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वास्तविक संख्याओं का वर्गीकरण

वास्तविक संख्याएँ क्या हैं? यह संख्याओं का समुच्चय है जिसमें प्राकृत संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ शामिल हैं। इस पूरे लेख में हम देखेंगे कि उनमें से प्रत्येक में क्या शामिल है। दूसरी ओर, वास्तविक संख्याओं को "R" (ℜ) अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है।

इस लेख में हम शुरुआत में उल्लिखित विभिन्न प्रकार की संख्याओं से बनने वाली वास्तविक संख्याओं के वर्गीकरण को जानेंगे। हम देखेंगे कि इसकी मूलभूत विशेषताएं क्या हैं, साथ ही उदाहरण भी। अंत में, हम गणित के महत्व और इसके अर्थ और लाभों के बारे में बात करेंगे।

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वास्तविक संख्याएँ क्या हैं?

वास्तविक संख्याओं को एक संख्या रेखा पर निरूपित किया जा सकता है, इसे परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को समझते हुए।

अर्थात्, वास्तविक संख्याओं के वर्गीकरण में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ, 0 और वे संख्याएँ शामिल हैं जो नहीं हैं दो पूर्णांकों के भिन्नों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है और जिनमें गैर-शून्य संख्याएं हर के रूप में होती हैं (अर्थात, वे नहीं हैं 0). बाद में हम निर्दिष्ट करेंगे कि इनमें से प्रत्येक परिभाषा से किस प्रकार की संख्या मेल खाती है।

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वास्तविक संख्याओं के बारे में भी कुछ कहा जाता है कि यह जटिल या काल्पनिक संख्याओं का एक उपसमुच्चय है (इन्हें "i" अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है)।

वास्तविक संख्याओं का वर्गीकरण

संक्षेप में, और इसे और अधिक समझने योग्य तरीके से रखने के लिए, वास्तविक संख्याएँ व्यावहारिक रूप से उन संख्याओं का बहुमत है जिनसे हम अपने दिन-प्रतिदिन व्यवहार करते हैं और उससे आगे (जब हम गणित का अध्ययन करते हैं, विशेष रूप से अधिक उन्नत स्तर पर)।

वास्तविक संख्याओं के उदाहरण हैं: 5, 7, 19, -9, -65, -90। 6, √9, √10, संख्या pi (π), आदि। हालाँकि, यह वर्गीकरण, जैसा कि हमने पहले ही कहा है, इसमें विभाजित है: प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ। इनमें से प्रत्येक संख्या की क्या विशेषता है? आइए इसे विस्तार से देखें।

1. प्राकृतिक संख्या

जैसा कि हमने देखा, वास्तविक संख्याओं के भीतर हम विभिन्न प्रकार की संख्याएँ पाते हैं। प्राकृत संख्याओं के मामले में, ये वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम गिनने के लिए करते हैं (उदाहरण के लिए: मेरे हाथ में 5 सिक्के हैं)। यानी १, २, ३, ४, ५, ६... प्राकृत संख्याएँ हमेशा पूर्णांक होती हैं (अर्थात, एक प्राकृत संख्या "3.56" नहीं हो सकती, उदाहरण के लिए).

प्राकृतिक संख्याएँ हस्तलिखित अक्षर "N" द्वारा व्यक्त की जाती हैं। यह पूर्ण संख्याओं का उपसमुच्चय है।

परिभाषा के आधार पर, हम पाते हैं कि प्राकृत संख्याएँ या तो 0 से शुरू होती हैं या 1 से। इस प्रकार के नंबरों का उपयोग ऑर्डिनल्स के रूप में किया जाता है (उदाहरण के लिए मैं दूसरा हूं) या कार्डिनल्स के रूप में (मेरे पास 2 पैंट हैं)।

प्राकृतिक संख्याओं से, अन्य प्रकार की संख्याएँ "निर्मित" होती हैं (वे प्रारंभिक "आधार" हैं): पूर्णांक, परिमेय, वास्तविक... इसके कुछ गुण हैं: जोड़, घटाव, भाग और गुणन; अर्थात्, आप इन गणितीय संक्रियाओं को उनके साथ कर सकते हैं।

2. पूर्णांक संख्या

अन्य संख्याएँ जो वास्तविक संख्याओं के वर्गीकरण का हिस्सा हैं, वे पूर्ण संख्याएँ हैं, जिन्हें "Z" (Z) द्वारा दर्शाया जाता है।

इनमें शामिल हैं: 0, प्राकृत संख्याएँ, और ऋणात्मक चिह्न वाली प्राकृत संख्याएँ (0, 1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4…). पूर्ण संख्याएँ परिमेय संख्याओं का उपसमुच्चय होती हैं।

इस प्रकार, यह उन संख्याओं के बारे में है जो बिना किसी भिन्न के लिखी जाती हैं, अर्थात "एक पूर्णांक में"। वे सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं (उदाहरण के लिए: 5, 8, -56, -90, आदि)। दूसरी ओर, वे संख्याएँ जिनमें दशमलव शामिल हैं (जैसे "8.90") या जो कुछ वर्गमूलों से प्राप्त होती हैं (उदाहरण के लिए 2), पूर्णांक नहीं हैं।

पूर्ण संख्याओं में 0 भी शामिल है। दरअसल, पूर्ण संख्याएं प्राकृतिक संख्याओं का हिस्सा होती हैं (ये इनका एक छोटा समूह हैं)।

3. परिमेय संख्या

वास्तविक संख्याओं के वर्गीकरण में निम्नलिखित संख्याएँ परिमेय संख्याएँ हैं। इस मामले में, परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें दो पूर्ण संख्याओं के घटक के रूप में या उनके भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है.

