Gimtadienio paradoksas: kas tai yra ir kaip tai paaiškinti

Įsivaizduokime, kad esame su grupe žmonių, pavyzdžiui, šeimos susitikime, pradinių klasių susitikime ar tiesiog išgeriame gėrimą bare. Tarkime, yra apie 25 žmonės.

Tarp triukšmo ir paviršutiniškų pokalbių šiek tiek atsijungėme ir pradėjome galvoti apie savo dalykų ir staiga savęs klausiame: kokia turi būti tikimybė, kad tarp šių žmonių du žmonės švenčia gimtadienius ta pati diena?

Gimtadienio paradoksas yra matematinė tiesa, priešingai nei manome, kad reikia labai nedaug žmonių, kad būtų beveik atsitiktinė tikimybė, kad du iš jų turi tą patį gimtadienį. Pabandykime atidžiau suprasti šį keistą paradoksą.

• Susijęs straipsnis: "Loginis-matematinis intelektas: kas tai yra ir kaip jį pagerinti?"

Gimtadienio paradoksas

Gimtadienio paradoksas yra matematinė tiesa, patvirtinanti, kad vos 23 žmonių grupėje tikimybė yra artima atsitiktinumui, konkrečiai 50,7 proc. kad bent du iš tų žmonių turi tą patį gimtadienį. Šio matematinio teiginio populiarumą nulėmė stebinantis faktas, kad reikia tiek nedaug. žmonės turi gana didelę tikimybę, kad jie surengs rungtynes ​​per tokį įvairų dalyką kaip gimtadienis.

Nors šis matematinis faktas vadinamas paradoksu, griežtąja prasme taip nėra. Tai greičiau paradoksas, nes jis pasirodo esąs įdomus, nes tai visiškai prieštarauja sveikam protui. Kai ko nors paklausia, kiek žmonių, jų manymu, reikia, kad jiedu švęstų gimtadienį tą pačią dieną, žmonės linkę intuityviai duoti 183, tai yra pusę iš 365.

Šia verte grindžiama mintis, kad perpus sumažinus dienų skaičių įprastais metais, gaunamas minimumas, būtinas, kad tikimybė būtų artima 50%.

Tačiau Nenuostabu, kad bandant atsakyti į šį klausimą pateikiamos tokios didelės vertės, nes žmonės dažnai neteisingai supranta problemą. Gimtadienio paradoksas nekalba apie tikimybę, kad konkretus asmuo turi gimtadienį kitas grupėje, bet, kaip komentavome, tikimybė, kad bet kurie du žmonės grupėje turi tą patį gimtadienį dieną.

Matematinis reiškinio paaiškinimas

Norint suprasti šią stebinančią matematinę tiesą, pirmiausia reikia nepamiršti, kad yra daug galimybių rasti poras, kurios turi tą patį gimtadienį.

Iš pirmo žvilgsnio būtų galima pagalvoti, kad 23 dienos, tai yra 23-ias grupės narių gimtadienis, yra per maža galimo skirtingų dienų skaičiaus dalis, 365 nekeliamųjų metų dienos arba 366 keliamaisiais metais, tarsi tikėdamiesi pasikartojimų. Šis mąstymas iš tiesų yra tikslus, bet tik tuo atveju, jei tikimės pasikartojimo konkrečią dieną. Tai yra, ir kaip jau komentavome, reikėtų suburti daug žmonių, kad būtų dar viena galimybė ar mažiau arti 50% vieno iš grupės narių, švenčiančių gimtadienį su mumis, a pavyzdys.

Tačiau gimtadienio paradokso metu atsiranda bet kokių pasikartojimų. Tai yra, kiek žmonių reikia, kad du iš tų žmonių gimtadienį švęstų tą pačią dieną, o tai yra asmuo ar dienos. Norėdami tai suprasti ir parodyti matematiškai, Toliau pamatysime nuodugniau slypinčią paradokso procedūrą.

• Galbūt jus domina: "12 įdomybių apie žmogaus protą"

Galimybė suderinti

Įsivaizduokime, kad kambaryje yra tik du žmonės. Šie du žmonės, C1 ir C2, galėtų sudaryti tik porą (C1=C2), su kuria turime tik vieną porą, kurioje gali įvykti pakartotinis gimtadienis. Arba jie tą pačią dieną švenčia gimtadienį, arba ne tą patį, kitokių alternatyvų nėra..

