Education, study and knowledge

Il paradosso del compleanno: cos'è e come spiegarlo

Immaginiamo di essere con un gruppo di persone, per esempio, a una riunione di famiglia, a una riunione di classe elementare, o semplicemente a bere qualcosa in un bar. Diciamo che ci sono circa 25 persone.

Tra il rumore e le conversazioni superficiali, ci siamo un po' disconnessi e abbiamo iniziato a pensare al nostro cose e, improvvisamente, ci chiediamo: quale deve essere la probabilità che tra queste persone due persone compiano gli anni il giorno lo stesso giorno?

Il paradosso del compleanno è una verità matematica, contrariamente al nostro istinto, che sostiene che siano necessarie pochissime persone perché ci sia una probabilità quasi casuale che due di loro abbiano lo stesso compleanno. Proviamo a comprendere più a fondo questo curioso paradosso.

  • Articolo correlato: "Intelligenza logico-matematica: cos'è e come possiamo migliorarla?"

Il paradosso del compleanno

Il paradosso del compleanno è una verità matematica che stabilisce che in un gruppo di appena 23 persone esiste una probabilità prossima al caso, nello specifico il 50,7%,

instagram story viewer
che almeno due di quelle persone abbiano lo stesso compleanno. La popolarità di questa affermazione matematica è dovuta al fatto sorprendente che così pochi sono necessari. le persone hanno una possibilità abbastanza sicura di avere partite su qualcosa di vario come un compleanno.

Sebbene questo fatto matematico sia chiamato paradosso, in senso stretto non lo è. È piuttosto un paradosso nella misura in cui risulta essere curioso, poiché è del tutto contrario al buon senso. Quando a qualcuno viene chiesto quante persone secondo loro occorrono per compiere il compleanno nello stesso giorno, le persone tendono a dare intuitivamente 183, cioè la metà di 365.

L'idea alla base di questo valore è che dimezzando il numero di giorni in un anno ordinario si ottiene il minimo necessario perché ci sia una probabilità vicina al 50%.

Tuttavia, non sorprende che vengano dati valori così alti quando si cerca di rispondere a questa domanda, poiché le persone spesso fraintendono il problema. Il paradosso del compleanno non si riferisce alle probabilità che una persona specifica abbia un compleanno rispetto a un altro nel gruppo, ma, come abbiamo commentato, le possibilità che due persone qualsiasi nel gruppo abbiano lo stesso compleanno giorno.

Spiegazione matematica del fenomeno

Per comprendere questa sorprendente verità matematica, la prima cosa da fare è tenere presente che ci sono molte possibilità di trovare coppie che compiono lo stesso compleanno.

A prima vista, verrebbe da pensare che 23 giorni, ovvero il 23° compleanno dei membri della band, sia una frazione troppo piccola del numero possibile di giorni distinti, 365 giorni di un anno non bisestile, o 366 negli anni bisestili, come per aspettarsi delle ripetizioni. Questo pensiero è davvero accurato, ma solo se ci aspettiamo una ripetizione in un giorno particolare. Vale a dire, e come abbiamo già commentato, avremmo bisogno di riunire molte persone in modo che ci sia una possibilità in più o meno vicino al 50% di uno dei membri del gruppo che compie gli anni con noi stessi, per mettere a esempio.

Tuttavia, nel paradosso del compleanno sorgono eventuali ripetizioni. Cioè, quante persone sono necessarie affinché due di quelle persone compiano gli anni lo stesso giorno, essendo la persona o i giorni qualsiasi. Per capirlo e mostrarlo matematicamente, Successivamente vedremo in modo più approfondito la procedura dietro il paradosso.

  • Potrebbe interessarti: "12 curiosità sulla mente umana"

Possibilità di possibile abbinamento

Immaginiamo di avere solo due persone in una stanza. Queste due persone, C1 e C2, potrebbero formare solo una coppia (C1=C2), con la quale abbiamo solo una coppia in cui si può ripetere il compleanno. O compiono gli anni lo stesso giorno, o non hanno lo stesso compleanno, non ci sono altre alternative..

