और तरीका जो इतना दूर की कौड़ी नहीं है, वह है इसे इस तरह प्रस्तुत करना.

आइए कल्पना करें कि एक कमरे में 23 लोग एक साथ हैं और हम उन अवसरों की गणना करना चाहते हैं कि वे जन्मदिन साझा नहीं करते हैं।

मान लीजिए कमरे में केवल एक ही व्यक्ति है। संभावना है कि कमरे में सभी के अलग-अलग जन्मदिन होंगे, जाहिर तौर पर 100% हैं, यानी प्रायिकता 1। मूल रूप से, वह व्यक्ति अकेला है, और चूँकि वहाँ कोई नहीं है, इसलिए उसका जन्मदिन किसी और के जन्मदिन के साथ मेल नहीं खाता है।

अब एक और व्यक्ति अंदर आता है, और इसलिए कमरे में दो लोग हैं। उसके पहले व्यक्ति से अलग जन्मदिन होने की संभावना 364/365 है, यह 0.9973 या 99.73% है।

तीसरा दर्ज करें। संभावना है कि उसका जन्मदिन अन्य दो लोगों की तुलना में अलग है, जो उससे पहले प्रवेश कर चुके हैं, 363/365 है। तीनों के अलग-अलग जन्मदिन होने की संभावना 364/365 गुणा 363/365, या 0.9918 है।

तो, अलग-अलग जन्मदिन वाले 23 लोगों के लिए विकल्प हैं 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, जिसका परिणाम 0.493 है।

दूसरे शब्दों में, इस बात की 49.3% संभावना है कि उपस्थित लोगों में से किसी का भी जन्मदिन एक ही दिन नहीं है और इसलिए, इसके विपरीत, उस प्रतिशत के पूरक की गणना करने पर हमारे पास 50.7% संभावना है कि उनमें से कम से कम दो साझा करें जन्मदिन

जन्मदिन विरोधाभास के विपरीत, संभावना है कि एन व्यक्ति के कमरे में कोई भी एक विशिष्ट व्यक्ति के रूप में उसी दिन जन्मदिन, उदाहरण के लिए, अगर हम वहां हैं, निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है.

1- (364/365)^एन

N = 23 के साथ यह लगभग 0.061 प्रायिकता (6%) देगा, जिसमें 0.5 या 50% के करीब मूल्य देने के लिए कम से कम n = 253 की आवश्यकता होगी।

वास्तविकता में विरोधाभास

ऐसी कई स्थितियाँ हैं जिनमें हम देख सकते हैं कि यह विरोधाभास पूरा हो गया है। यहां हम दो वास्तविक मामले रखने जा रहे हैं।

पहला स्पेन के राजाओं का है. कैस्टिले और आरागॉन के कैथोलिक सम्राटों के शासनकाल से लेकर स्पेन के फेलिप VI के शासनकाल तक, हमारे पास 20 वैध सम्राट हैं। इन राजाओं में, आश्चर्यजनक रूप से, दो जोड़े हैं जो जन्मदिन पर मेल खाते हैं: कार्लोस II कार्लोस IV (11 नवंबर) और जोस I जुआन कार्लोस I (5 जनवरी) के साथ। संभावना है कि एक ही जन्मदिन के साथ सम्राटों की केवल एक जोड़ी थी, ध्यान में रखते हुए कि n = 20, है

एक और वास्तविक मामला 2019 यूरोविज़न ग्रैंड फ़ाइनल का है. उस वर्ष के फाइनल में, तेल अवीव, इज़राइल में आयोजित, 26 देशों ने भाग लिया, जिनमें से 24 उन्होंने या तो एकल गायकों या समूहों को भेजा जहाँ गायक की आकृति ने एक विशेष भूमिका निभाई। उनमें से, दो गायकों ने जन्मदिन मनाया: इज़राइल के प्रतिनिधि, कोबी मारीमी और स्विटज़रलैंड के लुका हन्नी, दोनों ने 8 अक्टूबर को अपना जन्मदिन मनाया।

ग्रंथ सूची संदर्भ:

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