Norėdami matematiškai išreikšti šį faktą, turime tokią formulę:

(Žmonių skaičius x galimi deriniai)/2 = galimo sutapimo galimybės.

Šiuo atveju tai būtų:

(2 x 1)/2 = 1 galimų rungtynių tikimybė

Kas atsitiks, jei vietoj dviejų žmonių bus trys? Rungtynių tikimybė išauga iki trijų, nes tarp šių trijų žmonių gali susidaryti trys poros (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Matematiškai pavaizduoti turime:

(3 žmonės X 2 galimi deriniai) / 2 = 3 galimų rungtynių tikimybė

Iš keturių yra šešios galimybės, kurios tarp jų sutampa:

(4 žmonės X 3 galimi deriniai) / 2 = 6 galimų rungtynių tikimybė

Jei einame iki dešimties žmonių, turime daug daugiau galimybių:

(10 žmonių X 9 galimi deriniai) / 2 = 45

Su 23 žmonėmis yra (23 × 22) / 2 = 253 skirtingos poros, kiekvienas iš jų yra kandidatas į savo dviejų narių gimtadienius tą pačią dieną, suteikdamas sau gimtadienio paradoksą ir turėdamas daugiau galimybių sutapti gimtadieniu.

tikimybės įvertinimas

Apskaičiuosime, kokia tikimybė, kad n dydžio grupėje bus du iš jų, kad ir kokie jie būtų, gimtadienį švęs tą pačią dieną. Šiuo konkrečiu atveju mes ketiname atmesti keliamuosius metus ir dvynius, darydami prielaidą, kad yra 365 gimtadieniai, kurių tikimybė yra tokia pati.

Naudojant Laplaso taisyklę ir kombinatoriką

Pirmiausia turime apskaičiuoti tikimybę, kad n žmonių turi skirtingus gimtadienius. Tai yra, mes apskaičiuojame tikimybę, priešingą tam, kas nurodyta gimtadienio paradokse. Už tai Skaičiuodami turime atsižvelgti į du galimus įvykius.

Renginys A = {du žmonės švenčia savo gimtadienį tą pačią dieną} Papildantis įvykį A: A^c = {du žmonės nešvenčia savo gimtadienių tą pačią dieną}

Paimkime konkretų atvejį penkių žmonių grupę (n=5)

Norėdami apskaičiuoti galimų atvejų skaičių, naudojame šią formulę:

metų dienos^n

Atsižvelgiant į tai, kad įprasti metai turi 365 dienas, galimų gimtadienių švenčių skaičius yra toks:

365^5 = 6,478 × 10^12

Pirmasis iš mūsų atrinktų žmonių galėjo gimti, kaip logiška manyti, bet kurią iš 365 metų dienų. Kitas galėjo gimti per vieną iš likusių 364 dienų, o kitas iš kitų gali būti gimęs per vieną iš likusių 363 dienų ir pan.

Iš to seka toks skaičiavimas: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6 303 × 10^12, o tai reiškia, kad Rezultatas yra atvejų, kai toje 5 grupėje nėra dviejų vienodai gimusių žmonių, skaičius dieną.

Taikydami Laplaso taisyklę, apskaičiuotume:

P (A^c) = palankūs atvejai / galimi atvejai = 6,303 / 6,478 = 0,973

Tai reiškia, kad tikimybė, kad du žmonės 5 žmonių grupėje neturės gimtadienio tą pačią dieną, yra 97,3 proc.. Turėdami šiuos duomenis galime gauti galimybę dviejų žmonių gimtadienį švęsti tą pačią dieną ir gauti papildomą vertę.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Taigi iš to išgaunama, kad tikimybė, kad penkių žmonių grupėje du iš jų gimtadienį švęs tą pačią dieną, yra tik 2,7%.

Suprasdami tai, galime pakeisti imties dydį. Tikimybę, kad bent du žmonės n žmonių susirinkime švęs tą patį gimtadienį, galima apskaičiuoti naudojant šią formulę:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

Jei n yra 23, tikimybė, kad bent du iš tų žmonių metus švęs tą pačią dieną, yra 0,51.

Priežastis, kodėl šis konkretus imties dydis tapo toks žinomas, yra ta, kad kai n = 23 yra tolygi tikimybė, kad gimtadienį tą pačią dieną švenčia bent du žmonės.