Per affermare questo fatto matematicamente, abbiamo la seguente formula:

(N. di persone x possibili combinazioni)/2 = possibilità di possibili coincidenze.

In questo caso, questo sarebbe:

(2 x 1)/2 = 1 possibilità di una possibile corrispondenza

Cosa succede se invece di due persone ce ne sono tre? Le probabilità di partita salgono a tre, grazie al fatto che tra queste tre persone si possono formare tre coppie (Cl=C2; CI=C3; DO2=DO3). Rappresentato matematicamente abbiamo:

(3 persone X 2 combinazioni possibili)/2 = 3 possibilità di una possibile corrispondenza

Con quattro ci sono sei possibilità che coincidano tra loro:

(4 persone X 3 combinazioni possibili)/2 = 6 possibilità di una possibile corrispondenza

Se saliamo fino a dieci persone, abbiamo molte più possibilità:

(10 persone X 9 combinazioni possibili)/2 = 45

Con 23 persone ci sono (23×22)/2 = 253 coppie diverse, ognuno di loro è candidato affinché i suoi due membri compiano gli anni lo stesso giorno, regalandosi il paradosso del compleanno e avendo più possibilità di avere una coincidenza di compleanno.

stima della probabilità

Calcoleremo qual è la probabilità che un gruppo di dimensioni n di persone ne abbia due, qualunque essi siano, compiono gli anni lo stesso giorno. Per questo caso specifico scarteremo anni bisestili e gemelli, supponendo che ci siano 365 compleanni che hanno la stessa probabilità.

Usando la regola di Laplace e la combinatoria

Innanzitutto, dobbiamo calcolare la probabilità che n persone abbiano compleanni diversi. Cioè, calcoliamo la probabilità opposta a quanto affermato nel paradosso del compleanno. Per questo, Dobbiamo tenere conto di due possibili eventi quando consideriamo i calcoli.

Evento A = {due persone festeggiano il compleanno lo stesso giorno} Complementare all'evento A: A^c = {due persone non festeggiano il compleanno nello stesso giorno}

Prendiamo come caso particolare un gruppo di cinque persone (n=5)

Per calcolare il numero di casi possibili, utilizziamo la seguente formula:

giorni dell'anno^n

Tenendo conto che un anno normale ha 365 giorni, il numero di possibili casi di festeggiamenti di compleanno è:

365^5 = 6,478 × 10^12

La prima delle persone che selezioniamo potrebbe essere nata, come è logico pensare, in uno qualsiasi dei 365 giorni dell'anno. Il prossimo potrebbe essere nato in uno dei restanti 364 giorni, e il prossimo dei successivi potrebbe essere nato in uno dei restanti 363 giorni, e così via.

Da ciò segue il seguente calcolo: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6,303 × 10^12, che dà come risultato è il numero di casi in cui non ci sono due persone in quel gruppo di 5 nate uguali giorno.

Applicando la regola di Laplace, calcoliamo:

P (A^c) = casi favorevoli/casi possibili = 6.303 / 6.478 = 0.973

Ciò significa che le probabilità che due persone nel gruppo di 5 non compiano il compleanno nello stesso giorno sono del 97,3%. Con questi dati possiamo ottenere la possibilità che due persone compiano gli anni lo stesso giorno, ottenendo il valore complementare.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Quindi, da questo si estrae che la probabilità che in un gruppo di cinque persone, due di loro compiano gli anni lo stesso giorno è solo del 2,7%.

Comprendendo questo, possiamo cambiare la dimensione del campione. La probabilità che almeno due persone in un raduno di n persone abbiano lo stesso compleanno può essere ottenuta utilizzando la seguente formula:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

Nel caso in cui n è 23, la probabilità che almeno due di queste persone festeggino gli anni nello stesso giorno è 0,51.

Il motivo per cui questa specifica dimensione del campione è diventata così famosa è perché con n = 23 c'è una probabilità pari che almeno due persone festeggino il compleanno nello stesso giorno.