उदाहरण के लिए 7/9 (यह आमतौर पर "पी / क्यू" द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहां "पी" अंश होता है और "क्यू" हर होता है)। चूँकि इन भिन्नों का परिणाम एक पूर्ण संख्या हो सकता है, पूर्ण संख्याएँ परिमेय संख्याएँ होती हैं।

इस प्रकार की संख्याओं का समुच्चय, परिमेय संख्याएँ, एक "Q" (कैपिटल लेटर) द्वारा व्यक्त की जाती हैं। इस प्रकार, दशमलव संख्याएँ जो परिमेय संख्याएँ हैं, तीन प्रकार की होती हैं:

  • सटीक दशमलव: जैसे "3.45"।
  • शुद्ध दोहराव वाले दशमलव: जैसे "5,161616 ..." (चूंकि 16 अनिश्चित काल तक दोहराया जाता है)।
  • मिश्रित दोहराए जाने वाले दशमलव: जैसे "6,788888... (8 अनिश्चित काल तक दोहराया जाता है)।

तथ्य यह है कि परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं के वर्गीकरण का हिस्सा हैं, इसका तात्पर्य है कि वे इस प्रकार की संख्याओं का एक उपसमुच्चय हैं।

4. अपरिमेय संख्या

अंत में, वास्तविक संख्याओं के वर्गीकरण में हम अपरिमेय संख्याएँ भी पाते हैं। अपरिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व इस प्रकार किया जाता है: "R-Q", जिसका अर्थ है: "रियल्स का सेट माइनस परिमेय का सेट".

इस प्रकार की संख्याएँ वे सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं जो परिमेय नहीं होती हैं। इस प्रकार, इन्हें भिन्नों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। ये वे संख्याएँ हैं जिनमें अनंत दशमलव स्थान हैं, और जो आवर्त नहीं हैं।

अपरिमेय संख्याओं के भीतर, हम संख्या pi (π द्वारा व्यक्त) पा सकते हैं, जिसमें एक वृत्त की लंबाई और उसके व्यास के बीच संबंध होता है। हमें कुछ अन्य भी मिलते हैं, जैसे: यूलर संख्या (ई), स्वर्ण संख्या (φ), अभाज्य संख्याओं के मूल (उदाहरण के लिए √2, 3, √5, 7…), आदि।

पिछले वाले की तरह, चूंकि यह वास्तविक संख्याओं के वर्गीकरण का हिस्सा है, इसलिए यह बाद वाले का सबसेट है।

संख्या और गणित की भावना

गणित और संख्याओं की अवधारणा क्या अच्छी है? हम गणित का उपयोग किस लिए कर सकते हैं? आगे बढ़े बिना, हम अपने दिन-प्रतिदिन में लगातार गणित का उपयोग करते हैं: परिवर्तनों की गणना करने के लिए, भुगतान करना, खर्चों की गणना करना, समय की गणना करना (उदाहरण के लिए यात्राओं का), शेड्यूल की तुलना करना, आदि।

तार्किक रूप से, दिन से परे, गणित और संख्याओं के अनंत अनुप्रयोग हैं, विशेष रूप से इंजीनियरिंग, कंप्यूटर विज्ञान, नई तकनीकों आदि के क्षेत्र में। उनसे हम उत्पादों का निर्माण कर सकते हैं, डेटा की गणना कर सकते हैं जो हमारी रुचि रखते हैं, आदि।

दूसरी ओर, गणित के विज्ञान से परे, अन्य विज्ञान हैं जो वास्तव में लागू गणित हैं, जैसे: भौतिकी, खगोल विज्ञान और रसायन विज्ञान। अन्य महत्वपूर्ण विज्ञान या करियर जैसे कि चिकित्सा या जीव विज्ञान भी गणित में "भीगे" हैं।

तो, आप व्यावहारिक रूप से कह सकते हैं कि... हम संख्याओं के बीच रहते हैं! ऐसे लोग होंगे जो उन्हें काम करने के लिए इस्तेमाल करते हैं, और अन्य लोग अपने दिन-प्रतिदिन की सरल गणना करने के लिए उपयोग करते हैं।

दिमाग की संरचना करें

दूसरी ओर, संख्याएँ और गणित मन की संरचना करते हैं; वे हमें मानसिक "दराज" बनाने की अनुमति देते हैं जहां हम सूचनाओं को व्यवस्थित और शामिल कर सकते हैं। तो वास्तव में गणित न केवल "जोड़ना या घटाना" का कार्य करता है, बल्कि हमारे मस्तिष्क को विभाजित करने का भी कार्य करता है और हमारे मानसिक कार्य।

अंत में, विभिन्न प्रकार की संख्याओं को समझने के बारे में अच्छी बात है, क्योंकि इस मामले में वे संख्याएँ शामिल हैं वास्तविक संख्याओं के वर्गीकरण से हमें अपने अमूर्त तर्क को बढ़ाने में मदद मिलेगी गणित।

ग्रंथ सूची संदर्भ:

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