Jei padidinsime iki kitų reikšmių, pavyzdžiui, 30 arba 50, turėsime didesnę tikimybę atitinkamai 0,71 ir 0,97 arba, kas yra ta pati, 71% ir 97%. Kai n = 70, esame beveik garantuoti, kad du iš jų sutaps su jų gimtadieniu, tikimybe 0,99916 arba 99,9 %

Naudojant Laplaso taisyklę ir produkto taisyklę

Kitas ne toks jau senas būdas suprasti problemą yra pateikti ją taip.

Įsivaizduokime, kad 23 žmonės yra kartu kambaryje ir norime paskaičiuoti tikimybę, kad jie nesidalins gimtadienių.

Tarkime, kad kambaryje yra tik vienas žmogus. Akivaizdu, kad tikimybė, kad visi kambaryje esantys švenčia skirtingus gimtadienius, yra 100%, tai yra 1 tikimybė. Iš esmės tas žmogus yra vienas, o kadangi ten nėra kitų, jo gimtadienis nesutampa su kieno nors kito.

Dabar įeina kitas žmogus, todėl kambaryje yra du žmonės. Tikimybė, kad jos gimtadienis bus kitoks nei pirmasis asmuo, yra 364/365, tai yra 0,9973 arba 99,73%.

Įveskite trečią. Tikimybė, kad ji turi kitokį gimtadienį nei kiti du žmonės, įėję prieš ją, yra 363/365. Tikimybė, kad visi trys turi skirtingus gimtadienius, yra 364/365 kartus 363/365 arba 0,9918.

Taigi, 23 žmonių, turinčių skirtingus gimtadienius, parinktys yra 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, todėl 0,493.

Kitaip tariant, yra 49,3% tikimybė, kad nė vienas iš susirinkusiųjų neturi gimtadienio tą pačią dieną, taigi, atvirkščiai, apskaičiavę šio procento papildymą, turime 50,7 % tikimybę, kad bent du iš jų pasidalins gimtadienis

Skirtingai nuo gimtadienio paradokso, tikimybė, kad kas nors n asmens kambaryje gimimo dieną tą pačią dieną kaip ir konkretus asmuo, pavyzdžiui, mes patys, jei esame ten, pateikiama pagal šią formulę.

1- (364/365)^n

Jei n = 23, tikimybė būtų maždaug 0,061 (6 %), o norint gauti vertę, artimą 0,5 arba 50%, reikia bent n = 253.

Paradoksas tikrovėje

Yra daugybė situacijų, kuriose galime pamatyti, kad šis paradoksas išsipildo. Čia mes pateikiame du tikrus atvejus.

Pirmasis – Ispanijos karalių. Skaičiuojant nuo Kastilijos ir Aragono katalikų monarchų valdymo iki Ispanijos Felipe VI, turime 20 teisėtų monarchų. Tarp šių karalių, stebėtinai, randame dvi poras, kurios sutampa per gimtadienius: Carlos II su Carlos IV (lapkričio 11 d.) ir José I su Juan Carlos I (sausio 5 d.). Galimybė, kad buvo tik viena pora monarchų, turinčių tą patį gimtadienį, atsižvelgiant į tai, kad n = 20, yra

Kitas tikras atvejis – 2019-ųjų „Eurovizijos“ didysis finalas. Tų metų finale, vykusiame Tel Avive, Izraelyje, dalyvavo 26 šalys, iš kurių 24 Jie siuntė arba solo dainininkus, arba grupes, kuriose dainininko figūra užėmė ypatingą vaidmenį. Tarp jų gimtadienį sutapo du dainininkai: Izraelio atstovas Kobi Marimi ir Šveicarijos atstovas Luca Hänni, abu savo gimtadienį švenčia spalio 8 d.

Bibliografinės nuorodos:

• Abramsonas, M.; Moser, W. ARBA. J. (1970). „Daugiau gimtadienio staigmenų“. Amerikos matematinis mėnraštis. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Bloom, d. (1973). „Gimtadienio problema“. Amerikos matematinis mėnraštis. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkinas, M.; Newmanas, D. (1967). „Gimtadienio staigmenos pratęsimai“. Kombinatorinės teorijos žurnalas. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9