Se aumentiamo ad altri valori, ad esempio 30 o 50, abbiamo probabilità più alte rispettivamente di 0,71 e 0,97, o che è lo stesso, 71% e 97%. Con n = 70 abbiamo quasi la certezza che due di loro coincideranno nel giorno del loro compleanno, con una probabilità di 0,99916 o 99,9%

Utilizzando la regola di Laplace e la regola del prodotto

Un altro modo non così inverosimile di intendere il problema è porlo così.

Immaginiamo che 23 persone siano insieme in una stanza e vogliamo calcolare le possibilità che non condividano i compleanni.

Supponiamo che ci sia solo una persona nella stanza. Le probabilità che tutti nella stanza abbiano compleanni diversi sono ovviamente del 100%, cioè probabilità 1. Fondamentalmente, quella persona è sola, e poiché non c'è nessun altro, il suo compleanno non coincide con quello di nessun altro.

Ora entra un'altra persona, e quindi ci sono due persone nella stanza. Le probabilità che abbia un compleanno diverso rispetto alla prima persona sono 364/365, questo è 0,9973 o 99,73%.

Inserisci un terzo. La probabilità che abbia un compleanno diverso rispetto alle altre due persone, che sono entrate prima di lei, è 363/365. La probabilità che tutti e tre abbiano compleanni diversi è 364/365 volte 363/365, o 0,9918.

Quindi, le opzioni per 23 persone con compleanni diversi sono 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, risultante in 0,493.

In altre parole, c'è una probabilità del 49,3% che nessuno dei presenti compia gli anni nello stesso giorno e, quindi, viceversa, calcolando il complementare di tale percentuale abbiamo che esiste una probabilità del 50,7% che almeno due di loro condividano compleanno

In contrasto con il paradosso del compleanno, la probabilità che qualcuno in una stanza di n persona compleanno lo stesso giorno di una persona specifica, ad esempio noi stessi nel caso fossimo lì, è data dalla seguente formula.

1- (364/365)^n

Con n = 23 darebbe circa 0,061 probabilità (6%), richiedendo almeno n = 253 per dare un valore vicino a 0,5 o 50%.

Il paradosso nella realtà

Ci sono molteplici situazioni in cui possiamo vedere che questo paradosso si realizza. Qui metteremo due casi reali.

Il primo è quello dei re di Spagna. Contando dal regno dei Re Cattolici di Castiglia e Aragona a quello di Filippo VI di Spagna, abbiamo 20 monarchi legittimi. Tra questi re troviamo, sorprendentemente, due coppie che coincidono nei compleanni: Carlos II con Carlos IV (11 novembre) e José I con Juan Carlos I (5 gennaio). La possibilità che ci fosse solo una coppia di monarchi con lo stesso compleanno, tenendo conto che n = 20, lo è

Un altro caso reale è quello del gran finale dell'Eurovision 2019. Alla finale di quell'anno, tenutasi a Tel Aviv, in Israele, parteciparono 26 paesi, 24 dei quali Inviavano cantanti solisti o gruppi in cui la figura del cantante assumeva un ruolo speciale. Tra loro, due cantanti hanno festeggiato il compleanno: il rappresentante di Israele, Kobi Marimi e quello della Svizzera, Luca Hänni, entrambi festeggiano il compleanno l'8 ottobre.

Riferimenti bibliografici:

  • Abramson, M.; Mozer, W. O. J. (1970). "Altre sorprese di compleanno". Mensile matematico americano. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
  • Fiore, d. (1973). "Un problema di compleanno". Mensile matematico americano. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
  • Clamkin, M.; Newmann, D. (1967). "Estensioni della sorpresa di compleanno". Giornale di teoria combinatoria. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9

4 serie con personaggi con disturbi dello spettro autistico

Le opere di narrativa sono un ottimo modo per pubblicizzare la vita quotidiana delle minoranze ch...

Leggi di più

I 10 miti venezuelani più conosciuti e popolari

I 10 miti venezuelani più conosciuti e popolari

Un mito È una storia dal carattere fiabesco, che fa parte della tradizione di una società, e che ...

Leggi di più

I 20 più importanti filosofi medievali

I 20 più importanti filosofi medievali

Dalla caduta dell'Impero Romano nel V secolo fino a quando Colombo mise piede in quella che sareb...

Leggi di più